레전드르 다항식

6개의 첫 번째 레전드르 다항식

물리과학과 수학에서 레전드르 다항식(Ariender-Marie Legendere, 1782년 발견한 Adrie-Legendere의 이름을 따서 명명됨)은 완전하고 직교적인 다항식의 체계로서, 수학적 성질이 방대하고, 수많은 응용이 가능하다. 그것들은 여러 가지 방법으로 정의될 수 있으며, 다양한 정의는 일반화 및 다른 수학적 구조와 물리적/수리적 응용 프로그램에 대한 연결을 제안할 뿐만 아니라 다른 측면을 강조한다.

레전드르 다항식에는 연관 레전드르 다항식, 레전드르 함수, 제2종 레전드르 함수, 관련 레전드르 함수 등이 있다.

직교 시스템으로서의 시공에 의한 정의

In this approach, the polynomials are defined as an orthogonal system with respect to the weight function $w(x)=1$ over the interval $[-1,1]$ . That is, $P_{n}(x)$ is a polynomial of degree $n$ , such that

\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0\quad{\text{}n\neq m.

이것은 표준화 $P_{n}(1)=1$ $P_{n}(1)=1$ ( $P_{n}(1)=1$ ) $P_{n}(1)=1$ = 1 $P_{n}(1)=1$ 에 의해 고정되는 전체 스케일 팩터까지의 다항식을 결정한다 $P_{n}(1)=1$ 따라서 건설적인 정의가 나타난다. $P_{0}(x)=1$ 0 $P_{0}(x)=1$ ( x $P_{0}(x)=1$ ) $P_{0}(x)=1$ = $P_{0}(x)=1$ $P_{0}(x)=1$ 은 $P_{0}(x)=1$ 0. $P_{1}(x)$ $P_{1}(x)$ ( $P_{1}(x)$ 의 유일한 정확한 표준화 다항식이다. $P_{1}(x)$ must be orthogonal to $P_{0}$ , leading to $P_{1}(x)=x$ , and $P_{2}(x)$ is determined by demanding orthogonality to $P_{0}$ and $P_{1}$ , and so on. $P_{n}$ $P_{m}$ $P_{n}$ ${\displaystyle$ $P_{n}}$ 은 $P_m$ (는 $)$ $m<n$ P $P_{m}$ m {\ $displaystyle$ $P_{m}$ P_ ${m$ $}$ 에 직교성을 요구하여 고정한다 $P_{n}$ $m<n$ 이를 통해 $n$ {\ $displaystyle n}$ 조건을 $n$ 얻을 수 있으며, 표준화 $P_{n}(1)=1$ $P_{n}(1)=1$ ( 1 $P_{n}(1)=1$ ) $P_{n}(1)=1$ = 1 ${\$ $displaystyle$ $P_{n}($ $1)=1}$ 은(는 $)$ P $P_{n}(x)$ ( $P_{n}(x)$ ) {\ $displaystyle$ $n+$ 1} $계수$ 를 $n+1$ 모두 $P_{n}(1)=1$ $P_{n}(x)$ 한다 $P_{n}(x)$ 작업을 통해 모든 다항식의 모든 계수를 체계적으로 결정할 수 있으며, 이를 통해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다 $P_{n}(x)$ e $x$ 에 제공된 $x$ x ${\displaystyle$ x $}$ 의 권한으로 명시적 표현.

$P_{n}$ P $P_{n}$ ${\$ 의 정의는 가장 간단한 것이다. 그것은 미분 방정식의 이론에 호소하지 않는다. 둘째, 다항식의 완전성은 힘 1, x $x,x^{2},x^{3},\ldots$ $x,x^{2},x^{3},\ldots$ $x,x^{2},x^{3},\ldots$ , $x,x^{2},x^{3},\ldots$ 의 완전성에서 바로 따르며 $x,x^{2},x^{3},\ldots$ … ${\displaystyle$ x $,x^{2},x^{3},\ldots$ $x,x^{2},x^{3},\ldots$ 마지막으로 유한한 간격으로 가장 명백한 중량 함수에 관해서 직교성을 통해 정의함으로써 레전드레 다항식을 3개의 cl 중 하나로 설정한다.평직 직교 다항식 시스템. The other two are the Laguerre polynomials, which are orthogonal over the half line $[0,\infty )$ , and the Hermite polynomials, orthogonal over the full line $(-\infty ,\infty )$ , with weight functions that are the most natural analytic functions that ensure convergence of all integ말똥말똥한 소리

생성함수를 통한 정의

Legendre 다항식은 생성함수의^[1] $t$ $t$ 검정력에서 공식 확장의 계수로 정의될 수도 있다.

