함수 방정식(L-함수)
Functional equation (L-function) | 이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. L – ·· 책 · (2009년 12월)(이 템플릿 하는 |
수학에서 숫자 이론의 L-기능은 몇 가지 특성 특성을 가질 것으로 예상되는데, 그 중 하나는 특정한 기능 방정식을 만족시킨다는 것이다.이 방정식들이 무엇이 되어야 하는지에 대한 정교한 이론이 있는데, 그 대부분은 여전히 추측이다.
소개
프로토타입적인 예로서, Riemann zeta 함수는 복합수 s에서의 값과 1 - s의 값을 연관시키는 함수 방정식을 가지고 있다.모든 경우에 이것은 무한 시리즈 정의의 분석적 연속성에 의해서만 정의되는 어떤 가치 ζ과 관련된다.즉, s의 실제 부분에 대한 쓰기와 마찬가지로 기능 방정식은 사례와 관련이 있다.
- σ > 1과 σ < 0,
그리고 또한 로부터의 사건을 바꾸었다.
- 0 < σ < 1
σ = ½ 라인에 반영되는 다른 경우에 대한 비판적 스트립에서.따라서 전체 복잡한 평면에서 제타 기능을 연구하기 위해서는 기능 방정식의 사용이 기본이다.
리만 제타 함수에 대한 문제의 함수 방정식은 간단한 형태를 취한다.
여기서 Z는 감마 함수를 포함하는 감마 요인에 곱한 ζ이다.이것은 이제 무한 프라임에 해당하는 제타 기능을 위한 오일러 제품의 '추가' 인자로 읽힌다.숫자 필드 K의 디데킨드 제타 함수에 대해 동일한 모양의 함수 방정식이 유지되며, K의 임베딩에만 의존하는 적절한 감마 인자(대수학 용어로, 실제 필드와 함께 K의 텐서 곱에 의존함)가 있다.
디리클레 L 기능에도 유사한 방정식이 있지만, 이번에는 쌍으로 이를 연관시킨다.[1]
dir 원시 디리클레 문자와 함께, χ* 그 복잡한 결합, λ L 함수 λ 감마 인자에 곱한 λ, ε 형상의 복합수 ε 절대값 1
여기서 G(G)는 χ으로 형성된 가우스 합이다.이 방정식은 {0,1,-1}의 값을 취하면서 χ이 실제 문자인 경우에만 양쪽에 동일한 함수를 가진다.그 다음 ε은 1 또는 -1이어야 하며, 값 -1의 경우는 s = ½에서 λ의 0을 의미한다.가우스 합계의 이론(가우스, 사실상)에 따르면, 그 값은 항상 1이므로, 그러한 단순한 0은 존재할 수 없다(함수는 심지어 포인트에 관한 것이다).
함수 방정식 이론
그러한 기능 방정식의 통일된 이론은 에리히 헤케에 의해 제시되었고, 그 이론은 테이트의 논문에서 존 테이트에 의해 다시 채택되었다.헤케는 현재 헤케 문자라고 불리는 숫자 필드의 일반화된 문자를 발견했는데, 이 때문에 (세타 함수에 근거한) 그의 증명도 작용했다.디리클레 문자는 사이클로토믹 필드에 해당하기 때문에 이러한 문자와 그와 연관된 L-기능은 이제 복합 곱셈과 엄격히 관련되는 것으로 이해된다.
국부 제타 기능에 대한 기능 방정식도 있으며, 에테일 코호몰로지에서 푸앵카레 이중성의 (아날로그) 기본 수준에서 발생한다.국소 제타 기능을 얻기 위해 모듈로 프라임 이상을 줄임으로써 형성된 숫자 필드 K에 대한 대수적 다양성 V에 대한 하세-윌 제타 함수의 오일러 제품은 전지구적 기능 방정식을 갖는 것으로 추측되지만, 현재 이것은 특별한 경우를 제외하고는 손이 닿지 않는 것으로 간주되고 있다.그 정의는 다시 한번 엣테일 코호몰로지 이론에서 직접 읽을 수 있다. 그러나 일반적으로 자동형 표현 이론에서 오는 어떤 가정은 기능 방정식을 얻기 위해 필요한 것 같다.타니야마족시무라 추측이 일반적인 이론으로서 이것의 특별한 경우였다.감마인자 측면과 호지 이론, 그리고 기대되는 factor 인자에 대한 상세한 연구를 연관시킴으로써, 실증적으로서의 이론은 비록 증거가 누락되어 있더라도 상당히 정제된 상태에 이르게 되었다.
참고 항목
- 명시적 공식(L-기능)
- 리만-시겔 공식(특히 근사 함수 방정식)
