대칭대수학

수학에서 필드 $K$ 에 대한 벡터 공간 $V$ 의 대칭 대수 $S (V)($ $Sym(V)$ 라고도 함)는 $V$ 를 $포함$ 하는 K에 대한 정류 대수로서 어떤 의미에서는 이 성질에 대해 최소값이다. 여기서 "소수"는 $S (V)$ 가 다음과 같은 보편적 특성을 만족한다는 것을 의미한다: $V$ 에서 정류 대수 $A$ 까지 모든 선형 지도 $f$ 에 $대해$ , f = $g$ ∘ $i$ 가 있는 독특한 대수 동형상 $g$ : $S (V)$ → $A$ 가 있다. 여기서 $나$ 는 $S (V$ )에 $V$ 의 포함 지도다 $.$

$B$ 가 $V$ 의 기초인 경우, 다항 $링$ K $[B]$ 에 대해 표준 이형식을 통해 대칭 $대수$ S $(V)$ 를 식별할 수 있으며, 여기서 $B$ 의 요소는 불연속성으로 간주된다. 따라서 $V$ 에 대한 대칭 대수학은 $V$ 에 대한 "좌표 없는" 다항식 링으로 볼 수 있다.

대칭 대수 $S (V)$ 는 형식 $x y$ y - $y x$ x의 원소에 의해 생성되는 양면 이상에 의해 텐서 $대수$ T( $V)$ 의 몫으로 구축될 수 있다.

이러한 모든 정의와 속성은 $V$ 가 (필수적으로 자유로운 것이 아닌) 모듈인 경우로 자연스럽게 확장된다.

건설

텐서 대수로부터

텐서 대수 $T (V)$ 를 사용하여 대칭 $대수$ S $(V$ )를 설명할 수 있다 $.$ 사실 $S (V)$ 는 정류자 $v\otimes w-w\otimes v.$ $v\otimes w-w\otimes v.$ w - $v\otimes w-w\otimes v.$ $v\otimes w-w\otimes v.$ $v\otimes w-w\otimes v.$ $v\otimes w-w\otimes v.$ 에 의해 생성되는 양면 이상에 $의해$ T( $V)$ 의 몫 대수로서 정의할 수 있다.

결과 대수가 도입부에 기술된 보편적 특성을 만족하는지 검증하는 것은 간단하지만 다소 지루하다.

이것은 또한 두 개의 좌뇌 부교환자의 구성이 또한 좌뇌 부교환자라고 주장하는 범주 이론의 일반적인 결과에서 직접 나온다. 여기서 교감 알헤브라스에서 벡터 공간이나 모듈(구획을 잊는다)에 이르는 건망증 알헤브라스에서 연상 알헤브라스(구획을 잊는다)에 이르는 건망증 알제스부터 연상 알헤브라스, 벡터 또는 모듈(구획득을 잊는다)에 이르는 건망증 환자들의 구성이다. 텐서 대수와 정류자에 의한 몫은 이러한 망각적인 functor에 비례하여 남겨지기 때문에, 그 구성은 망각적인 functor에서 벡터나 모듈까지 망각되는 functor에 비례하게 되고, 이것은 원하는 보편적 속성을 증명한다.

다항 링에서

대칭 대수 $S (V)$ 도 다항 링으로 만들 수 있다.

$V$ 가 K-벡터 공간 또는 자유 K-module인 경우, $기본$ B가 있는 $경우,$ K[ $B]$ 는 $B$ 의 요소를 불분명한 다항식 링이 되도록 한다. 도 1의 균일한 다항식은 $V$ 로 식별할 수 있는 벡터 공간 또는 자유 모듈을 형성한다. 이것이 K $[B]$ 가 서론에서 언급된 보편적인 문제에 대한 해결책임을 입증하는 것은 간단하다. $이$ 는 K $[B]$ 와 $S (V)$ 가 표준적으로 이형성이므로 식별할 수 있음을 암시한다. 이는 또한 자유 모듈 및 다항식 링은 각 범주의 자유 객체이기 때문에 범주 이론의 일반적인 고려사항에서 즉시 도출된다.

$V$ 가 자유롭지 않은 모듈이라면 $V=L/M,$ = $V=L/M,$ / $V=L/M,$ $V=L/M,$ 라고 쓸 수 있는데, $여기$ 서 $V=L/M,$ L은 자유 모듈이고, $M$ 은 $L$ 의 하위 모듈이다. 이 경우, 한 사람이 가지고 있다.