{\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}}=\sum _{n=0}^{\p_{n}(x)t^{n}\,

(2)

$t$ $t^{n}$ ${\$ t $^{n}$ 의 $t^{n}$ 계수 $x$ n ${\displaystyle$ n $}$ x ${\displaystyle$ x $}$ 의 다항식 $n$ t 1까지 $t^{1}$ 하면 $t^{1}$ ${\$ 1}가 $된다.$

P_{0}(x)=1\...\quad P_{1}(x)=x.

상위 주문으로의 확장은 점점 더 번거로워지지만, 체계적으로 할 수 있으며, 다시 한 번 아래에 제시된 명시적 형식 중 하나로 이어진다.

그러나 테일러 시리즈의 직접적인 확장에 의존하지 않고 보다 높은 $P_{n}$ ${\$ s를 얻을 수 있다. Eq. 2는 양쪽에 $t$ 를 두고 구별되며, 이를 얻기 위해 재배열된다.

{\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}}}=\왼쪽(1-2xt+t^{2}\오른쪽)\sum _{n=1}^{{nP_{n}(x)t^{n-1}\,

제곱근의 지수를 Eq. 2의 정의로 대체하고, 그 결과 팽창에서

t

의 힘의 계수를 동일시하는 것은 보닛의 재귀 공식을 제공한다.

(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n1}(x)\,

이 관계는 처음 두 다항식

P

와₀

함께 1

나머지 모두를 재귀적으로 생성할 수 있다.

생성함수 접근방식은 아래에서 설명한 것처럼 전기학에서 멀티폴 확장과 직접 연결되며, 1782년 레전드르에 의해 다항식이 처음 정의된 방법이다.

미분방정식을 통한 정의

세 번째 정의는 Legendre의 미분 방정식에 대한 해결책의 측면에서 다음과 같다.

{\displaystyle(1-x^{2})P_{n}"(x)-2xP_{n}'(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0}

(1)

이 미분방정식은 $x$ = ± $1$ 에서 규칙적인 단수점을 가지고 있기 때문에 표준 프로베니우스나 파워 시리즈 방법을 사용하여 해결책을 모색할 경우 원점에 대한 시리즈는 $일반적$ 으로 x < $1$ 에 대해서만 수렴된다. $n$ 이 정수일 경우 $x$ = $1$ 에서 정규화된 $용액 n$ P $(x)$ 도x = $-1$ 에서 정규화되어 이 용액의 시리즈가 종료된다(즉, 다항식이다). 이러한 해결책의 정형성과 완전성은 스터름-리우빌 이론의 관점에서 가장 잘 나타난다. 우리는 미분 방정식을 고유치 문제로 다시 쓰고,

{\frac {d}{dx}\왼쪽(왼쪽(1-x^{2}\오른쪽){\frac {d}{dx}\오른쪽)P(x)=-\lambda P(x)\...

고유값

\lambda

\lambda

을

\lambda

(

를)

n(n+1)

(

n(n+1)

+

n(n+1)

)

{\displaystyle n(n+1

) 대신 사용하여

n(n+1)

.

x=\pm 1

=

x=\pm 1

±

x=\pm 1

{\

displaystyle x=\pm 1}

에서 솔루션을 규칙적으로 사용할 것을 요구하면 왼쪽의 차등 연산자는 에르미타인이다

x=\pm 1

고유값은

n=0,1,2,\ldots

=

n=0,1,2,\ldots

n=0,1,2,\ldots

, 2,

n=0,1,2,\ldots

…

{\displaystyle n=0,1

,

,\ldots }

과

n=0,1,2,\ldots

와) n

(

P_{n}(x)

+ 1) 형식이며 고유특성은

P_{n}(x)

P_{n}(x)

x

P_{n}(x)

)

P_{n}(x)

이다

P_{n}(x)

이 해법 집합의 정형성과 완전성은 스터름-리우빌 이론의 더 큰 틀에서 단번에 나타난다.

