체비셰프 노드

수치 분석에서 체비셰프 노드는 구체적인 실제 대수적 수, 즉 제1종 체비셰프 다항식의 뿌리다. 그들은 종종 다항식 보간에서 노드로 사용된다. 그 결과 보간 다항식은 룬게 현상의 영향을 최소화하기 때문이다.^[2]

정의

주어진 양의 정수 n에 대해 (-1, 1) 간격의 체비셰프 노드는

${\displaystyle x_{k}=\cos \left \frac {2k-1}{2n}\pi \right),\cHB k=1,\ldots,n.}$

이것들은 제1종 n의 체비셰프 다항식의 뿌리다. 임의 간격[a, b]에 걸친 노드의 경우, 아핀 변환을 사용할 수 있다.

${\displaystyle x_{k}={\frac {1}{1}:{2}}(a+b)+{\frac {1}{1}{1}{1}:{1}{1}:{1}:{1}:{1}:{2}}(b-a)\cos \refac {2k-1}{2n1}\pi \right)\cap k=1,\ldots,n.}$

근사치

체비셰프 노드는 다항 보간에서 특히 좋은 노드 집합을 형성하기 때문에 근사 이론에서 중요하다. Given a function ƒ on the interval ${\displaystyle [-1,+1]}$ and ${\displaystyle n}$ points ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$ in that interval, the interpolation polynomial is that unique polynomial ${\displaystyle P_{n-1}}$ of degree at most ${\displaystyle n-1}$${\displaystyle }$각 지점 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 값 $f{\displaystyle }$( x ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle f(x_{i}})$가 있는$$ ${\displaystyle n-1$$\}.$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 보간 오류는$$

${\displaystyle f(x)-P_{n-1}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}$

[-1, 1]^[3]의 일부 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi$}($$x에 표시됨)에 대해 따라서 최소화를 시도하는 것이 논리적이다.

${\displaystyle \max _{x\in [-1,1]}\왼쪽 \prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\오른쪽 .}$

이 제품은 도 n의 단항 다항식이다. 그러한 다항식의 최대 절대값(최대 규범)은 아래로부터 2로¹⁻ⁿ 제한되어 있음을 보여줄 수 있다. 이 경계는 또한 단색인 체비셰프 다항식 2T에¹⁻ⁿ_n 의해 달성된다. (t_n(x) ≤ 1에 x 1 [-1, 1]을 호출한다.)^[4] 따라서 보간 노드 x가_i T의_n 루트일 때 오차는 만족한다.

${\displaystyle \왼쪽 f(x)-P_{n-1(x)\오른쪽 \leq {\frac {1}{2^{n-1n!}}}\max _{\xi \in [-1,1]}\왼쪽 f^{(n)}(\xi )\오른쪽 .}$

임의 간격 [a, b]에 대해 변수 변경은 다음을 나타낸다.

${\displaystyle \왼쪽 f(x)-P_{n-1(x)\오른쪽 \leq {\frac {1}{2^{n-1n!}}}\왼쪽 \frac {b-a}{2}}\오른쪽)^{n}\max _{\xi \in [a,b]}\왼쪽 f^{(n)}(\xi )\오른쪽 .}$

메모들

참조

• Stewart, Gilbert W. (1996), Afternotes on Numerical Analysis, SIAM, ISBN 978-0-89871-362-6.

추가 읽기

• 짐, 리처드 L.; 펜자스, J. 더글러스: 수치 분석, 8부 503~512쪽 ISBN 0-534-39200-8