프로베니우스 정리(차등 위상)

수학에서 프로베니우스의 정리는 1차 동종 선형 부분 미분 방정식의 과결정된 시스템의 최대 독립적 해법 집합을 찾는 데 필요하고도 충분한 조건을 준다. 현대 기하학 용어에서, 벡터 장의 계열을 주어진, 정리는 주어진 벡터장에 의해 접선 번들이 스패닝되는 최대 적분 다지기에 의한 엽의 존재에 필요한 충분한 통합성 조건을 제공한다. 이 정리는 하나의 벡터장이 항상 적분 곡선을 만들어 내는 것을 보증하는 일반적인 미분 방정식의 존재 정리를 일반화한다; 프로베니우스는 r 벡터장의 적분 곡선이 r차원 적분 다지관의 좌표 격자와 맞물리는 호환성 조건을 제공한다. 그 정리는 미분 위상과 다지관의 미적분학에서 기초한다.

소개

가장 기본적인 형태에서, 정리는 1차 선형 동종 편미분 방정식의 정규 시스템의 최대 독립적 해법 집합을 찾는 문제를 다룬다. 내버려두다

${\displaystyle \left\{f_{k}^{i}:\mathbf {R}^{n}\to \mathbf {R}\\\\\\1\leq i\lq n,1\leq k\leq r\right\}}}}}}}$

c¹ 함수의 집합이며, r < n, 행렬(f ⁱ
_k )이 r을 갖는 것이다. C² 함수 u에 대해 다음과 같은 부분 미분 방정식 시스템을 고려한다: Rⁿ → R:

${\displaystyle(1)\displays {\displaysty}L_{1}u\ {\stackrel {def}{}}}{=}\\\\sum _{i}f_{1}^{1}i}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0\\\\\\L_{2}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{2}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0\\\qquad \cdots \\L_{r}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{r}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}=0\end{cases}}}$

u, u_n−r, u, gradient ∇u₁, ..., ∇u가_n−r 선형적으로 독립되도록 솔루션 집합의₁ 존재에 관한 조건을 구한다.

프로베니우스 정리는 운영자 L이_k 비자발성으로 알려진 특정 통합성 조건을 만족하는 경우에만 이 문제가 국지적으로^[1] 해결책을 인정한다고 주장한다. 구체적으로는 형식상의 관계를 만족시켜야 한다.

${\displaystyle L_{i}L_{j}u(x)-L_{j}L_{j}u=\sum _{k}c_{ij}^{k}L_{k}u(x)}}$

1 i i, j ≤ r 및 모든 C 함수² u 및 x에 의존할 수 있는 일부 계수 c^k_ij(x)에 대하여. 즉, 정류자[L_i, L_j]는 모든 점에서 L의_k 선형 범위 안에 있어야 한다. 비자발성 조건은 부분파생상품의 공통성을 일반화한 것이다. 사실 프로베니우스 정리의 증명 전략은 연산자 L 사이에_i 선형 결합을 형성하여 결과 연산자가 통근하도록 한 다음, y₁, ..., y에_r 관한 부분파생물이 정밀하게 존재하는 좌표계 y가_i 있다는 것을 보여주는 것이다.

분석에서 지오메트리까지

시스템이 지나치게 결정되어도 일반적으로 무한히 많은 해결책들이 있다. 예를 들어, 미분 방정식의 시스템

${\displaystyle {\fract{case}{\frac}{\fract x}}+{\fract y}}{\fract y}}{\fract y}}{\fract y}}{\fracty f}{\fract z}=0\case{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여러 가지 해결 방법을 명확하게 허용한다. 그럼에도 불구하고, 이러한 해결책들은 완전히 설명될 수 있을 만큼 충분한 구조를 가지고 있다. 첫 번째 관찰은 f와₁ f가₂ 서로 다른 해법일지라도 f와₁ f의₂ 수평 표면이 겹쳐야 한다는 것이다. 실제로 이 시스템의 레벨 표면은 C 상수에 대한 x - y + z = C 형식의 모든³ 평면이다. 두 번째 관찰은 일단 레벨 표면이 알려지면 모든 해결책이 임의 함수의 관점에서 제공될 수 있다는 것이다. 평평한 표면의 용액 f 값은 정의에 따라 일정하므로, 다음과 같이 함수 C(t)를 정의한다.