미분방정식은 또 다른, 비-폴리놈 해법인 제2종류 $Q_{n}$ ${\$ 의 레전드르 함수를 인정하고 있다 $Q_{n}$ (Eq. 1)의 2-모수 일반화를 레전드르의 일반 미분방정식으로 하며, 연합 레전드르 다항식들이 해결한다. 범례함수는 범례의 미분방정식(일반화 여부)을 정수가 아닌 파라미터로 하는 해법이다.

물리적 설정에서 레전드레의 미분방정식은 구면 좌표에서 변수를 분리하여 라플레이스의 방정식(및 관련 부분미분방정식)을 해결할 때마다 자연적으로 발생한다. 이러한 관점에서 라플라시안 연산자의 각 부분의 고유 기능은 구형 고조파인데, 그 중 레전드르 다항식들은 극축에 대한 회전으로 불변하게 되는 부분집합(승수 상수까지)이다. 다항식은 P $P_{n}(\cos \theta )$ $P_{n}(\cos \theta )$ ) $P_{n}(\cos \theta )$ 로 나타나며 여기서 $P_{n}(\cos \theta )$ $\theta$ $\theta$ 은 $\theta$ 극각이다. 레전드르 다항식에 대한 이러한 접근방식은 회전 대칭에 깊은 연결을 제공한다. 분석 방법, 예를 들어 덧셈 정리 등을 통해 노동적으로 발견되는 많은 그들의 성질은 대칭과 집단 이론의 방법을 사용하여 더 쉽게 발견되며, 심오한 물리적, 기하학적 의미를 획득한다.

직교성 및 완전성

$P_{n}(1)=1$ $P_{n}(1)=1$ n $P_{n}(1)=1$ ( $P_{n}(1)=1$ ) $P_{n}(1)=1$ = 1 ${\displaystyle P_{n}(1)=1$ }은 $($ 는) 범례 다항식의 정규화를 수정한다(간격 $P_{n}(1)=1$ -1 $1$ x ≤ $1$ 의 L $규범$ 에² 관하여). 또한 동일한 규범에 대해 직교하기 때문에, 두 문장은 단일 방정식으로 결합될 수 있다.

\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn}}}

(여기서

Δ

는_mn kronecker 델타를 나타내며,

m

=

n이면

1이고, 그렇지 않으면 0이다.) 이러한 정상화는 다음과 같은 Rodrigues의 공식을 채택함으로써 가장 쉽게 찾을 수 있다.

다항식이 완전하다는 것은 다음을 의미한다. 구간 $[-1,$ 1]에 불연속부가 매우 많은 $f(x)$ 조각 연속 함수 $f(x)$ ( $f(x)$ ) $f(x)$ 를 지정하면 합계의 순서가 지정된다 $.$

f_{n}(x)=\sum _{\ell =0}^{n}a_{\ell }P_{\ell }(x)

평균에서

f(x)

(

f(x)

)

f(x)

을(를)

n\to \infty

→

n\to \infty

{\displaystyle

n

\to \fty

}(으)로

f(x)

수렴함

n\to \infty

a_{\ell }={\frac {2\ell +1}{1}:{2}}:\int _{-1}f(x)P_{\ell }(x)\,dx

이 완전성 속성은 이 글에서 논의된 모든 확장성의 기초가 되며, 종종 형식에 명시된다.

\sum \sum _{\ell =0}^{\frac {2\ell +1}{2}}P_{{\ell }{(x)P_{\ell }}}=\delta (x-y),}

-1

≤

x

≤

1

및

-1

≤

y

≤

1

과 함께.

로드리게스의 공식 및 기타 명시적 공식

레전드르 다항식의 특히 콤팩트한 표현은 Rodrigues의 공식에 의해 주어진다.

P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac{d^{n}{dx^{n}}}(x^{2}-1)^{n}\,

이 공식은 $P_{n}$ P $P_{n}$ ${\$ s의 많은 수의 특성을 유도할 수 있다. 이들 중에는 다음과 같은 명시적 표현이 있다.

{\reasoned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k},\\P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{k},\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k},\\P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}},\end{aligned}}

여기서, 또한 재귀 공식에서 바로 나오는 마지막은 단순한 단항식으로 레전드르 다항식을 표현하고 이항계수의 일반화된 형태를 포함한다.

