일반화 상대 엔트로피

일반화된 상대적 엔트로피(Generalized relative entropy, $\epsilon$ {\ $displaystyle \epsilon$ } -상대적 $\epsilon$ 엔트로피)는 두 양자 상태 간의 차이를 측정하는 척도다.양자 상대 엔트로피의 "원샷" 아날로그로, 후자의 많은 특성을 공유한다.

양자정보이론의 연구에서는 일반적으로 정보처리 업무가 독립적으로 여러 번 반복된다고 가정한다.따라서 해당 정보이론적 개념은 점증적 한계로 정의된다.본질적인 엔트로피 조치인 폰 노이만 엔트로피는 그러한 개념 중 하나이다.이와는 대조적으로 원샷 양자정보이론의 연구는 한 번만 과제를 수행할 때 정보처리와 관련이 있다.전통적인 관념이 자원 요건의 정확한 특성화를 중단함에 따라 이 시나리오에서는 새로운 진입성 조치가 나타난다. $\epsilon$ $\epsilon$ -filentropy는 $\epsilon$ 특히 흥미로운 척도 중 하나이다.

점증적 시나리오에서 상대 엔트로피는 중요한 척도 그 자체 외에 다른 척도의 모수량 역할을 한다.마찬가지로 $\epsilon$ $\epsilon$ -관계 $\epsilon$ 엔트로피는 원샷 시나리오의 다른 측정에 대한 상위 수량으로서 기능한다.

정의

$\epsilon$ $\epsilon$ -상대 $\epsilon$ $D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )$ D $D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )$ ( $){\displaystyle$ D $^{\epsilon }(\rho \sigma )}$ 의 정의에 동기를 부여하려면 가설 검증의 정보처리 작업을 고려하십시오 $D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )$ 가설 테스트에서, 우리는 두 밀도 연산자 $\rho$ 과 $\sigma$ $\sigma$ 을(를) 구별하는 전략을 구상하고자 한다 $\sigma$ 전략은 $요소$ Q $Q$ 와 $Q$ I $I-Q$ - $I-Q$ ${\displaystystylean I-Q}$ 를 가진 POVM이다 $I-Q$ 전략이 입력 $\rho$ { $d$ 에 정확한 추측을 산출할 확률 $isplaystyle \rho }$ is given by $\operatorname {Tr} (\rho Q)$ and the probability that it produces a wrong guess is given by $\operatorname {Tr} (\sigma Q)$ . $\epsilon$ -relative entropy captures the minimum probability of error when the state is $\sigma$ $\rho$ $\rho$ 의 성공 확률이 적어도 $\epsilon$ $\epsilon$ 인 $\rho$ 점을 감안하면 $displaystyle$ \epsilon $\epsilon$ }.

$\epsilon \in (0,1)$ ( $\epsilon \in (0,1)$ , $\epsilon \in (0,1)$ ) $\epsilon \in (0,1)$ 의 경우 $\epsilon \in (0,1)$ 두 양자 상태 $\rho$ ${\displaystyle$ $\epsilon }$ - ent $\epsilon$ {\displaystyle $\rho }$ $\sigma$ ho ${\displaystysty \sigma }$ 사이의 관계 엔트로피가 정의된다 $\sigma$ .

D^{\rho \sigma )}=-\log{\frac {1}{\epsilon }\min\{\langle Q,\langle Q\leq I{\text}}}}\rho \ranglegeq \epsilon}}

정의에서 D $D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq 0$ ( $D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq 0$ $D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq 0$ ) $D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq 0$ $D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq 0$ ${\displaystyle$ D $^{\epsilon }(\rho \sigma )\geq$ 0 $}$ 이 $D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq 0$ 가) 확실하다.이 불평등은 아래와 같이 $\rho =\sigma$ = $\rho =\sigma$ ${\displaystyle \rho =\sigma$ $\rho =\sigma$ 인 경우에만 포화 상태가 된다.

미량 거리와의 관계

$\rho$ 밀도 측정 시스템 $({\displaystyle \rho })$ 과 $\rho$ $\sigma$ $\sigma$ 사이의 추적 거리가 다음과 $\sigma$ 같다고 가정해 보십시오.

\rho -\properma _{1}=\property ~.