S(V)=S(L/M)=S(L)/\langle M\angle ,

여기서 $\langle M\rangle$ $\langle M\rangle$ $\langle M\rangle$ $\langle M\angle$ 은(여기서 기호는 표준 이형성까지의 평등을 의미한다) $M$ 에 의해 생성된 이상이다 $\langle M\rangle$ . 다시 한 번 이것은 보편적 속성의 해답이 있다는 것을 보여줌으로써 증명할 수 있으며, 이것은 간단하지만 지루한 계산이나 범주 이론에 의해 이루어질 수 있으며, 보다 구체적으로 말하자면, 지분이 주어진 부분집합을 0으로 매핑하는 형태론에 대한 보편적 문제의 해답이라는 사실을 증명할 수 있다. (경우에 따라, 낟알은 정상 서브그룹, 하위모듈 또는 이상이며, 인용문의 일반적인 정의는 보편적 문제의 해결책의 존재에 대한 증거로 볼 수 있다.)

채점

대칭대수는 등급이 매겨진 대수학이다. 즉, 직접 합이다.

S(V)=\bigoplus _{n=0}^{\infit }S^{n}(V),

여기서 $V$ 의 n번째 대칭 전력으로 불리는 $S^{n}(V),$ $S^{n}(V),$ n $S^{n}(V),$ ( $S^{n}(V),$ ) $S^{n}(V),$ , ${\displaystyle$ S $^{n}(V)$ 는 $V$ 의 $n번째$ 대칭 전력의 제품에서 생성된 벡터 서브공간 또는 서브모듈이다(두 번째 대칭 전력 $S^{2}(V)$ $S^{2}(V)$ ( $S^{2}(V)$ ) ${\displaysty S^{2}(V)}$ 는 $V$ 의 대칭 제곱이라고도 한다 $S^{2}(V)$ .

이것은 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다. 하나는 텐서-알제브라 구조에서 따온 것이다. 텐서 대수는 등급이 매겨지고 대칭대수는 동질적 이상에 의해 그 몫이 된다. $x\otimes y-y\otimes x,$ x $x\otimes y-y\otimes x,$ y - $x\otimes y-y\otimes x,$ x $x\otimes y-y\otimes x,$ {\ $displaysty x\otimes y-y\otimes$ x $,$ $여기$ 서 $x\otimes y-y\otimes x,$ $x$ 와 $y$ 가 V, 즉 동질도 1이다.

벡터 공간이나 자유 모듈의 경우, 그라데이션은 총도에 의한 다항식의 그라데이션이다. 비자유 모듈은 $L$ / $M$ 으로 쓸 수 있는데, $여기$ 서 L은 베이스 $B$ 의 자유 모듈이다. 대칭 대수학은 $도$ 1의 동질적인 M 원소에 의해 생성되는 동질적 이상에 의해 $L$ (다항 링)의 (분할된) 대칭 대수(다항 고리)의 몫이다.

또한 $S^{n}(V)$ ( $S^{n}(V)$ ) $S^{n}(V)$ 을(를) $V$ 에서 벡터 공간이나 모듈로 이어지는 n-선형 대칭함수의 범용문제의 해결책으로 $S^{n}(V)$ 정의한 다음, $S^{n}(V)$ $S^{n}(V)$ ( $S^{n}(V)$ $){\displaystystyle S^{n}(V)}$ 의 직접 합이 대칭대수학의 범용 문제를 만족하는지 $S^{n}(V)$ 검증할 수 있다.

대칭 텐서와의 관계

벡터 공간의 대칭대수는 텐서 대수의 몫이므로 대칭대수의 원소는 텐서(tensor)가 아니며, 특히 대칭대칭 텐서(tensor)가 아니다. 그러나 대칭 텐더는 대칭 대수학과는 강한 관련이 있다.