처음 몇 개의 Legendre 다항식:

$n$	$P_{n}(x)$
0	${\textstyle 1}$
1	${\textstyle x}$
2	${\textstyle {\tfrac {1}{1}:{2}}\왼쪽(3x^{2}-1\오른쪽)}$
3	${\textstyle {\tfrac {1}{1}:{2}}\왼쪽(5x^{3}-3x\오른쪽)}$
4	${\textstyle {\tfrac {1}{8}\왼쪽(35x^{4}-30x^{2}+3\오른쪽)}$
5	${\textstyle {\tfrac {1}{8}\왼쪽(63x^{5}-70x^{3}+15x\오른쪽)}$
6	${\textstyle {\tfrac {1}{16}\좌측(231x^{6}-315x^{4}+2x^{2}-5\우측)}$
7	${\textstyle {\tfrac {1}{16}\왼쪽(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x\오른쪽)}$
8	${\textstyle {\tfrac {1}{1}}\왼쪽(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35\오른쪽)}}$
9	${\textstyle {\tfrac {1}{1}}\좌측(1155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x\우측)}}$
10	${\textstyle {\tfrac{1}}{256}\왼쪽(46189x^{10}-1995x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63\오른쪽)}}}$

이러한 다항식( $최대$ n = $5$ )의 그래프는 다음과 같다.

Plot of the six first Legendre polynomials.

Legendre 다항식 적용

1/r 전위 확장

레전드르 다항식은 1782년 아드리아-마리 레전드르에^[2] 의해 뉴턴 전위 확장의 계수로 처음 도입되었다.

{\frac {1}{\left \mathbf {x} -\mathbf {x} '\right }}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}-2r{r'}\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {{r'}^{\ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma }),

여기서

r

과

r'

은 각각

벡터

x와

x'

의 길이,

γ

은 두 벡터 사이의 각도다.

시리즈

는

r

> r

'

이면 수렴한다. 이 표현은 점 질량과 연관된 중력 전위 또는 점 전하와 연관된 쿨롱 전위를 제공한다. 예를 들어, 연속적인 질량 또는 전하 분포를 통해 이 식을 통합할 때 범례 다항식을 사용한 확장이 유용할 수 있다.

범례 다항식은 경계 조건이 축 대칭(방사각 의존성이 없는)을 갖는 변수의 분리 방법을 사용하여 정적 전위 $2$ l(x) = 0의 라플레이스의 $방정식 해법$ 에서 발생한다. 여기서 $ẑ$ 은 대칭의 축이고 $θ$ 은 관찰자의 위치와 $ẑ$ 축(정점각) 사이의 각도인 경우, 잠재력의 해법은 다음과 같다.

\Phi(r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infit }\왼쪽(A_{\\ell }{\r^{}\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\rig)\right)P_{\ell }(\cos \theta )\,

$A$ 와_l $B$ 는_l 각 문제의 경계조건에 따라 결정된다.^[3]

그것들은 또한 중심력에 대한 슈뢰딩거 방정식을 3차원으로 풀 때 나타난다.

다중 홀 확장의 범례 다항식

레전드르 다항식(Legendre polyomials)은 형태의 기능을 확장하는 데도 유용하다(이것은 이전과 동일하며, 조금 다르게 쓰여진다).

{\frac {1}{\sqrt {1+\eta ^{2}-2\eta x}}=\sum _{k=0}^{\inflt }\eta ^{k_{k_{k}(x),

다극장 팽창에서 자연적으로 발생하는 것. 방정식의 왼쪽은 범례 다항식의 생성함수다.

예를 들어 $z$ = $a$ (도표 오른쪽 참조)에서 z축에 위치한 점 전하로 인한 전위 $φ(r,,)$ (구면 좌표)는 다음과 같이 변화한다.

\Phi(r,\theta )\propto {\frac {1}{{R}={\frac {1}{\sqrt{r^{2}+a^{2}-2ar\cos \}}}}.

관측점 $P$ 의 $반지름$ r이 $a$ 보다 클 경우 레전드르 다항식에서 전위가 확장될 수 있다.

\Phi(r,\theta )\propto {\frac {1}{1}{r}\sum _{k=0}^{\flt}\flt({\frac {a}{r}\오른쪽)^{k}P_{k}(\cos \theta ),

어디서){η.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den 규정해 왔습니다.Border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}a/r<1x=cosθ. 이 팽창은 정상적인 멀티폴 팽창의 개발에 사용된다.

