삼지각 행렬

선형대수학에서 삼지각행렬은 주 대각선상에 0이 아닌 원소를 갖는 밴드 행렬로, 주 대각선 위에만 첫 번째 대각선, 그리고 주 대각선 위에 첫 번째 대각선이 있다.

예를 들어, 다음 행렬은 삼지각형이다.

{\pmatrix}1&4&0&0\\3&1&0\\0&3\\end{pmatrix}.

삼지각 행렬의 결정 인자는 원소의 연속성에 의해 주어진다.^[1]

대칭(또는 에르미트어) 행렬을 3지각형 형태로 직교 변환하는 것은 Lanczos 알고리즘을 사용하여 수행할 수 있다.

특성.

3각형 행렬은 헤센베르크 행렬의 상단과 하단에 있는 행렬이다.^[2] 특히 3각 행렬은 p + q/2 = n — 3각 행렬의 치수처럼 p 1 by-1과 q 2 by-2 행렬의 직접 합이다. 일반적인 3각형 행렬이 반드시 대칭이거나 에르미트어인 것은 아니지만, 선형 대수 문제를 풀 때 발생하는 많은 행렬은 이러한 속성 중 하나를 가지고 있다. 또한 실제 3각형 행렬 A가 모든 k에 대해_k,k+1_k+1,k a > 0을 만족하여 입력의 기호가 대칭인 경우, 기준 행렬의 대각선 변화에 의해 은둔형 행렬과 유사하다. 그러므로, 그것의 고유값은 진짜다. 만약 우리가 엄격한 불평등을 ≥ 0으로_k,k+1_k+1,k 대체한다면, 그렇다면 연속성에 의해, 고유값은 여전히 실제라고 보장되지만, 행렬은 더 이상 은둔자 행렬과 유사할 필요가 없다.^[3]

모든 n × n 삼지각 행렬의 집합은 3n-2차원 벡터 공간을 형성한다.

많은 선형 대수 알고리즘은 대각 행렬에 적용할 때 계산 노력이 현저히 덜 필요하며, 이러한 개선은 3각 행렬에도 종종 이월된다.

결정인자

순서 n의 삼지각 행렬 A의 결정 인자는 3개월의 재발 관계에서 계산할 수 있다.^[4] 쓰기₁ f₁ = a = a(즉₁, f는₁ a로만₁ 구성된 1 X 1 행렬의 결정인자임)로 하고, let let

f_{n}={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{vmatrix}}.

시퀀스(f_i)를 연속체라고 하며, 재발 관계를 만족한다.

f_{n}=a_{n}f_{n-1}-c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2}

초기 값 f₀ = 1 및 f = 0₋₁. 이 공식을 사용하여 3각형 행렬의 결정 인자를 계산하는 비용은 n 단위의 선형인 반면, 일반 행렬의 비용은 세제곱이다.

반전

비성삼각형 행렬의 역행렬 T

T={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}}

에 의해 주어지다

(T^{-1})_{ij}={\begin{cases}(-1)^{i+j}b_{i}\cdots b_{j-1}\theta _{i-1}\phi _{j+1}/\theta _{n}&{\text{ if }}i<j\\\theta _{i-1}\phi _{j+1}/\theta _{n}&{\text{ if }}i=j\\(-1)^{i+j}c_{j}\cdots c_{i-1}\theta _{j-1}\phi _{i+1}/\theta _{n}&{\text{ if }}i>j\\\end{cases}}

θ이_i 재발 관계를 만족하는 경우.

\theta _{i}=a_{i}\theta _{i-1}b_{i-1}c_{i-1}\theta _{i-2}\qquad i=2,3,\ldots,n

초기 조건 θ₀ = 1, θ₁ = a 및₁ ϕ_i 만족

\phi _{i}=a_{i}\phi _{i+1}-b_{i}c_{i}\phi _{i+2}\qquad i=n-1,\ldots,1

초기 조건 ϕ_n+1 = 1 및 ϕ_n = a_n.^[5]^[6]

닫힌 폼 솔루션은 모든 대각선 및 비대각 원소가^[8] 동일한^[7] 대칭 행렬과 같은 특수한 경우와 일반 사례에 대해서도 계산할 수 있다.^[9]^[10]

일반적으로 삼지각 행렬의 역행렬은 반음행렬이고 그 반대도 반음행렬이다.^[11]