${\displaystyle f(x,y,z)=C(t){\text{{}x-y+z=t마다.}$

반대로 함수 C(t)가 주어진다면, 이 식에 의해 주어진 각 함수 f는 원래 방정식의 해법이다. 따라서 수평면 계열이 존재하기 때문에 원 방정식의 해법은 한 변수의 임의 함수와 일대일 대응 관계에 있다.

프로베니우스의 정리는 (1)의 보다 일반적인 해결 사례에 대해 유사한 대응관계를 확립할 수 있도록 한다. u₁, ..., u가_n−r 구배에서의 독립성 조건을 만족하는 문제 해결책이라고 가정해 보자. (u₁, ..., u_n−r)의 수준 세트를^[2] R의^n−r 값을 갖는 함수로 간주한다. v₁, ..., v가_n−r 또 다른 해결책 모음인 경우, 수준 집합은 같지만 각 집합에 대해 상수를 선택할 가능성이 있다는 것을 보여줄 수 있다(일부 선형대수 및 평균값 정리를 사용). 따라서 (1)의 독립적 해법이 고유하지 않더라도 (1) 방정식은 수준 집합의 고유한 패밀리를 결정한다. 예시의 경우와 마찬가지로 (1)의 일반 솔루션 u는 수준 집합의 제품군에서 (지속적으로 다른) 기능과 일대일 대응 관계에 있다.^[3]

(1)의 최대 독립적 솔루션 세트에 해당하는 레벨 세트를 통합 다지관이라고 하는데, 이는 모든 통합 다지관의 수집에 관한 기능이 어떤 의미에서 통합 상수와 일치하기 때문이다. 일단 이러한 통합의 상수 중 하나가 알려지면 그에 상응하는 해결책도 알려지게 된다.

프로베니우스의 현대어 정리

프로베니우스 정리는 현대 언어로 더욱 경제적으로 재탄생될 수 있다. 프로베니우스의 정리에 대한 원판은 오늘날 미분 형태의 언어로 번역될 수 있는 파피안 계통의 용어로 명시되었다. 다소 직관적인 대체 제형은 벡터장을 사용한다.

벡터장을 이용한 제형

벡터장 제형에서, 정리는 다지관의 접선다발의 하위 번들이 규칙적인 모낭에서 발생하는 경우에만 통합될 수 있다(또는 비자발적)고 기술한다. 이러한 맥락에서 프로베니우스 정리는 통합성과 엽성을 연관시킨다. 정리를 설명하기 위해서는 두 개념 모두 명확하게 정의되어야 한다.

다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 임의의 평활 벡터 $필드{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X}$이(가) 곡선의 패밀리를$$ 정의하며, 그 일체형 곡선 $u{\displaystyle }$: ${\displaystyle I}$→ M ${\displaystyle u:$$I\to M}($$간격{\displaystyle }$ I ${\displaystyle I}$ $$) 이것들은 ${\displaystyle \mathrm{1차}}$ 일반 미분방정식의 체계인 u ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$($t$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_u}$ ($){\dot{u}}}=X_{u(t$의 해법인데, 이 해법은 피카르-린델뢰프 정리에 의해 그 해법이 보장된다. 벡터 필드 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 0이 아닐$$ 경우 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M$의 접선 번들의 1차원 하위 번들을 정의하고, 적분 곡선은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 정규 분포를 형성하므로, 1차원 하위 번들은 항상 통합이 가능하다$.$

서브번들 치수가 1보다 크면 조건을 부과할 필요가 있다. One says that a subbundle ${\displaystyle E\subset TM}$ of the tangent bundle ${\displaystyle TM}$ is integrable (or involutive), if, for any two vector fields ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ taking values in ${\displaystyle E}$, the Lie bracket ${\displaystyle [X,Y]}$ takes $값$도 E ${\displaystyle E}$에 포함하십시오$$. 이러한 통합성의 개념은 로컬로만 정의하면 된다. 즉$,$ 벡터 $필드{\displaystyle }$ $X$의 존재와$$ 그 $통합성$은 M ${\displaystyle M$}의 하위 집합에서만 정의하면 된다$.$

엽이에 대한 몇 가지 정의가 존재한다. 여기서는 다음을 사용한다.

정의. n-차원 다지관 M의 p-차원, 클래스 C^r 엽은 M을 다음과 같은 특성과 함께 엽의 잎이라고 불리는 분해연결 서브매니폴드 {L_α}_α∈A의 결합으로 분해하는 것이다. M의 모든 점에는 근린 U와 국부 C^r 좌표 x=(x¹, ⋅⋅⋅, xⁿ)가 있다 : U→Rⁿ 각_α 잎 L에 대해 U l_α L의 성분이^p+1 방정식 x=정수, ⋅⋅, xⁿ, x=정수식으로 설명된다. 엽은 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ ={$$L_α}_α∈A^[4]로 표시된다.