반대로 관측점 $P$ 의 반지름 $r$ 이 $a$ 보다 작을 경우, 위와 같이 레전드르 다항식에서는 전위가 여전히 확장될 수 있지만, $a$ 와 $r$ 이 교환된다. 이러한 확장은 실내 멀티폴 확장의 기초가 된다.

삼각법의 레전드르 다항식

체비셰프 다항식 $T n (cos$ $θ)$ ≡ $cos$ $nθ$ 라고도 하는 삼각함수 $cos$ $nθ$ 는 레전드르 다항식 $P n (cos$ $θ)$ 에 의해 확장된 다중홀일 수도 있다. 처음의 몇 가지 주문은 다음과 같다.

{\reasoned}T_{0}(\cos \theta )&=1&&=P_{0}(\cos \theta ),\[4pt]T_{1}(\cos \theta )&=\cos \theta &&=P_{1}(\cos \theta ),\\[4pt]T_{2}(\cos \theta )&=\cos 2\theta &&={\tfrac {1}{1}{3}{{3}}{{}(\cos \theta )-P_{0}(\cos \theta ){\bigr ),\[4pt]T_{3}(\cos \theta )&=\cos 3\theta &&={\tfrac {1}{5}{5}{{5}}{\cos \theta )-3P_{1}(\cos \theta ){\bigr ),\[4pt]T_{4}(\cos \theta )&=\cos 4\theta &&={\tfrac {1}{105}}{\bigl (}192P_{4})(\cos \theta )-80P_{2}(\cos \ta )-7P_{0}(\cos \ta ),{bigr ),\t]T_{5}(\cos \theta )&=\cos 5\theta &&={\tfrac{1}{1}}{{1}}{{1}}}{\bigl (}128P_{5})(\cos \theta )-9P_{3}(\cos \ta ),\4]T_{6}(\cos \theta )&=\cos 6\theta &&={\tfrac {1}{1155}}{{12560P_{6}(\cos \cos \theta )-1152P_{4}(\cos \tea )-333)P_{0}(\cos \theta ){\bigr )}.\end{정렬}}

또 다른 속성은 $죄(n$ + $1)$ 의 표현인데, 이 표현은 다음과 같다.

{\frac {\sin(n+1)\theta}{\sum \theta }}=\sum _{\ell =0}^{n_{\ell }(\cos \theta )P_{n-\ell }(\cos \cos \theta).

재발 신경망의 레전드르 다항식

\ $mathbb$ { $R}$ ^{ $d}$ \ $mathbf{$ m} $\in$ \mathbbb} $\mathbf {m} \in \mathbb {R} ^{d}$ \ $m}$ \in \mathb}}을(를) 포함하는 반복 신경망은 다음과 같은 상태-공간 표현에 의해 주어진 선형 시간 변화 시스템을 준수하도록 최적화될 수 있다.

\theta {\dot {\mathbf {m}}}}}}(t)=A\mathbf {m}(t)+Bu(t)

{\reasoned}A&=\left[a\right]_{ij}\in \mathbb {R} ^{d\times d}{\text{,}}\quad &&a_{ij}=\left(2i+1\right){\begin{cases}-1&i<j\\(-1)^{i-j+1}&i\geq j\end{cases}}\\B&=\좌측[b\오른쪽]_{i}\in \mathb {R} ^{d\time 1}{{\text{,}},}\quad &&b_{i}=(2i+1)(1)^{i}.\end{정렬}}

$\mathbf {m}$ 경우 과거 $\theta$ $\theta$ 단위에 $\theta$ 걸친 $u$ $u {\displaystyle$ \d} 시간의 슬라이딩 윈도우가 $t$ {\ $displaysty$ }의 $d$ m ${\$ {m $}$ 의 요소로 함께 가중된 $첫$ 번째d {\displaystyled}의 선형 조합에 의해 가장 근사치가 된다. $le t}$ :

{\displaystyle u(t-\theta ')\sum _{\ell =0}^{d-1}{\widetilde{P}_{\ell }}\왼쪽({\fracta '}}{\ta }\ell })(t),\quad 0\leq \leq \ta \ta.