0 $0<\epsilon <1$ < $0<\epsilon <1$ < 1 $0<\epsilon <1$ 의 경우 $0<\epsilon <1$ 이 값은 다음과 같다.

a)

\log {\frac {\epsilon }{\epsilon -(1-\epsilon )\delta }}\quad \leq \quad D^{\epsilon }(\rho   \sigma )\quad \leq \quad \log {\frac {\epsilon }{\epsilon -\delta }}~.

특히, 이는 다음과 같은 핀커^[1] 불평등의 아날로그를 암시한다.

b)

{\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}||\rho -\sigma ||_{1}\quad \leq \quad D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )~.

-

{\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}||\rho -\sigma ||_{1}\quad \leq \quad D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )~.

{\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}||\rho -\sigma ||_{1}\quad \leq \quad D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )~.

{\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}||\rho -\sigma ||_{1}\quad \leq \quad D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )~.

-

{\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}||\rho -\sigma ||_{1}\quad \leq \quad D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )~.

{\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}||\rho -\sigma ||_{1}\quad \leq \quad D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )~.

{\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}||\rho -\sigma ||_{1}\quad \leq \quad D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )~.

{\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}||\rho -\sigma ||_{1}\quad \leq \quad D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )~.

( (

{\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}||\rho -\sigma ||_{1}\quad \leq \quad D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )~.

) .

{\displaystyle {1-\epsilon }{\epsilon }}}}} \rho -\sigma _{1}\quad \quad \quad

D^{\

epsilon }.

Furthermore, the proposition implies that for any $\epsilon \in (0,1)$ , $D^{\epsilon }(\rho \sigma )=0$ if and only if $\rho =\sigma$ , inheriting this property from the trace distance.이 결과와 그 증거는 뒤푸이 외 연구진에서 찾을 수 있다.^[2]

부등식 증명 a)

상한:미량 거리는 다음과 같이 기록할 수 있다.

\rho -\sigma _{1}=\max _{0\leq Q\leq 1}\opername {Tr}(Q(\rho -\sigma )~.

$이$ 최대값은 Q $Q$ 이(가) $\rho -\sigma$ - $\rho -\sigma$ - ${\displaystyle \rho$ - $\sigma }$ 의 양의 eigenspace에 직교 프로젝터일 $Q$ 때 달성된다 $\rho -\sigma$ 모든 POVM $요소$ Q ${\displaysty Q}$ 에 $Q$ 대해서는

\operatorname {Tr}(Q(\rho -\sigma ))\leq \delta

$\operatorname {Tr} (Q\rho )\geq \epsilon$ $\operatorname {Tr} (Q\rho )\geq \epsilon$ $\operatorname {Tr} (Q\rho )\geq \epsilon$ $\operatorname {Tr} (Q\rho )\geq \epsilon$ ) $\operatorname {Tr} (Q\rho )\geq \epsilon$ $\operatorname {Tr} (Q\rho )\geq \epsilon$ 이(가 $\operatorname {Tr} (Q\rho )\geq \epsilon$ 있으면,

\operatorname {Tr}(Q\sigma )~\geq ~\operatorname {Tr}(Q\rho )-\delta ~\geq ~\epsilon -\delta ~.

$\epsilon$ $\epsilon$ -관계 $\epsilon$ 엔트로피의 정의에서 우리는

2^{-D^{\\epsilon }(\rho \sigma )}\geq {\frac {\epsilon -\delta }{\epsilon }}}}}

하한: $Q$ $Q$ 을(를) $\rho -\sigma$ - $\rho -\sigma$ - $\rho -\sigma$ σ - {\ $displaystyle$ \rho - $\sigma$ $\rho -\sigma$ 의 양의 eigenspace에 직교 투영으로 ${\bar {Q}}$ Q {\ $displaystyle$ I $}$ 와 $I$ $Q$ {\ $displaystystyle$ Q $}$ 의 볼록 조합으로 한다 ${\bar {Q}}$ $Q$

{\bar{Q}=(\epsilon -\mu )I+(1-\epsilon +\mu )Q

여기서 $\mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.$ = $\mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.$ ( $\mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.$ - $\mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.$ ) $\mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.$ $\mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.$ $\mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.$ $\mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.$ ) 1 $\mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.$ - $\mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.$ $\mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.$ ( $\mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.$ $\mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.$ ) $\mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.$ . ${\displaystyle \mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr}{1-\rho$ )}{1-\ $opername {Trho }}(Q\$ rho $)}}}}}}}}}.}}}}.}.}$

이 말은

\mu =(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr}(Q\rho )

따라서

\operatorname {Tr}({\bar {Q}\rho )~=(\epsilon -\mu )+(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr}(Q\rho )~=~\epsilon.