선형계 해법

등식 Ax = b for $b\in \mathbb {R} ^{n}$ $b\in \mathbb {R} ^{n}$ $b\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 의 시스템은 A가 삼지각 행렬 알고리즘이라 불리는 삼지각일 때 가우스 제거의 효율적인 형태로 해결할 수 있어 $b\in \mathbb {R} ^{n}$ O(n) 연산이 필요하다.^[12]

아이겐값

3각형 행렬이 또한 토플리츠일 때, 그것의 고유값을 위한 단순한 폐쇄형 솔루션이 있다. 즉,^[13]^[14] 다음과 같다.

a+2{\sqrt{bc}\cos \left\frac {k\pi }{n+1}\오른쪽)\qquad k=1,\ldots,n.

실제 대칭 3각형 행렬은 실제 고유값을 가지며, 모든 비대칭 원소가 0이 아닐 경우 모든 고유값은 구별(단순)된다.^[15] 실제 대칭 3지각 행렬의 고유값을 임의의 유한 정밀도로 수치 연산하기 위해 수많은 방법이 존재하며, 일반적으로 크기 $n\times n$ $n\times n$ $n\times n$ ${\displaystyle$ $O(n^{2$ })의 행렬에 $O(n^{2})$ O $($ $O(n^{2})$ ) ${\displaystyle$ N(\displaysty $n\times$ n $})$ 연산이 $O(n^{2})$ 필요하다 $n\times n$ $O(n\log n)$ $O(n\log n)$ $O(n\log n)$ ) ${\displaystyle O(n\log$ n $)}$ 만 필요 $O(n\log n)$ ^[16]

곁눈질로, 축소되지 않은 대칭 3각 행렬은 3각형의 비대칭 원소를 포함하는 행렬로, 고유값은 구별되는 반면 고유 벡터는 스케일 팩터까지 고유하며 상호 직교한다.^[17]

비대칭 3각형 행렬의 경우 유사성 변환을 사용하여 Eigendecomposition을 계산할 수 있다.

대칭 3각형 행렬과의 유사성

실제 3지각, 비대칭 행렬이 지정됨

T={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}}

여기서 $b_{i}\neq c_{i}$ $b_{i}\neq c_{i}$ $b_{i}\neq c_{i}$ $b_{i}\neq c_{i}$ $b_{i}\neq c_{i}$ ${\$

대각선 이탈 입력의 각 제품이 엄격하게 $b_{i}c_{i}>0$ 의 b i i $b_{i}c_{i}>0$ > $b_{i}c_{i}>0$ {\ $displaystyle$ b_ ${i}c_{i}>0}$ 이라고 가정하고 $b_{i}c_{i}>0$ 변환 매트릭스 $D$ $D$ 을 $D$ (를) 정의하십시오.

D:=\operatorname {diag}(\delta _{1},\dots,\delta _{n})\quad {\text{for}\quad \delta _{i}:={\cHB{case}1.&,\,i=1\\\\\\sqrt {\c_{i-1}\c_{1}\c_{1}{1}:{b_{i-1}\{1}}}},\i=2,\n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,},}\end{case}}

유사성 변환 $D^{-1}TD$ - $D^{-1}TD$ $D^{-1}TD$ $D^{-1}TD$ ${\displaystyle$ D $^{-1}$ $TD}$ 은(는) 다음을 기준으로 $J$ 대칭^[18] 3각형 $매트릭스$ J {\ $displaystyle$ J $}$ 을(를 $D^{-1}TD$ ) 산출함

J:=D^{-1}TD={\begin{pmatrix}a_{1}&,\operatorname{sgn}b_{1}\,{\sqrt{b_{1}c_{1}}}\\\operatorname{sgn}b_{1}\,{\sqrt{b_{1}c_{1}}}&a_{2}&,\operatorname{sgn}b_{2}\,{\sqrt{b_{2}c_{2}}}\\&,\operatorname{sgn}b_{2}\,{\sqrt{b_{2}c_{2}}}&\ddots, \ddots \\&,&\ddots &, \ddots &,\operatorname{sgn}b_{n-1}\,{\sqrt{b_{n-1}c_{n&.1}}}\\&,&&,\operatorname{sgn}b_{n-1}\,{)sqrt{b_{n-1}c_{n-1}}&a_{n}\end{pmatrix}\,

$T$ $T$ 과 $T$ ( $)$ J {\ $displaystyle J}$ 의 고유값이 동일하다는 점에 유의하십시오 $J$ .

