푸앵카레-비르크호프-위트 정리

수학에서, 더 구체적으로 리알헤브라스 이론에서, 푸앵카레-비르호프-위트 정리(또는 PBW 정리)는 리 대수학의 보편적 포락 대수학을 명시적으로 기술한 결과물이다. 앙리 푸앵카레, 개럿 비르코프, 에른스트 비트 등의 이름을 따서 지은 것이다.

PBW형 정리 및 PBW 정리라는 용어는 필터링된 대수학을 관련 등급화된 대수, 특히 양자군 영역에서 비교하면서 원래의 정리의 다양한 유사점을 나타낼 수도 있다.

정리명세서

필드 위에 있는 벡터 공간 V는 기초가 있다는 것을 상기하라; 이것은 V의 모든 요소가 S의 원소의 고유한 (마인드) 선형 결합인 세트 S이다. 푸앵카레-비르호프-위트 정리의 공식화에서 우리는 원소들이 우리가 ≤을 나타내는 어떤 관계에 의해 완전히 순서가 정해지는 기초를 고려한다.

L이 필드 K에 대한 Lie 대수인 경우, h가 L에서 유니버설포락 대수 U(L)로 표준 K-선형 지도를 나타내도록 한다.

정리.^[1] Let L be a Lie algebra over K and X a totally ordered basis of L. A canonical monomial over X is a finite sequence (x₁, x₂ ..., x_n) of elements of X which is non-decreasing in the order ≤, that is, x₁ ≤x₂ ≤ ... ≤ x_n. Extend h to all canonical monomials as follows: if (x₁, x₂, ..., x_n) is a canonical monomial, let

${\displaystyle h(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}=h(x_{1})\cdot h(x_{2})\cdots h(x_{n}).}$

그런 다음 ${\displaystyle h}$는 표준 단원형 집합과 이 집합의 이미지${\displaystyle }${ h${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$. . .${\displaystyle {}_{}}$ x $}$ {\$displaystyle$\{$h(x_{1},\ldots ,x_{n} x_{1}\leq...$$\leq x_{n}\}}}$은(는) K-벡터 공간으로서 U(L)의 기초를 형성한다$$.

다소 다르게 표현하면 Y = h(X)를 고려한다. Y는 X의 유도 주문에 의해 완전히 주문된다. 모노미알의 집합

${\displaystyle y_{1}^{k_{1}^{1}y_{2}^{k_{2}}\cdots y_{\ell }^{k_{\ell}}}}}}}$

여기서₁ y <y₂ < ... < y는_n Y의 원소로서, 지수는 음이 아니며, 승수 단위 1과 함께 U(L)의 기초를 형성한다. 단위 요소 1은 비어 있는 표준 단수형에 해당한다는 점에 유의하십시오. 그러자 정리는 이러한 단원체들이 벡터 공간으로서 U(L)의 기초를 형성한다고 주장한다. 이러한 단수체가 U(L)에 걸쳐 있다는 것을 쉽게 알 수 있는데, 정리의 내용은 선형적으로 독립되어 있다는 것이다.

U(L)의 곱셈 구조는 기초 X의 구조 상수, 즉 계수 $c{\displaystyle {}_u^{}}$ , v ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\$에 의해 결정되며, 다음과$$ 같다.

${\displaystyle [u,v]=\sum _{x\in X}c_{u,v}^{x}\;x.}$

이러한 관계를 통해 y의 모든 제품을 표준 단항 조합의 선형 조합으로 줄일 수 있다. 구조 상수는 yy_ij – yy_ji, 즉 제품에서 Y의 두 요소 순서를 바꾸기 위해 무엇을 해야 하는지를 결정한다. 이 사실은 (비-캐논적) 단수성의 정도에 대한 귀납적 논거로, 그 요인들이 비-감소적 방식으로 주문되는 제품을 항상 달성할 수 있다는 것을 보여준다.

푸앵카레-비르호프-위트 정리는 이러한 감소의 최종 결과가 고유하며 인접 원소를 교환하는 순서에 따라 달라지지 않는다고 말한 것으로 해석할 수 있다.

코롤러리. L이 한 분야에 걸친 Lie 대수라면 표준지도 L → U(L)는 주입식이다. 특히, 어떤 분야의 Lie 대수학도 연관 대수학의 Lie 하위 대수학과는 이형적이다.

더 일반적인 컨텍스트

이미 초기 단계에서는 L이 자유 K-module, 즉 위와 같은 근거가 있다면 어떤 교화 링으로도 K를 대체할 수 있다고 알려져 있었다.