게다가

\operatorname {Tr}({\bar {Q}\sigma )~=~\epsilon -\mu +(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr}(Q\sigma )~.

$\mu =(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )$ = $\mu =(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )$ ( $\mu =(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )$ - $\mu =(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )$ + $\mu =(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )$ ) $\mu =(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )$ $\mu =(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )$ $\mu =(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )$ $\mu =(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )$ ) ${\displaystyle \mu$ = $(1-\epsilon$ +\ $mu$ )\ $operatorname {Tr} (Q$ $\$ $rho$ $\mu =(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )$ 우리가 $Q$ 한 Q {\ $displaysty Q$ $Q$ 마지막으로 $\mu$ 의 정의로 다시 쓸 수 있다 $\mu$

\operatorname {Tr}({\bar {Q}\sigma )~=~\epsilon -(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr}(Q\rho )+(1-\epsilon +\mu )\opername {Tr}(Q\sigma )

~=~\epsilon -{\frac {(1-\epsilon )\delta }{1-\operatorname {Tr}(Q\rho )}}~\leq ~\epsilon -(1-\epsilon )\delta ~.

그러므로,

D^{\epsilon }(\rho \sigma )\geq \log {\frac {\epsilon }{\epsilon -(1-\epsilon )\delta }}}

부등식 증명 b)

이 핀커와 같은 불평등을 도출하려면 다음을 관찰하십시오.

\log {\frac {\epsilon }{\epsilon -(1-\epsilon )\delta }}~=~-\log \left(1-{\frac {(1-\epsilon )\delta }{\epsilon }}\right)~\geq ~\delta {\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}~.

데이터 처리 불평등에 대한 대안적 증거

폰 노이만 엔트로피의 근본적인 특성은 강한 부첨성이다.Let $S(\sigma )$ denote the von Neumann entropy of the quantum state $\sigma$ , and let $\rho _{ABC}$ be a quantum state on the tensor product Hilbert space ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{$ $B}\otimes {\mathcal{H}_{C$ 강한 하위adaddivity는 다음과 같이 말한다.

S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})

여기서 $\rho _{AB},\rho _{BC},\rho _{B}$ $\rho _{AB},\rho _{BC},\rho _{B}$ B $\rho _{AB},\rho _{BC},\rho _{B}$ , $\rho _{AB},\rho _{BC},\rho _{B}$ B $\rho _{AB},\rho _{BC},\rho _{B}$ , $\rho _{AB},\rho _{BC},\rho _{B}$ B ${\$ _ ${AB},\rho$ _{ $BC$ },\ $rho$ _ ${B}}}$ 는 $\rho _{AB},\rho _{BC},\rho _{B}$ 첨자로 표시된 공간의 감소된 밀도 매트릭스를 가리킨다.상호 정보의 관점에서 다시 쓰여질 때, 이 불평등은 직관적인 해석을 가지고 있다; 그것은 시스템의 정보 콘텐츠가 그 시스템에 대한 지역 양자 연산의 작용에 의해 증가될 수 없다고 명시한다.이 형태에서는 데이터 처리 불평등이라고 더 잘 알려져 있으며, 양자 연산 하에서는 상대 엔트로피의 단조로움에 해당한다.^[3]

S(\rho \sigma )-S({\mathcal {E}(\rho) {\mathcal {E}(\sigma )\geq 0

모든 CPTP 지도 ${\mathcal {E}}$ ${\$ 에 대해 ${\mathcal {E}}$ $S(\omega ||\tau )$ 서 S $($ ) $S(\omega ||\tau )$ 는 $S(\omega ||\tau )$ $\omega ,\tau$ , $\omega ,\tau$ ent ${\displaystyle$ $S(\omega$ $\tau$ )는 양자 상태의 상대 엔트로피를 $\omega ,\tau$

$\epsilon$ $\epsilon$ -상대 $\epsilon$ 엔트로피도 양자 연산 하에서는 단조로움을 복종한다는 것을 쉽게 알 수 있다.^[4]

D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq D^{\epsilon }({\mathcal {E}}(\rho )||{\mathcal {E}}(\sigma ))

D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq D^{\epsilon }({\mathcal {E}}(\rho )||{\mathcal {E}}(\sigma ))