컴퓨터 프로그래밍

일반 매트릭스를 헤센베르크 양식으로 줄이는 변환은 에르미트 매트릭스를 3각형 형태로 감소시킬 것이다. 그러므로 많은 고유값 알고리즘이, 에르미타니아 행렬에 적용되었을 때, 입력된 에르미타니아 행렬을 첫 번째 단계로 (대칭 실제) 삼지각형 형태로 감소시킨다.

3각형 매트릭스는 또한 특별한 저장 방식을 사용하여 일반 매트릭스보다 더 효율적으로 저장할 수 있다. 예를 들어, LAPACK Fortran 패키지는 대각선 요소를 포함하는 길이 n의 하나, 그리고 대각선과 초대각선을 포함하는 길이 n - 1의 두 개의 n - 1의 비대칭 3차원 배열로 저장된다.

참고 항목

펜타디각 행렬

메모들

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외부 링크

LAPACK 설명서의 트리디각 및 비디각 행렬.
Moawwad El-Mikkawy, Abdelrahman Karawia (2006). "Inversion of general tridiagonal matrices" (PDF). Applied Mathematics Letters. 19 (8): 712–720. doi:10.1016/j.aml.2005.11.012. Archived from the original (PDF) on 2011-07-20.
응축형(Hessenberg, 3지각형, 비다이각형) 형태로의 축소를 위한 고성능 알고리즘
3각 선형 시스템 용해제(C++)

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[3] 혼 앤 존슨, 174페이지

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[14] 왜냐하면 cos⁡()))− 못 말리겠고 ⁡(π −)){\displaystyle \cos())=-\cos(\pi -x)}, Kulkarni, D;슈미트, D;추이, S.K.(1999년):에 수행됩니까 이것은 또한 한+2bc. 왜냐하면 ⁡(kπ/(n+1)){\displaystyle a+2{\sqrt{bc}}\cos(k\pi/{())})}같이 쓸 수 있다."3중 대각 pseudo-Toeplitz 매트릭스의 고유"(PDF).선형 대수학과 그 응용.297:63.doi:10.1016(99)00114-7.

[15] Parlett, B.N. (1980). The Symmetric Eigenvalue Problem. Prentice Hall, Inc.

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v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제한된 항목	교번트 반대각형 반헤르미티아누스 반대칭 화살촉 밴드 비다이각형 이대칭 블록 대각선 블록 블록삼각형 부울 카우치 중심대칭 회의 콤플렉스 하다마드 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초급 등가 프로베니우스 일반화 순열 하다마드 행클 에르미트어 헤센베르크 할로우 정수 논리적인 매트릭스 단위 메츨러 무어 비음성 펜타디각형 순열 당칭 다항식 쿼터니온어 서명 스큐헤르미티안 스큐 대칭 스카이라인 스파스 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형 삼두각형 유니타리 반데르몽드 월시 Z
상수	교환 힐베르트 아이덴티티 레머 1개 중 파스칼 파울리 레데퍼 시프트 영
고유값 또는 고유벡터 조건	동반자 수렴성 결함이 있는 대각선 가능 후르비츠 포지티브-확정성 슈틸트제스
제품 또는 역에 대한 만족도 조건	컨그루엔트 Idempotent 또는 Projection 되돌릴 수 없는 비자발적 닐포텐트 정상 직교 단모듈라 전지전능 완전히 단변성 체중 측정
특정 애플리케이션 사용	애드주게이트 교대 부호 증강됨 베주트 칼레만 카르탄 서큘런트 공동 인자 정류 혼란 콕시터 거리 중복 및 제거 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 제너레이터 그램 헤시안 세대주 야코비안 모멘트 모두 다 갚다, 청산하다 뽑다 무작위 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 완전히 긍정적이다. 변환
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 디자인 이중 확률적 피셔 정보 모자 정밀도 스토카스틱 전이
그래프 이론에 사용됨	인접 바이애드제이컨시 정도 에드먼즈 발생 라플라시안 사이델 인접 투테
이공계에 사용됨	카비보-코바야시-마사와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연관성 감마 겔만 해밀턴어 불규칙한 겹치다 S 국가전환 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정상 형태 선형독립 행렬 지수 원뿔 단면의 행렬 표현 퍼펙트 매트릭스 사이비인버스 행 에슐론 양식 룬스키안
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