L이 더 이상 자유로운 K모듈이 아닌 경우에까지 확대되려면 베이스를 사용하지 않는 개혁이 필요하다. 여기에는 L에서 대칭 대수인 S(L)로 모노미알의 공간을 어느 정도 대체하는 것이 포함된다.

K가 합리적인 숫자의 필드를 포함하는 경우, S(L)에서 U(L)로 자연지도를 고려할 수 있으며, ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle i{}_{}}$l L$$${\$$displaystyle$ $v_{$1}$v_{2}\cdots$ $v_{n$$}$을$($를$)$ 위한 단일 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ v{${\displaystyle n_{}}$}. 를$$원소로 전송한다.

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}}\sum _{\sigma \in S_{n}v_{\sigma(1)v_{\sigma (2)\cdots v_{\sigma (n)}}}$

그러면 이 지도가 K-modules의 이형성이라는 정리가 있다.

보다 일반적으로 그리고 자연스럽게, $U{\displaystyle {}_{}}$(L)를 여과된 정도${\displaystyle \mathrm{degreen}}$ ${\displaystyle$ $v_{1}v_{2}\cdots$ $v_{n}}$에 위치하도록$$ 지정함으로써 주어진 여과가 장착된 여과 대수로서 생각할 수 있다$.$ The map L → U(L) of K-modules canonically extends to a map T(L) → U(L) of algebras, where T(L) is the tensor algebra on L (for example, by the universal property of tensor algebras), and this is a filtered map equipping T(L) with the filtration putting L in degree one (actually, T(L) is graded). 그 후 관련 등급으로 넘어가면 표준형성 T(L) → grU(L)가 나타나 v, w ∈ L에 대한 원소 vw - wv를 죽이고, 따라서 표준형형성 S(L) → grU(L)로 내려간다. 그러면 (점화된) PBW 정리는 어떤 가설에서 이 최종 형태론은 교감 알제브라의 이소모형이라는 진술로 재구성될 수 있다.

이는 모든 K와 L(예를 들어, 쿤의 1961년 논문의 마지막 절 참조)에 해당되지는 않지만, 많은 경우에 해당된다. 여기에는 앞에서 언급한 L이 포함되는데, 여기서 L은 자유 K-모듈(K가 필드일 때마다 Hence)이거나 K는 합리적인 수의 분야를 포함하고 있다. 보다 일반적으로 위에서 공식화한 PBW 정리는 (1) L이 평평한 K-module, (2) L이 아벨리아 집단으로서 비틀림이 없는 경우, (3) L은 주기적 모듈의 직접 합계(또는 K의 프라임 이상에서의 모든 국소화는 이 속성을 가지고 있다), 또는 (4) K는 데데킨드 도메인이다. 예를 들어, 이 진술에 대한 히긴스의 1969년 논문을 보십시오.

마지막으로, 이러한 경우 일부에서는 표준형 형태론 S(L) → grU(L)가 관련 등급을 받지 않고 K-module 이형성 S(L) → U(L)로 상승한다는 보다 강력한 진술도 얻을 수 있다는 점에 유의할 필요가 있다. This is true in the first cases mentioned, where L is a free K-module, or K contains the field of rational numbers, using the construction outlined here (in fact, the result is a coalgebra isomorphism, and not merely a K-module isomorphism, equipping both S(L) and U(L) with their natural coalgebra structures such that ${\displaystyle \mathrm{\Delta }(v)=v\otimes 1+1\otimes v}$$$v ∈ L에 대한$$ ${\displaystyle \Delta (v)=v\otimes 1+1\otimes v}$ 그러나 이 더 강력한 진술은 전항의 모든 사례로 확대되지는 않을 수 있다.

정리의 역사

1880년대 알프레도 카펠리가 쓴 4편의 논문에서 $L{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ l ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle L={\mathfrak{gl}$_${n}$의 경우 현재 푸앵카레-비르크호프-위트 정리라고 알려진 것이 다른 용어로 증명되었다. 반면, 푸앵카레는 이후 1900년에 더 일반적으로 그것을 언급하였다.^[2] 아르망 보렐은 카펠리의 이러한 결과는 "거의 1세기 동안 완전히 잊혀졌다"고 말했으며, 그는 푸앵카레가 카펠리의 결과를 알고 있었다고 암시하지 않는다.^[2]

톤-그것과 트랜은 정리의 역사를 조사해 왔다. 그들은 부르바키의 1960년 책 이전의 대다수의 출처들이 그것을 버크호프-위트 정리라고 부른다는 것을 알아냈다. 이러한 오랜 전통을 따라, 포파노바는^[4] 백과사전에서 푸앵카레가 정리의 첫 변종을 얻었다고 말한다. 그녀는 그 정리가 이후에 위트와 비르크호프에 의해 완전히 증명되었다고 더 말한다. 부르바키 이전의 소식통들은 푸앵카레의 논문에 익숙하지 않았던 것으로 보인다.