(

D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq D^{\epsilon }({\mathcal {E}}(\rho )||{\mathcal {E}}(\sigma ))

D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq D^{\epsilon }({\mathcal {E}}(\rho )||{\mathcal {E}}(\sigma ))

)

D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq D^{\epsilon }({\mathcal {E}}(\rho )||{\mathcal {E}}(\sigma ))

D

D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq D^{\epsilon }({\mathcal {E}}(\rho )||{\mathcal {E}}(\sigma ))

(

D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq D^{\epsilon }({\mathcal {E}}(\rho )||{\mathcal {E}}(\sigma ))

D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq D^{\epsilon }({\mathcal {E}}(\rho )||{\mathcal {E}}(\sigma ))

e ) E

D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq D^{\epsilon }({\mathcal {E}}(\rho )||{\mathcal {E}}(\sigma ))

(

D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq D^{\epsilon }({\mathcal {E}}(\rho )||{\mathcal {E}}(\sigma ))

)

D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq D^{\epsilon }({\mathcal {E}}(\rho )||{\mathcal {E}}(\sigma ))

{ { { { { )

{\displaystyle D^{\epsilon }(\rho \sigma )\gq D^{\mathcal {E}(\rho ){\mathcal

{E

sigmathcal.

for any CPTP map ${\mathcal {E}}$ . To see this, suppose we have a POVM $(R,I-R)$ to distinguish between ${\mathcal {E}}(\rho )$ and ${\mathcal {E}}(\sigma )$ such that $\langle R,{\mathcal {E}}(\rho )\rangle =\langle {\mathcal {E}}^{\dagger }(R),\rho \rangle \geq \epsilon$ $\langle R,{\mathcal {E}}(\rho )\rangle =\langle {\mathcal {E}}^{\dagger }(R),\rho \rangle \geq \epsilon$ . We construct a new POVM $({\mathcal {E}}^{\dagger }(R),I-{\mathcal {E}}^{\dagger }(R))$ to distinguish between $\rho$ and $\sigma$ $\sigma$ ${\displaystyle \sigma$ $\sigma$ CPTP 맵의 조정도 긍정적이고 일률적이므로 유효한 POVM이다.Note that $\langle R,{\mathcal {E}}(\sigma )\rangle =\langle {\mathcal {E}}^{\dagger }(R),\sigma \rangle \geq \langle Q,\sigma \rangle$ , where $(Q,I-Q)$ is the POVM that achieves ${\displaystyle D^{\ep$ $사일론 }}(\rho \sigma$ 이것 자체가 흥미로울 뿐만 아니라, 데이터 처리 불평등을 증명할 수 있는 다음과 같은 대안적인 방법을 우리에게 준다.^[2]

스타인 보조정리기의 양자 아날로그에 ^[5]의해

\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}D^{\epsilon }(\rho ^{\otimes n}  \sigma ^{\otimes n})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {-1}{n}}\log \min {\frac {1}{\epsilon }}\operatorname {Tr} (\sigma ^{\otimes n}Q)

=D(\rho \sigma )-\lim _{n\frac {1}{n1}\좌측(\log {\frac {1}{\epsilon }\오른쪽)}

=D(\rho \sigma )~~,

여기서 최소값을 $0\leq Q\leq 1$ $0\leq Q\leq 1$ $0\leq Q\leq 1$ 1 ${\displaystyle 0\leq$ Q $\leq 1}($ $\operatorname {Tr} (Q\rho ^{\otimes n})\geq \epsilon ~.$ $\operatorname {Tr} (Q\rho ^{\otimes n})\geq \epsilon ~.$ ( $\operatorname {Tr} (Q\rho ^{\otimes n})\geq \epsilon ~.$ $\operatorname {Tr} (Q\rho ^{\otimes n})\geq \epsilon ~.$ $\operatorname {Tr} (Q\rho ^{\otimes n})\geq \epsilon ~.$ n $\operatorname {Tr} (Q\rho ^{\otimes n})\geq \epsilon ~.$ ) $\operatorname {Tr} (Q\rho ^{\otimes n})\geq \epsilon ~.$ ≥. ${\displaysty \operatorname {Tr}(Q\rho ^{\otimes n}\geq \epsilon ~.}).$