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P\in M}$ 및 $N$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N\subset M}$이(가) $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 통과하는 엽의 잎이라면 ${\displaystyle E_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ N ${\displaystyle E_{p}=}$이(가)이기 때문에 사소한 것으로 통합 가능한 하위 분들을 정의한다$$.$T_{p}N}$은(는) 통합이 가능하다. 프로베니우스의 정리에는 그 반대의 경우도 사실이라고 명시되어 있다.

위의 정의에 비추어 볼 때, Probenius의 정리에서는 $서브번들{\displaystyle }$E {\$displaystyle$ E$}$이($가{\displaystyle }$)$$M {\$displaystyle$ M$\}$의 규칙적인 모형으로 발생하는$$ 경우에만 통합할 수 있다고$$ 명시하고 있다.

미분형성형식

Let U be an open set in a manifold M, Ω¹(U) be the space of smooth, differentiable 1-forms on U, and F be a submodule of Ω¹(U) of rank r, the rank being constant in value over U. The Frobenius theorem states that F is integrable if and only if for every p in U the stalk F_p is generated by r exact differential forms.

기하학적으로, 그 정리는 1-형태의 순위 r의 통합 가능한 모듈이 코드인-r과 같은 것이라고 기술한다. 서문에 제시된 벡터장 측면에서의 정의에 대한 대응은 미분형식과 리파생물의 밀접한 관계에서 비롯된다. 프로베니우스의 정리는 벡터 장과 엽의 연구를 위한 기본적인 도구의 하나이다.

따라서 두 가지 형태의 정리가 있다. 하나는 분배로 작동하는 것이고, 하나는 접선 번들 TM의 부드러운 하위 번들 D이며, 다른 하나는 모든 형태의 등급 링 Ω(M)의 하위 번들로 작동하는 것이다. 이 두 가지 형태는 이중성에 의해 연관되어 있다. If D is a smooth tangent distribution on M, then the annihilator of D, I(D) consists of all forms ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ (for any ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,\operatorname {dim} M\}}$) such that

${\displaystyle \property(v_{1},\properties,v_{k}=0}$

모든 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$v ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ D ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k}\in D$에 대해. 집합 I(D)는 서브링을 형성하며, 사실상 Ω(M)에서 이상적이다. 나아가 외부 파생상품의 정의를 이용하면 D가 비자발적인 경우에만 외부 분화(차등적 이상)에 따라 I(D)가 닫힌다는 것을 알 수 있다. 결과적으로 프로베니우스 정리는 D가 통합 가능한 경우에만 외부 분화 하에서 I(D)가 닫히는 동등한 형태를 취한다.

일반화

그 정리는 다양한 방법으로 일반화될 수 있다.

무한치수

한 가지 무한한 차원의 일반화는 다음과 같다.^[5] X와 Y를 바나흐 공간으로 하고, A ⊂ X, B ⊂ Y를 오픈 세트 한 쌍으로 한다. 내버려두다

$(\displaystyle F:A\time B\to L(X,Y)}$

Cartesian 제품(X × Y에 포함된 것과 다른 구조를 이어받음)에서 X를 Y로 연속적으로 선형 변환하는 공간 L(X,Y)으로 연속적으로 다른 기능을 한다. A → B는 미분방정식의 해법이다.

${\displaystyle(1)\quad y'=F(x,y)}$

만일

$[\displaystyle \forall x\in A:\quad u'(x)=F(x,u(x))]}$

각${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}}\A\times B}$에$$대해 (1) u(x₀)=y와₀ 같은 고유한 솔루션 u(x)가 U에 정의되어 있는 x의₀ 인접 U가 있다면 (1)은 완전히 통합할 수 있다.

프로베니우스 정리의 조건은 밑바탕에 있는 장이 R인지 C인지에 따라 달라진다. R이면 F가 지속적으로 다르다고 가정한다. C인 경우 F가 연속적으로 2배 차이가 있다고 가정한다. 그 다음에 (1)은 다음의 경우에 한하여 A × B의 각 지점에서 완전히 통합할 수 있다.