n의 대칭 텐서( ${\mathcal {S}}_{n}.$ tensor)는 대칭 ${\mathcal {S}}_{n}.$ S n . ${\displaystyle$ {\mathcal ${S}_{n}$ 의 작용에 따라 불변하는 $T n (V)$ 의 요소다. $}$ More precisely, given $\sigma \in {\mathcal {S}}_{n},$ the transformation $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\mapsto v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (k)}$ defines a linear endomorphism of $T n (V)$ . 대칭 텐서는 이러한 모든 내형성 하에서 불변하는 텐서다. $도$ n의 대칭 텐서는 벡터 서브공간(또는 모듈) $Sym n (V)$ ⊂ $T n (V$ )를 형성한다 $.$ 대칭 텐서는 $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),$ 합계 $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),$ spacen = $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),$ module $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),$ $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),$ $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),$ $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),$ ) $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),$ , ${\$ 의 요소로서 등급 $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),$ 벡터 공간(또는 등급 모듈)이다. 대칭 텐서 2개의 텐서(tensor)의 텐서(tensor) 산출물이 일반적으로 대칭적이지 않기 때문에 대수학(大大學)이 아니다.

$\pi _{n}$ ${\$ 을 $($ 를 $)$ 표준추출 T $T^{n}(V)\to S^{n}(V).$ $T^{n}(V)\to S^{n}(V).$ $T^{n}(V)\to S^{n}(V).$ → $T^{n}(V)\to S^{n}(V).$ ( $T^{n}(V)\to S^{n}(V).$ ) $T^{n}(V)\to S^{n}(V).$ . ${\displaystyle T^{n}(V)\to S^{n}(V$ )에 대한 $제한$ 으로 $\pi _{n}$ ⁿ 두십시오. $}}$ 지상장(또는 링)에서 $n!$ 을 $T^{n}(V)\to S^{n}(V).$ 수 없는 경우, $\pi _{n}$ $\pi _{n}$ ${\$ 는 $\pi _{n}$ 이형성이다. 특징 0의 지면에서는 항상 그러하다. 역 이형성은 대칭에 의해 ( $n$ 벡터의 생산물에 대해) 정의된 선형 지도다.

v_{1}\cdots v_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}}\sum _{\sigma \in S_{n}v_{\sigma(1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (n)}}

맵 $\pi _{n}$ {\ $displaystyle \pi _{$ n}은 $특성$ 이 n+1보다 작으면 주입식이 $\pi _{n}$ 아니다. 예를 들어 $nn($ y + $\pi _{n}(x\otimes y+y\otimes x)=2xy$ x $\pi _{n}(x\otimes y+y\otimes x)=2xy$ ) = 2 $\pi _{n}(x\otimes y+y\otimes x)=2xy$ ${n(x\otimes y+y\otimes x)=2xy}$ 은 특성 $\pi _{n}(x\otimes y+y\otimes x)=2xy$ 2에서 0이다. Over a ring of characteristic zero, $\pi _{n}$ can be non surjective; for example, over the integers, if $x$ and $y$ are two linearly independent elements of $V = S 1 (V)$ that are not in $2 V$ , then $xy\not \in \pi _{n}(\operatorname {Sym} ^{2}(V)),$ since ${\frac {1}{2}}(x\otimes y+y\otimes x)\not \in \operatorname {Sym} ^{2}(V).$ ${\displaystyle {\frac {1}{1$ $}$

요약하면, 특성 0의 한 분야에 걸쳐 대칭 텐서와 대칭 대수학은 두 개의 이형성 등급 벡터 공간을 형성한다. 따라서 그것들은 벡터 공간 구조에 관한 한 식별될 수 있지만, 제품이 관련되는 즉시 식별될 수는 없다. 더욱이 이러한 이형성은 이성적인 숫자를 포함하지 않는 양성적 특성과 고리의 분야로 확대되지 않는다.

범주형 속성

정류 링 $K$ 에 대한 모듈 $V$ 의 경우 대칭 대수 $S (V)$ 는 다음과 같은 범용 속성으로 정의할 수 있다.

V

에서 정류 대수

A

까지 모든 선형 지도

g:S(V)\to A

에 대해 고유한 대수 동형상 g

g:S(V)\to A

: S

g:S(V)\to A

(

g:S(V)\to A

)

g:S(V)\to A

→ A

{\displaystyle g

f=g\circ i,

S(V)\to A}

이

g:S(V)\to A

(가

)

있으며,

f=g\circ i,

=

f=g\circ i,

( i ,

{\displaystyle f=g\circ,},

여기

서

f=g\circ i,

나는 S

(V

)에

V

를 포함한다.