$\rho ^{\otimes n}$ 지도 ${\mathcal {E}}^{\otimes n}$ ${\mathcal {E}}^{\otimes n}$ { ${\mathcal {E}}^{\otimes n}$ n {\ $displaystyle$ $\rho$ ^{\ $otimes$ n $}$ $\sigma ^{\otimes n}$ 및 $\sigma ^{\otimes n}$ n {\ $displaystyle \sigma$ $^{\otimes$ n $}$ 상태에 데이터 처리 불평등을 적용하면 ${\mathcal {E}}^{\otimes n}$ 과 $\rho ^{\otimes n}$ 결과를 얻을 수 있다 ${\mathcal {E}}^{\otimes n}$

{\displaystyle D^{\epsilon }(\rho ^{\otimes n}) \sigma ^{\otimes n}~\geq ~D^{\epsilon }({\mathcal {E})(\rho )^{\mathcal}{E}}{\mathmathmathmathmathmeta}{{{{{{{\}}}}.

양쪽에서 $n$ $n$ $n$ 로 나누고 $n\rightarrow \infty$ 를 n $n\rightarrow \infty$ → $n\rightarrow \infty$ {\ $displaystyle n\\rightarrow$ \ $infult }$ 으로 설정하면 원하는 결과가 나온다 $n\rightarrow \infty$

참고 항목

참조

^ 와우, J.양자정보론, 2013년 가을5, 페이지 194 https://cs.uwaterloo.ca/~wattle/CS766/DraftChapters/5.QuantumEntropy.pdf^{[permanent dead link]}
^ ^a ^b Dupuis, F.; Krämer, L.; Faist, P.; Renes, J. M.; Renner, R. (2013). "Generalized Entropies". XVIIth International Congress on Mathematical Physics. WORLD SCIENTIFIC. pp. 134–153. arXiv:1211.3141. doi:10.1142/9789814449243_0008. ISBN 978-981-4449-23-6. S2CID 118576547.
^ Ruskai, Mary Beth (2002). "Inequalities for quantum entropy: A review with conditions for equality". Journal of Mathematical Physics. AIP Publishing. 43 (9): 4358–4375. arXiv:quant-ph/0205064. Bibcode:2002JMP....43.4358R. doi:10.1063/1.1497701. ISSN 0022-2488. S2CID 3051292.
^ Wang, Ligong; Renner, Renato (15 May 2012). "One-Shot Classical-Quantum Capacity and Hypothesis Testing". Physical Review Letters. 108 (20): 200501. arXiv:1007.5456. Bibcode:2012PhRvL.108t0501W. doi:10.1103/physrevlett.108.200501. ISSN 0031-9007. PMID 23003132. S2CID 3190155.
^ Dénez Petz (2008). "8". Quantum Information Theory and Quantum Statistics. Theoretical and Mathematical Physics. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. Bibcode:2008qitq.book.....P. doi:10.1007/978-3-540-74636-2. ISBN 978-3-540-74634-8.

[1] 와우, J.양자정보론, 2013년 가을5, 페이지 194 https://cs.uwaterloo.ca/~wattle/CS766/DraftChapters/5.QuantumEntropy.pdf^{[permanent dead link]}

[Dupuis-2] Dupuis, F.; Krämer, L.; Faist, P.; Renes, J. M.; Renner, R. (2013). "Generalized Entropies". XVIIth International Congress on Mathematical Physics. WORLD SCIENTIFIC. pp. 134–153. arXiv:1211.3141. doi:10.1142/9789814449243_0008. ISBN 978-981-4449-23-6. S2CID 118576547.

[3] Ruskai, Mary Beth (2002). "Inequalities for quantum entropy: A review with conditions for equality". Journal of Mathematical Physics. AIP Publishing. 43 (9): 4358–4375. arXiv:quant-ph/0205064. Bibcode:2002JMP....43.4358R. doi:10.1063/1.1497701. ISSN 0022-2488. S2CID 3051292.

[4] Wang, Ligong; Renner, Renato (15 May 2012). "One-Shot Classical-Quantum Capacity and Hypothesis Testing". Physical Review Letters. 108 (20): 200501. arXiv:1007.5456. Bibcode:2012PhRvL.108t0501W. doi:10.1103/physrevlett.108.200501. ISSN 0031-9007. PMID 23003132. S2CID 3190155.

[5] Dénez Petz (2008). "8". Quantum Information Theory and Quantum Statistics. Theoretical and Mathematical Physics. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. Bibcode:2008qitq.book.....P. doi:10.1007/978-3-540-74636-2. ISBN 978-3-540-74634-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Search