가우스-레젠드르 사분법

수치해석에서는 가우스-레젠드르 사분법(Gauss-Legendre Quadrature)은 함수의 확정 적분 근사치를 위한 가우스 사분법의 한 형태다.[-1, 1] 간격에 걸쳐 통합하는 경우 규칙은 다음과 같은 형식을 취한다.

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx\관련 \sum _{i=1}^{n}w_{i_{i}f(x_{i}}}}}}}}}}$

어디에

• n은 사용된 샘플 포인트의 수입니다.
• w는_i 4각형 가중치, 그리고
• x는_i n번째 레전드르 다항식의 뿌리다.

이러한 2차 가중치와 2차 노드 x의_ii 선택은 2n - 1 다항식을 정확히 통합할 수 있는 고유한 선택이다.

많은 알고리즘이 Gauss-Legendre 사분법 규칙 계산을 위해 개발되었다.1969년에 제시된 Golub-Welsch 알고리즘은 QR 알고리즘에 의해 해결되는 고유값 문제에 대한 노드 및 가중치의 연산을 감소시킨다.^[1]이 알고리즘은 인기가 있었지만 훨씬 더 효율적인 알고리즘이 존재한다.뉴턴-Raphson 방법에 기초한 알고리즘은 훨씬 더 큰 문제 크기에 대한 4각 규칙을 계산할 수 있다.2014년 Ignace Bogaert는 가우스-레젠드르 4차 가중치와 노드에 대해 명시적인 점증식 공식을 제시했는데, 이는 n n 21의 어떤 선택에서도 이중 정밀 기계 엡실론 내에 정확하다.^[2]이를 통해 n이 10억을 초과하는 값에 대한 노드와 가중치를 계산할 수 있다.^[3]

역사

칼 프리드리히 가우스는 1814년에 계속되는 분수로 계산하여 가우스-레젠드르 사분법 법칙을 최초로 도출했다.^[4]그는 노드와 무게를 16자리까지 계산하여 n=7을 수작업으로 주문했다.칼 구스타프 제이콥 야코비는 4행 규칙과 레전드르 다항식의 직교 계열 사이의 연관성을 발견했다.4각형 무게와 노드에 대한 폐쇄형 형태 공식이 없기 때문에, 수십 년 동안 사람들은 그것들을 작은 n에 대해서만 손으로 계산할 수 있었고, 4각형을 계산하는 것은 무게와 노드 값이 포함된 표를 참조함으로써 이루어져야 했다.1942년까지 이 값들은 n=16까지만 알려져 있었다.

정의

$[{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [-1,1]$을 가우스-레전드르 사분법과 통합하기 위해 관련 직교 다항식은 P(x)로_n 표시된 범례$$ 다항식이다.P_n(1) = 1이 되도록 n번째 다항식 정규화 상태에서 i번째 가우스 노드 x는_i P의_n i번째 루트이고 가중치는 공식(Abramowitz & Stegun 1972, p.87) harv 오류: 대상 없음: CITREFAbramowitzStegun72 (도움말)

${\displaystyle w_{i}={\frac {2}{2}^{2}\오른쪽)\왼쪽[P'_{n}(x_{i}\right]^{2}}.}$

아래 ${\displaystyle \mathrm{표}}$에는${\displaystyle }$[ -${\displaystyle }$1,${\displaystyle 1}$] {\$displaystyle$[-$1,$1]}에 걸쳐 통합하기 위한 일부 저차 4차 규칙이 나와 있다$.$

점 수, n	점i, x		무게i, w
1	0		2
2	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt{3}}}}}$	±0.57735…	1
3	0		${\displaystyle {\frac {8}{9}}$	0.888889…
	${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {3}{5}}}}}}$	±0.774597…	${\displaystyle {\frac {5}{9}}$	0.555556…
4	${\displaystyle \pm{\sqrt{3}{7}-{\frac {2}{7}{\sqrt{\frac {6}{5}}}}}}}}}}}}}}}}$	±0.339981…	${\displaystyle {\frac {18+{\sqrt{30}}{36}}}$	0.652145…
	${\displaystyle \pm{\sqrt{3}{7}}{7}+{\frac {2}{7}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	±0.861136…	${\displaystyle {\frac {18-{\sqrt{30}}{36}}}$	0.347855…
5	0		${\displaystyle {\frac}{filename}}$	0.568889…
	${\displaystyle \pm{\frac {1}{3}{5-2}\sqrt{\frac{10}{7}}}}}}}{\sqrt{5-2}}}}}}}}}}}}$	±0.538469…	${\displaystyle {\frac {322+13{\sqrt{70}}{900}}}$	0.478629…
	${\displaystyle \pm{\frac {1}{3}{5+2}{\sqrt{\frac{10}{7}}}}}}}}{\preqrt{5+2}}}}}}}}}}}}}}}$	±0.90618…	${\displaystyle {\frac {322-13{\sqrt{70}}{900}}}$	0.236927…

일반적인 실제 간격${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle }$b${\displaystyle }$] ${\displaystyle [a,b]}$에 걸쳐 통합하기 위해$,$ [${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 1]}$ ${\displaystyle [-1,1]}$에 걸친 통합 중 하나로 문제를 변환하기 위해 간격 변경을 적용할 수 있다$.$