${\displaystyle D_{1}F(x,y)\cdot(s_{1},s_{2})+D_{2}F(x,y)\cdot(F(x,y)\cdot s_{1},s_{2}=D_{1}F(x,y)\cdot(s_{2},s_{1})+D_{2}F(x,y)\cdot(F(x,y)\cdot s_{2},s_{1}}}}}}$

모든 s에₁ 대해, s₂ ∈ X. 여기₁ D(resp) D₂) denotes the partial derivative with respect to the first (resp. second) variable; the dot product denotes the action of the linear operator F(x, y) ∈ L(X, Y), as well as the actions of the operators D₁F(x, y) ∈ L(X, L(X, Y)) and D₂F(x, y) ∈ L(Y, L(X, Y)).

바나흐 다지관

프로베니우스 정리의 무한 차원 버전도 바나흐 다지관을 가지고 있다.^[6] 그 진술은 본질적으로 유한차원 버전과 동일하다.

M을 적어도 C급의² 바나흐 다지관이 되게 하라. E는 M의 접선 다발의 하위 번들이 되게 하라. p 부근에 정의된 각 지점 p p M과 E의 섹션 X와 Y의 쌍에 대해 p에서 평가된 X와 Y의 눕는 괄호가 E_p:에 있는 경우 번들 E는 비자발적이다.

${\displaystyle [X,Y]_{p}\in E_{p}}}$

한편, 각 p ∈ M에 대해, φ의 차이가 φE와⁻¹ TN의 이형성일 정도로 p가 포함된, image이 포함된 immersed : N → M 함몰된 하위 manifold가 있다면 E는 통합할 수 있다.

프로베니우스 정리는 하위 번들 E는 그것이 비자발적인 경우에만 통합될 수 있다고 말한다.

홀로모르퍼스형식

정리의 진술은 복잡한 다지관의 홀로모픽 1-형식 - 생물홀모픽 전환 기능이 있는 C 위의 다지관에 대해 참으로 남아 있다.^[7]

구체적으로, ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}^{}}$1${\displaystyle }$, …${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ r$${\$displaystyle \omega$^{$1},\dots,\omega$^{$r}}$이(가) C에ⁿ 있는 오픈 세트의 r 선형 독립형 홀모픽 1-폼인 경우$$, 다음과 같이 된다.

${\displaystyle d\omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}\reason _{i}^{j}\reason \omega ^{i}}}}$

1-162 ψ ^j
_i, 1 ≤ i, j r r의 어떤 시스템에 대해서, 그러면 아마도 더 작은 도메인에서, 그러한 holomorphic 함수 f와_i^j g가ⁱ 존재한다.

${\displaystyle \omega^{j}=\sum _{i=1}^{r}f_{i}^{j}dg^{i}.}$

이 결과는 프로베니우스 정리의 다른 버전과 같은 의미로 국소적으로 유지된다. 특히 C의ⁿ 도메인에 대해 명기되어 있다는 사실은 제한적이지 않다.

상위학위양식

이 진술은 다르부스의 정리나 카르탄-케를르 정리 등 여러 가지 부분적인 결과가 있기는 하지만 더 높은 수준의 형태로 일반화되지는 않는다.

역사

페르디난드 게오르크 프로베니우스에게 이름이 붙여졌음에도 불구하고, 이 정리는 알프레드 클레브슈와 표도르 데아나에 의해 처음으로 증명되었다. 데아나는 정리를 위한 충분한 조건을 확립한 첫 번째 사람이었고, 클레브슈는 필요한 조건을 개발했다. 프로베니우스는 이 정리를 파피안 시스템에 적용하는 책임을 지고 있어, 차등 위상에서의 그 사용의 길을 열어준다.

적용들

• 고전 역학에서, 시스템의 제약 조건 방정식의 통합성은 시스템이 홀로노믹인지 또는 비홀로닉인지 여부를 결정한다.

참고 항목

• 차동 시스템의 통합성 조건
• 영역직선정리
• 뉴랜더-니렌버그 정리

메모들

참조

• H. B. 로슨, 엽의 질적 이론, (1977) 미국 수학학회 CBMS 시리즈 27권, AMS, 프로비던스 RI.
• 랄프 아브라함과 제롤드 E. Marsden, Foundation of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See 정리 2.2.26.
• 클렙쉬, A. "Uber die die 동시 통합 라인에 partieller different different differently integration lineer", J. Reine. 안젤로. 수학. (크렐레) 65 (1866) 257-268.
• 데아나, F. "위버 다이 베딩궁엔 데르 통합빌리티타트...", J. 레이네 안젤루. 수학. 20 (1840) 340-350.
• 프로베니우스, G. "위버 다스 파프시 문제", J. Für Reine und Agnew. 수학, 82 (1877년) 230-315.