딥러닝 방식과 결합하면, 이러한 네트워크는 더 적은 컴퓨팅 자원을 사용하면서 장기간의 기억장치와 관련 아키텍처들을 능가하도록 훈련될 수 있다.^[4]

Legendre 다항식의 추가 속성

레전드르 다항식에는 일정한 패리티가 있다. 즉, 그들은 짝수 또는 홀수라고 한다.^[5]

P_{n}(-x)=(1)^{n}P_{n}(x)\,

또 다른 유용한 재산은

\int _{-1}^{1}P_{n}(x)\,dx=0{\text{{}{{n\geq 1,

P_{0}(x)=1

P_{0}(x)=1

x

P_{0}(x)=1

)

P_{0}(x)=1

= 1

P_{0}(x)=1

과의 직교 관계를 고려하는 것에서 비롯된다

P_{0}(x)=1

범례 시리즈

{\textstyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}

series

{\textstyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}

{\textstyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}

{\textstyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}

{\textstyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}

{\

\

sum _{i}a_{i}}

에 편리하다.

P_{i}}

는

{\textstyle \sum _{i}a_{i}P_{i}}

함수 또는 실험 데이터의 근사치를 위해 사용된다. [-

1, 1]

간격 동안의 연속물의 평균은 단순히

a_{0}

확장 계수에

a_{0}

0

{\

이 주어진다

a_{0}

미분방정식과 직교성 특성은 스케일링과 독립적이므로 레전드레 다항식의 정의는 스케일링에 의해 "표준화"("정상화"라고도 하지만 실제 규범은 1)가 아니다.

P_{n}(1)=1\,.

종점에서의 파생상품은 다음과 같다.

P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}\,

레전드르 다항식의 Askey-Gasper 불평등은 다음과 같다.

\sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\,\quad {\text{{}x\geq -1\,.

단위 벡터의 스칼라 제품의 Legendre 다항식은 다음을 사용하여 구면 고조파를 사용하여 확장할 수 있다.

P_{\ell }\왼쪽(r\cdot r'\오른쪽)={\frac {4\pi }{2\ell +1}\sum _{m=-\ell ^{\ell }Y_{\ellm}(\ta ,\varphi )={\varphi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\...

여기서 단위 벡터

r

과

r'

은 각각 구형 좌표

(θ

,

φ)

와

(θ',

φ')

를 가진다.

재발관계

위에서 논했듯이, 레전드르 다항식은 보닛의 재귀 공식으로 알려진 3개월의 재귀 관계를 준수한다.

(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n1}(x)

그리고

{\frac {x^{2}-1}{n}{\frac {d}{dx}}}}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)

또는 엔드포인트에도 있는 대체 식을 사용하여

{\frac {d}{dx}P_{n+1}(x)=(n+1)P_{n}(x)+x{\frac {d}{dx}}}}P_{n}(x)\,

Legendre 다항식의 통합에 유용함

{\디스플레이 스타일(2n+1)P_{n}(x)={\frac {d}{dx}}}{\bigl (}P_{n+1}(x)-P_{n-1(x){\bigr )}\,}

위로부터도 을 알 수 있다.

{\frac {d}{dx}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+{\bigl (}2(n-2)+1+{\bigr )}P_{n-2}(x)+{\bigl (}2(n-4)+1+{\bigr )}P_{n-4}+\codots }}}}}

또는 동등하게

{\frac {d}{dx}}P_{n+1}(x)={\frac {2P_{n}(x)}{\left\ P_{n}\right\ ^{2}}}+{\frac {2P_{n-2}(x)}{\left\ P_{n-2}\right\ ^{2}}}+\cdots

여기서

P

는_n

-1

≤

x

≤ 1

간격

동안의 표준이다.

\ P_{n}\ ={\sqrt {\int _{-1}^{1}{1}{1}{1}{\p_{n}(x){\bigr )}^{2}\x}={\sqrt {\}{2n+1},}}}}}}\,}\,},},},},},.

점증약학

$\ell \to \infty$ → $\ell \to \infty$ $\ell \to \infit$ 에 대한 점증상 없음

{\reasoned}P_{\\ell }(\cos \theta )&={\sqrt {\frrac {\frac}{\sin \theta }}\,J_{0}(\ell +1/2)\theta )+{\mathcal {O}\{-1}\lo}\(\ell ^{-1}\rig)\rig)\rig)\right)\right)\cright)\com)\com)\\&={\frac {2}{\sqrt {2\pi \ell \sin \theta }}}\cos \left(\left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-3/2}\right),\quad \theta \in (0,\pi ),\end{aligned}}

1보다^[7] 큰 규모의 인수의 경우

{\reasoned}P_{\ell }\왼쪽(\cosh \xi \오른쪽)&={\sqrt {\frac {\xi }{\sinh \xi }}}}I_{0}\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\xi \right)\left(1+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\right)\,,\\P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{\frac {\ell +1}{2}}}{(1-e)^{\frac {\ell }{2}}}}+{\mathcal {O}}\left(\ell ^{-1}\right)\end{aligned}}

여기서

J

와₀

나

는₀ 베셀 함수다.