모든 보편적 속성에 대해서, 해결책이 존재하자마자, 이것은 특이하게 대칭 대수학, 즉 규범적 이형성까지 정의한다. 대칭대수의 모든 성질을 보편적 속성에서 추론할 수 있다는 것을 따른다. 이 절은 범주 이론에 속하는 주요 속성에 전념한다.

대칭 대수학은 K-modules 범주에서 K-commutional 대수 범주로의 functor로서, 보편적 속성은 모든 모듈 동형성 $f:V\to W$ : $f:V\to W$ → $f:V\to W$ ${\displaystyle f:$ $V\to W}$ 은(는) 대수 동일성 $S(f):S(V)\to S(W).$ ( $S(f):S(V)\to S(W).$ f ) → $S(f):S(V)\to S(W).$ ( $S(f):S(V)\to S(W).$ " $S(f):S(V)\to S(W).$ "로 $f:V\to W$ $S(f):S(V)\to S(W).$ 고유하게 $S(f):S(V)\to S(W).$ 확장될 수 있다 $.$ S $(f):$ $S(V)\to S(W).$ $}$

보편적 특성은 대칭대수학이 그 기초 모듈로 정류대수를 보내는 건망증이 심한 펑터(functor)에 대한 좌직교정이라고 말해 재구성할 수 있다.

아핀 공간의 대칭 대수

사람은 아핀 공간에 대칭 대수학을 유사하게 구성할 수 있다. 중요한 차이점은 아핀 공간의 대칭대수학은 등급화된 대수학이 아니라 여과된 대수학: 아핀 공간의 다항식의 정도를 결정할 수 있지만 그것의 동질적인 부분은 아니라는 것이다.

예를 들어 벡터 공간에 선형 다항식을 지정하면 0에서 평가하여 일정 부분을 결정할 수 있다. 아핀 공간에서는 구별되는 점이 없으므로 이것을 할 수 없다(어핀을 선택하면 아핀 공간이 벡터 공간으로 변한다).

외부 대수학과의 유사성

S는^k 외력에 필적할 만한 펑커다. 그러나 여기서 치수는 k와 함께 커진다. S는 다음과 같이 주어진다.

\operatorname {dim}(S^{k}(V)={\binom {n+k-1}{k}}}}

여기서 n은 V의 치수다. 이이항계수는 n-변수 단변수 k의 수입니다. 실제로 대칭 대수학 및 외부 대수학은 텐서 $V^{\otimes n}$ V $V^{\otimes n}$ ${\$ $S_{n$ $}$ 에 $S_{n}$ $S_{n}$ 하는 $S_{n}$ {\ $displaystyle$ S_ ${n$ $}$ 의 작용에 대한 이등형 및 부호 표현으로 나타난다( $V^{\otimes n}$ 예를 들어 복잡한 분야에 걸쳐).^{[citation needed]}

홉프 대수학으로서

대칭 대수학에는 홉프 대수학의 구조가 주어질 수 있다. 자세한 내용은 텐서 대수학을 참조하십시오.

범용포락 대수학으로서

대칭대수 S(V)는 아벨리안 리 대수, 즉 리 브라켓이 동일한 0인 보편적 포락 대수다.

참고 항목

외부 대수, 교류 대수 아날로그
등급별 대수학, 대칭 대수학 및 외부 대수학의 공통 일반화
Weyl 대수학(Weyl 대수학)은, 대칭 대칭 대수의 양자 변형이며, 동음이의 형태에 의한 것이다.
클리포드 대수학, 2차적 형태에 의한 외부 대수학의 양자 변형

참조

Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9

v t 대수학
지역들	추상대수학 범주론 초등 대수학 케이이론 정류대수학 비계산 대수 순서론 유니버설 대수학
대수구조	그룹(이론) 반지(이론) 모듈(이론) 밭 다항 링(폴리항식) 구성 대수
선형대수학	행렬(이론) 벡터 공간(벡터) 모듈 내부 제품 공간(점 제품) 힐베르트 공간
다중선 대수	텐서 대수 외부 대수 대칭대수학 기하 대수(멀티벡터)
주제 목록	추상대수학 대수구조 집단 이론 선형대수학
용어집	선형대수학 장 이론 링 이론 순서론
관련	수학 대수학사
카테고리 수학포털 위키북스 초급 선형 추상적 위키 다양성 선형 추상적

Search