알고리즘

뉴턴-래프슨 방법

여러 연구자들이 기능의 뿌리를 찾기 위한 뉴턴-래프슨 방법을 기반으로 가우스-레젠드르 쿼드라처 노드와 가중치를 계산하는 알고리즘을 개발했다.이 특정 문제에 대한 다양한 최적화가 사용된다.예를 들어, 몇몇 방법 θ를 계산하다. 나는 arccos ⁡)나는}x_{나는}{\displaystyle \theta_{나는}=\arccos − 일부 메서드 .[5][6]1{\displaystyle)}1{1\displaystyle}공식과 가까워지려고 이용하는 시간 간격의 끝 근처에 x 나는{\displaystyle x_{나는}문제의 뿌리 부분 집단 형성과 관련된}을 피하기 위해 정도씩 생겨나고 있다.그그 다음 뉴턴-Raphson의 몇 번 반복을 사용하여 근사치의 오차를 기계 정밀도 이하로 낮춘다.^[7][5]

골럽-웰슈

1969년 골룹과 웰슈는 기초 직교 다항식이 만족하는 3개 용어 재발 관계를 감안하여 가우스 4각 규칙을 계산하는 방법을 발표했다.^[1]그들은 가우스 사분법 규칙의 노드를 계산하는 문제를 특정 대칭 3지각 행렬의 고유값을 찾는 문제로 줄인다.QR 알고리즘은 이 매트릭스의 고유값을 찾는 데 사용된다.대칭 3지각 구조를 활용함으로써 고유값은 일반 고유값 문제에 예상되는 $O{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$) ${\$${O}(n^{3$}) {\$displaystyle {\mathcal {O}(n^{3})$과 $반대$로 O${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystystyle$ {\mathcal {O$$$}}}}}}}}}$시간 단위로 계산할 수 있다.

점근식

대략적인 폐쇄형 표현식을 사용하여 노드를 계산하는 다양한 방법이 개발되었다.위에서 언급한 바와 같이, 일부 방법에서 공식은 노드에 대한 근사치로 사용되며, 그 후에 근사치를 정제하기 위해 뉴턴-래프슨 반복이 수행된다.2014년 논문에서 Ignace Bogaert는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 21}$ ${\$$displaystyle n\geq$ $21$$}$에 대해 기계 정밀도까지 정확한 노드 $및{\displaystyle }$ n${\displaystyle 30}$ $30$에 대해 기계 정밀도까지 정확한 가중치에 대해 점근성 공식으로 도출되었다$.$^[2]이 방법은 다른 방법처럼 Besel 함수의 평가나 뉴턴-Raphson 반복을 필요로 하지 않는다.논문에서 보듯이 이 방법은 11초 만에 10억 개의 문제 크기로 노드를 계산할 수 있었다.$[{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [-1,1]}$의 끝점 근처에 있는 노드가 이 문제 크기에서 서로 매우 가까워지기$$ 때문에, 이 노드 계산 방법은 기본적으로 이중 정밀 부동 소수점에서의 실질적인 적용에 충분하다.

고정밀도

요한슨과 메자롭바는^[8] 가우스-레젠드르 사분법 규칙을 임의의 정밀도 산술로 계산하는 전략을 기술하고 있어, $작거나{\displaystyle }$ 큰 n ${\$$displaystyle n}$을 모두 허용하고 있다$.$ 순서 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1000}$ = 1000 {\$displaystyn=1000}$의 정밀도는$$ 약 1초만에 계산할 수 있다.그들의 방법은 레전드르 다항식을 평가하기 위해 몇 가지 다른 기법과 함께 뉴턴-래프슨 반복을 사용한다.알고리즘은 인증된 오류 바인딩도 제공한다.

다른 2차 규칙과의 비교

Gauss-Legendre 4각형은 매우 좁은 의미에서 [-1, 1]을 통한 함수 f의 통합 계산에 최적이다. 다른 4각 규칙은 n개의 샘플 포인트를 사용할 때 모든 도 2n - 1 다항식을 정확히 통합하지 않기 때문이다.그러나 이러한 정확도 측정은 일반적으로 매우 유용한 측정은 아니다. 폴리노멀은 통합이 매우 간단하며, 이 주장 자체만으로는 다른 기능 통합에 대한 더 나은 정확성을 보장하지 않는다.

Clenshaw-Curtis 사분위는 Chebyshev 노드에서 다항 보간물에 의한 근사 f에 기초하며, n개의 샘플이 주어졌을 때 정확하게 n까지의 다항식을 통합한다.[-1, 1]과 가우스-레젠드르 사분면뿐만 아니라 [-1, 1]의 대규모 근방에서 분석적인 다항식 또는 기타 기능을 통합하지 않더라도, 대부분의 (비분석적) 통합에서 클렌쇼-커티스는 가우스-레젠드르 사분면과 거의 같은 비율로 수렴한다.^[9]또한, Clenshaw-Curtis는 Gauss-Legendre 4중주체가 모든 연속적 통합에 대해 정합성을 누리고 있는 특성과 숫자 반올림 오류에 대한 강건성을 공유한다.^[10]Clenshaw-Curtis는 FFT 기반 방법으로 $O{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle n}$ $){\displaystyle {\mathcal{O}(n\log n)}$시간$$ 구현이 간단하다.

뉴턴-코테스 사분위는 [-1, 1]의 동일한 간격으로 다항 보간물에 의한 근사치 f에 기초하며, 클렌쇼-커티스와 마찬가지로 n개의 표본이 주어졌을 때 정확히 n까지의 다항식을 통합한다.그러나, 뉴턴-코테스는 n이 증가함에 따라 룬지의 현상을 겪는다; 뉴턴-코테스는 일부 연속적인 통합업체 f에 대해 수렴하지 않으며, 수렴할 때 숫자 반올림 오류로 인해 고통을 받을 수 있다.^[10]따라서, Clenshaw-Curtis와 Gauss-Legendre 모두 중간에서 큰 n에 대해 Newton-Cotes에 비해 상당한 이점을 누린다.

참조