제로스

All $n$ zeros of $P_{n}(x)$ are real, distinct from each other, and lie in the interval $(-1,1)$ . Further, if we regard them as dividing the interval $[-1,1]$ into $n+1$ subintervals, each subinterval은 정확히 $P_{n+1}$ 의 $P_{n+1}$ n + $P_{n+1}$ 의 0을 $포함$ 할 P_ ${n+1$ 이것은 인터레이싱 재산으로 알려져 있다. 패리티 속성 때문에 $x_{k}$ $x_{k}$ ${\$ 이(가) $P_{n}(x)$ $P_{n}(x)$ ( $P_{n}(x)$ ) ${\displaystyle P_{n}(x)$ 의 $P_{n}(x)$ 0이면 $x_{k}$ - $-x_{k}$ $-x_{k}$ ${\$ 이(가)라는 것은 명백하다 $-x_{k}$ 이 0은 가우스 사분법에 기초한 수치 통합에 중요한 역할을 한다. $P_{n}$ ${\$ s에 기반한 특정 4각형을 Gauss-Legendre 4각이라고 한다.

From this property and the facts that $P_{n}(\pm 1)\neq 0$ , it follows that $P_{n}(x)$ has $n-1$ local minima and maxima in $(-1,1)$ . Equivalently, $dP_{n}(x)/dx$ h( $(-1,1)$ - $(-1,1)$ , $(-1,1)$ 1)에서 n $(-1,1)$ - $n-1$ 1 {\ $displaystyle n-1}$ 0으로 $n-1$ $n-1$ 됨 $(-1,1)$ - 1, 1 $)$ {\ $displaystyle$ -1 $,1$ )

포인트와이즈 평가

패리티 및 정규화는 $x=\pm 1$ = $x=\pm 1$ ± 1 ${\displaystyle x=\pm$ 1 $}$ 의 값을 다음과 $x=\pm 1$ 같이 연관시킨다.

P_{n}=1\...\quad P_{n}-1(-1)={\begin{case}1&{\text{for}}\quad n=2m+1\,\cH00\cH00\cH00\cH00\cH00\cH00\,\end{case}}

원점

x=0

=

x=0

x=0

에서

x=0

값이 다음과 같이 지정되었음을 표시할 수 있다.

P_{n}(0)={\begin{case}{\frac {(-1)^{m}{4^{m}}{{2m}}}}{\binom {2m}}={\frac{{2m}}}{\frac {(2m)!}}{\left(m!\오른쪽)^{2}}~{{\text{for}}\n=2m\\{\text}}}\for}}\fore}\for}\for = 2m+1\,\end{case}}

변환된 인수가 있는 범례 다항식

Shifted Legendre 다항식

이동된 범례 다항식은 다음과 같이 정의된다.

{\widetilde{P}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)\,

여기서 "전환" 함수

x

x

2x

-

1

은 간격

[0, 1]

을 간격

[-1,

1]에 객관적으로 매핑하는 부속 변환으로

,

다항식

P̃(n x)

가

[0, 1]

에서 직교한다는 것을 의미한다.

\int _{0}^{1}{\widetilde{P}_{m}(x){\widetilde{P}_{n}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}\delta _{mn}\}\,

시프트된 범례 다항식의 명시적 표현식은 다음과 같다.

{\widetilde{P}_{n}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{n}{\binom {n+k}{k}}{k}}}}(-x)^{k}\displaystystyle.

시프트 레전드르 다항식의 Rodrigues 공식의 아날로그는

{\widetilde{P}_{n}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac{d^{n}}{dx^{n}}\왼쪽(x^{2}-x\오른쪽)^{n}\,.