비르코프와 비트는 1937년 논문에서 푸앵카레의 작품을 언급하지 않는다. 카르탄과 에일렌버그는^[7] 이 정리를 푸앵카레-위트 정리라고 부르며 완전한 증거를 위트에게 귀속시킨다. 부르바키는^[8] 1960년 저서에서 세 개의 이름을 모두 사용한 최초의 사람이었다. Knapp은 변화하는 전통에 대한 명확한 예시를 제시한다. 1986년 저서에서^[9] 그는 그것을 '비르호프-빗 정리'라고 부르고, 1996년 후반의 그의 책에서^[10] 그는 푸앵카레-비르호프-빗 정리(Poincaré-Birkhoff-위트 정리)로 전환한다.

푸앵카레의 결과가 완성됐는지는 확실하지 않다. 톤-더와 트랜은^[3] "푸앵카레가 위트와 비르크호프보다 적어도 37년 전에 이 정리를 발견하고 완전히 증명했다"고 결론짓는다. 반면 이들은 "푸앵카레는 이를 입증하기 위해 귀찮게 하지 않고 여러 가지 진술을 한다"고 지적한다. 모든 단계에 대한 그들 자신의 증거는 그들의 입학에 따라 다소 길다. 보렐은 푸앵카레가 1900년에 "푸앵카레-비르크호프-위트 정리를 어느 정도 입증했다"고 말한다.^[2]

메모들

참조

• Birkhoff, Garrett (April 1937). "Representability of Lie algebras and Lie groups by matrices". Annals of Mathematics. 38 (2): 526–532. doi:10.2307/1968569. JSTOR 1968569.
• Borel, Armand (2001). Essays in the History of Lie groups and algebraic groups. History of Mathematics. Vol. 21. American mathematical society and London mathematical society. ISBN 978-0821802885.
• Bourbaki, Nicolas (1960). "Chapitre 1: Algèbres de Lie". Groupes et algèbres de Lie. Éléments de mathématique. Paris: Hermann.
• Capelli, Alfredo (1890). "Sur les Opérations dans la théorie des formes algébriques". Mathematische Annalen. 37: 1–37. doi:10.1007/BF01206702.
• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956). Homological Algebra. Princeton Mathematical Series (PMS). Vol. 19. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-04991-5.
• Cartier, Pierre (1958). "Remarques sur le théorème de Birkhoff–Witt". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze. Série 3. 12 (1–2): 1–4.
• Cohn, P.M. (1963). "A remark on the Birkhoff-Witt theorem". J. London Math. Soc. 38: 197–203. doi:10.1112/jlms/s1-38.1.197.
• Fofanova, T.S. (2001) [1994], "Birkhoff–Witt theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 222 (2nd ed.). Springer. ISBN 978-3319134666.
• Higgins, P.J. (1969). "Baer Invariants and the Birkhoff-Witt theorem". Journal of Algebra. 11 (4): 469–482. doi:10.1016/0021-8693(69)90086-6.
• Hochschild, G. (1965). The Theory of Lie Groups. Holden-Day.
• Knapp, A. W. (2001) [1986]. Representation theory of semisimple groups. An overview based on examples. Princeton Mathematical Series. Vol. 36. Princeton University Press. ISBN 0-691-09089-0. JSTOR j.ctt1bpm9sn.
• Knapp, A. W. (2013) [1996]. Lie groups beyond an introduction. Springer. ISBN 978-1-4757-2453-0.
• Poincaré, Henri (1900). "Sur les groupes continus". Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Vol. 18. University Press. pp. 220–5. OCLC 1026731418.
• Ton-That, T.; Tran, T.-D. (1999). "Poincaré's proof of the so-called Birkhoff-Witt theorem" (PDF). Rev. Histoire Math. 5: 249–284. arXiv:math/9908139. Bibcode:1999math......8139T. CiteSeerX 10.1.1.489.7065. Zbl 0958.01012.
• Witt, Ernst (1937). "Treue Darstellung Liescher Ringe". J. Reine Angew. Math. 1937 (177): 152–160. doi:10.1515/crll.1937.177.152. S2CID 118046494.