종합성 커널

수학에서, 만족도 커널은 아래에 열거된 특정 속성 집합을 만족하는 주기적인 통합 함수의 집합 또는 시퀀스다.페제르 커널과 같은 특정 커널은 푸리에 분석에서 특히 유용하다.종합성 커널은 아이덴티티 근사치와 관련이 있다; 아이덴티티 근사치의 정의는 다양하지만,^[1] 때때로 아이덴티티 근사치의 정의는 종합성 커널과 동일하다고 여겨진다.

정의

$\mathbb {T} :=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ $\mathbb {T} :=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ $\mathbb {T} :=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ / $\mathbb {T} :=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ ${\$ 을(를) 두십시오 $\mathbb {T} :=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ 종합 커널은 $L^{1}(\mathbb {T} )$ $L^{1}(\mathbb {T} )$ ) ${\displaystyle L^{1}(mathb {T})$ 의 $(k_{n})$ $L^{1}(\mathbb {T} )$ 시퀀스 $(k_{n})$ n $(k_{n})$ )입니다.

$\int _{\mathb {T} }k_{n}(t)\,dt=1$
$\int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M$ $\int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M$ $\int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M$ $\int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M$ ( t $\int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M$ ) d $\int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M$ $\int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M$ $\int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M$ $\int _{\mathb {T$ } $k_{n}(t) \,dt\leq$ M $}($ 균일하게 경계)
$\int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0$ t $\int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0$ t $\int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0$ 2 $\int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0$ $\int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0$ ( t $\int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0$ ) $\int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0$ → $\int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0$ ${\displaystyle \int _{\lq$ t $\int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0$ \leq t \ $lq {\$ frac ${1}{$ 1}{ $n}(t)$ $dt\to$ \to $\poty$ $n\to \infty$ 매 $\int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0$ $\delta >0$ > ${\\\displaystyleyleyleylease \\n$ \n \\\\\\\\\ $n__$

$모든$ n $n$ 에 $k_{n}\geq 0$ $n$ 대한 k $(k_{n})$ $k_{n}\geq 0$ $(k_{n})$ 0 $(k_{n})$ {\ $displaystyle k_{n$ $}\geq 0}$ 이(가 $)$ 양의 합계성 커널이면 $(k_{n})$ 두 번째 요건은 첫 번째 요건부터 자동으로 따른다.

With the convention $\mathbb {T} =\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ , the first equation becomes ${\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1$ , and the upper limit of integration on the third equation should be extended to ${\$ $디스플레이$ 스타일 $\pi$ $\pi$

또한 $\mathbb {T}$ {\ $displaystyle \mathb {T}$ 이(가) 아닌 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {T}$ 을(를) 고려할 수 있으며, (1)과 (2)는 R $\mathbb {R}$ {\ $displaystyle \mathb {R}$ 을 $($ 를) 위에 통합하고 $\mathbb {R}$ (3)은 $|t|>\delta$ > Δ $|t|>\delta$ {\ $displaystyt >\$ data t $data$ .

예

페제르 커널
포아송 커널(연속 인덱스)
디리클레 커널은 두 번째 요건을 충족하지 못하기 때문에 만족도 커널이 아니다.

컨버설

Let $(k_{n})$ ( $(k_{n})$ $(k_{n})$ ) $(k_{n}}$ 은(는) 만족도 커널이며, be $(k_{n})$ $displaystyle *}$ 은(는 $)$ 콘볼루션 작업을 나타낸다 $*$ .

If $(k_{n}),f\in {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )$ (continuous functions on $\mathbb {T}$ ), then $k_{n}*f\to f$ in ${\mathcal {C}}(\mathbb {T} )$ , i.e. uniformly, as ${\displaystyle n\to \$ $덩치$ 가 큰 $n\to \infty$ 페제르 커널의 경우 이것을 페제르의 정리라고 한다.
If $(k_{n}),f\in L^{1}(\mathbb {T} )$ , then $k_{n}*f\to f$ in $L^{1}(\mathbb {T} )$ , as $n\to \infty$ .
If $(k_{n})$ is radially decreasing symmetric and $f\in L^{1}(\mathbb {T} )$ , then $k_{n}*f\to f$ pointwise a.e., as $n\to \infty$ . This uses the Hardy–Littlewood maximal function. $(k_{n})$ ) $(k_{n}}$ 이(가) 방사상 감소하는 ${\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)$ 이 아니라 $(k_{n})$ 감소하는 대칭 k ${\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)$ ~ n ( ${\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)$ ) ${\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)$ ${\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)$ ${\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)$ ${\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)$ ${\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)$ ${\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)$ ( ${\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)$ ) ${\displaystyle {k}_{n}(x):$ $=\sup _{y \geq$ x $}k_{n}(y)}$ 은(는) $\sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k_{n}}}\|_{1}<\infty$ $\sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k_{n}}}\|_{1}<\infty$ $\sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k_{n}}}\|_{1}<\infty$ $\sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k_{n}}}\|_{1}<\infty$ $\sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k_{n}}}\|_{1}<\infty$ ~ $\sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k_{n}}}\|_{1}<\infty$ $\sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k_{n}}}\|_{1}<\infty$ < $\sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k_{n}}}\|_{1}<\infty$ ${\displaystyle \sup _{n\$ in $\n}\\widetilde{k_{n}}\}\}\{1}\computy$ $\sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k_{n}}}\|_{1}<\infty$ componvergregreat }}}}}}}}을 ${\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)$ 충족한 후 유사한 주장을 사용하여 정합의가 여전히 유지된다.