처음 몇 개의 이동된 Legendre 다항식:

$n$	${\widetilde {P}_{n}(x)$
0	$1$
1	$2x-1$
2	$6x^{2}-6x+1$
3	$20x^{3}-30x^{2}+12x-1$
4	$70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1$
5	$252x^{5}-118x^{4}+11x^{3}-118x^{2}+30x-1$

레전드르 합리 함수

Legendre 합리적 함수는 [0, ∞]의 직교 함수의 시퀀스다. 그것들은 Cayley 변환을 Legendre 다항식으로 구성함으로써 얻어진다.

정도 n의 합리적인 레전드르 함수는 다음과 같이 정의된다.

R_{n}(x)={\frac {\sqrt{2}}{x+1}}\,P_{n}\왼쪽({\frac {x-1}{x+1}}\오른쪽)\,

그것들은 독특한 스터름-리우빌 문제의 고유 특성이다.

(x+1)\properties _{x}(x\properties _{x}(x+1)v(x))+\data v(x)=0

고유값으로

\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)\,}

참고 항목

메모들

^ Arfken & Weber 2005, 페이지 743
^ Legendre, A.-M. (1785) [1782]. "Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes" (PDF). Mémoires de Mathématiques et de Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées (in French). Vol. X. Paris. pp. 411–435. Archived from the original (PDF) on 2009-09-20.
^ Jackson, J. D. (1999). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley & Sons. p. 103. ISBN 978-0-471-30932-1.
^ Voelker, Aaron R.; Kajić, Ivana; Eliasmith, Chris (2019). Legendre Memory Units: Continuous-Time Representation in Recurrent Neural Networks (PDF). Advances in Neural Information Processing Systems.
^ Arfken & Weber 2005, 페이지 753
^ 1895–1985., Szegő, Gábor (1975). Orthogonal polynomials (4th ed.). Providence: American Mathematical Society. pp. 194 (Theorem 8.21.2). ISBN 0821810235. OCLC 1683237.{{cite book}}: CS1 maint: 숫자 이름: 작성자 목록(링크)
^ https://dlmf.nist.gov/14.15.E13

참조

아브 밀턴, Stegun, Irene은 앤, eds.(1983년)[6월 1964년]." 제8장".Formulas, Graphs,과 수학적 표로 핸드 북 수학의 함수입니다.응용 수학 시리즈이다.Vol55(10원래 인쇄의 추가로 수정 작업과 교정을 9재판(1972년 12월) 제1판).워싱턴 DC, 뉴욕:미국 상무부, 표준국의 도버 출판사.를 대신하여 서명함. 332개에서 773.아이 에스비엔 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036.MR0167642.LCCN 65-12253.장 22를 참조하십시오.
Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2005). Mathematical Methods for Physicists. Elsevier Academic Press. ISBN 0-12-059876-0.
Bayin, S. S. (2006). Mathematical Methods in Science and Engineering. Wiley. ch. 2. ISBN 978-0-470-04142-0.
Belousov, S. L. (1962). Tables of Normalized Associated Legendre Polynomials. Mathematical Tables. Vol. 18. Pergamon Press. ISBN 978-0-08-009723-7.
Courant, Richard; Hilbert, David (1953). Methods of Mathematical Physics. Vol. 1. New York, NY: Interscience. ISBN 978-0-471-50447-4.
Dunster, T. M. (2010), "Legendre and Related Functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
El Attar, Refaat (2009). Legendre Polynomials and Functions. CreateSpace. ISBN 978-1-4414-9012-4.
Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248

외부 링크

[1] Arfken & Weber 2005, 페이지 743

[2] Legendre, A.-M. (1785) [1782]. "Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes" (PDF). Mémoires de Mathématiques et de Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées (in French). Vol. X. Paris. pp. 411–435. Archived from the original (PDF) on 2009-09-20.

[3] Jackson, J. D. (1999). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley & Sons. p. 103. ISBN 978-0-471-30932-1.

[4] Voelker, Aaron R.; Kajić, Ivana; Eliasmith, Chris (2019). Legendre Memory Units: Continuous-Time Representation in Recurrent Neural Networks (PDF). Advances in Neural Information Processing Systems.

[5] Arfken & Weber 2005, 페이지 753

[6] 1895–1985., Szegő, Gábor (1975). Orthogonal polynomials (4th ed.). Providence: American Mathematical Society. pp. 194 (Theorem 8.21.2). ISBN 0821810235. OCLC 1683237.{{cite book}}: CS1 maint: 숫자 이름: 작성자 목록(링크)

[7] ttps://dlmf.nist.gov/14.15.E13

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[5]

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