추적 거리

양자역학, 특히 양자정보와 개방형 양자시스템 연구에서 미량거리 T는 밀도 행렬의 공간에 대한 메트릭이며 두 상태 사이의 구별성을 측정하는 척도를 제공한다.고전 확률 분포에 대한 콜모고로프 거리의 양자 일반화다.

정의

추적 거리는 행렬 차이의 추적 규범의 절반이다.

${\displaystyle T(\rho ,\sigma ):={\frac {1}{1}@rho -\sigma _{1}{1}{1}:{1}}\mathrm {Tr} \{\sqrt{(\rho -\sigma )^{\dager }\}\}\\\\\\rho -sigma -sigma }}}\rigota.}$

여기서 양의 세미데마인 행렬 A의 경우, $A{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$는 $양$의 세미데마인 행렬 ${\displaystyle B^{}}$를 나타내며$$, B 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B^{2}=A}.$B는 그렇게 정의된 고유한 행렬이라는 점에 유의하십시오.

(추적 규범은 p=1의 섀튼 규범이다.)2인자의 목적은 두 정규화된 밀도 행렬 사이의 미량 거리를 [0, 1] 범위로 제한하고 미량 거리가 나타나는 공식을 단순화하는 것이다.

밀도 행렬은 에르미트인이기 때문에

${\displaystyle T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{1}2}}\mathrm {Tr} \left[{\sqrt {(\rho -\sigma )^{2}}}}}={\frac {1}{1}2}}\sum \lambda _{i},},},}},},}}}}}},}}}}}$

여기서 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 은 은둔자의 고유값이지만 반드시 양의 행렬$({\displaystyle \rho }$ -${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle (\rho$ -$\sigma )}$은(는) 에르미트인의 고유값이다$.$

물리적 해석

섀튼 규범에 쾰더 이중성을 사용함으로써, 추적 거리는 다음과 같이 변동형식으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}\sup _{-\mathbb {I} \leq U\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [U(\rho -\sigma )]=\sup _{0\leq P\leq \mathbb {I} }\mathrm {Tr} [P(\rho -\sigma )].}$

고전적 상대방에 대해, 미량 거리는 두 양자 상태를 구별할 수 있는 최대 확률과 관련될 수 있다.

예를 들어 앨리스가 $각각{\displaystyle }$ 확률 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$$}$ 또는$$$or$ ${\displaystyle \$$sigma$ $}$ 중 하나의 상태로 시스템을 준비하여$$ 이항 측정을 사용하여 두 상태를 구별해야 하는 Bob에게 전송한다고 가정합시다.Let Bob assign the measurement outcome ${\displaystyle 0}$ and a POVM element ${\displaystyle P_{0}}$ such as the outcome ${\displaystyle 1}$ and a POVM element ${\displaystyle P_{1}=1-P_{0}}$ to identify the state ${\displaystyle \rho }$ or ${\displaystyle \sigma }$, respe얄밉게그가 예상한 유입 상태를 정확하게 식별할 확률은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle p_{\text{guess}}={\frac {1}{2}}p(0 \rho )+{\frac {1}{2}}p(1 \sigma )={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{0}\rho )+{\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} (P_{1}\sigma )={\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right).}$

따라서 최적 측정을 적용할 때 Bob은 최대 확률을 가진다.

${\displaystyle p_{\text{guess}}^{\text{max}}=\sup _{P_{0}}{\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {Tr} \left(P_{0}(\rho -\sigma )\right)\right)={\frac {1}{2}}(1+T(\rho ,\sigma ))}$

앨리스가 시스템을 준비했던 주(^[2]州)를 정확히 식별하는 겁니다

특성.

추적 거리에는 다음과 같은 특성이^[1] 있다.

• 밀도 행렬의 공간에 대한 지표로, 즉 음이 아닌 대칭이며 삼각 불평등을 만족시키고, $T{\displaystyle }$(${\displaystyle ,,}$ ${\displaystyle )}$) = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \iff }$ = 0 ⇔ =${\displaystyle \sigma }$, σ,$$ = 0 {, $ig$, $ig$, ig$=0\rigarrow \rho =\sigma }$
• ${\displaystyle 0\leq T(\rho ,\sigma )\leq 1}$ and ${\displaystyle T(\rho ,\sigma )=1}$ if and only if ${\displaystyle \rho }$ and ${\displaystyle \sigma }$ have orthogonal supports
• 단일변형: $T{\displaystyle (U}$ ${\displaystyle {}^{}}$ U ${\displaystyle {†}^{}}$, ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {}^{}}$ U ${\displaystyle {†}^{}}$)${\displaystyle }$= T${\displaystyle }$( ${\displaystyle \rho }$ ,${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle T(U\rho U^{\dager }}, U\sigma U^{\dager }}}}=T(\rho ,\sigma )}$
• It is contractive under trace-preserving CP maps, i.e. if ${\displaystyle \Phi }$ is a CPT map, then ${\displaystyle T(\Phi (\rho ),\Phi (\sigma ))\leq T(\rho ,\sigma )}$
• 그것은 각각의 입력에서 볼록하다.$예$: $T{\displaystyle }$ ($$ $i ρ$ i ,$σ$) ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {\rho }_{}}$ i ,${\displaystyle {}_{}\sigma }$ )$${ { $i${ { { { { { { { { { { { _ _ _ { { { { { {${ {$ { { { { { { { { { { { { { { p$$p p p p p p p$$p$$p p { { { { { { { { { {

Qubits의 경우, 추적 거리는 Bloch 표현에서 유클리드 거리의 절반과 동일하다.

기타 거리 측도와의 관계

피델리티

두 양자 상태 $F{\displaystyle }$ (${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle F$(\$rho ,\sigma )}$의 충실도는 불평등에 의한$$ 미량 거리 $T{\displaystyle }$ (${\displaystyle \rho }$ ,${\displaystyle \sigma }$ , σ${\displaystyle }$) ${\displaystyle$T$(\rho ,\sigma )}$과 관련이 있다$$.

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq T(\rho ,\sigma )\\\\sqlt{1-F(\rho ,\sigma )}},.}$

상한 불평등은 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$과 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$이(가) 순수한 상태일 때 동등해진다.[여기에서 사용하는 피델리티에 대한 정의는 닐슨과 츄앙에서 사용되는 정의의 제곱이라는 점에 유의하십시오.]

총변동거리

미량 거리는 총 변동 거리를 일반화한 것이며, 두 개의 통근 밀도 행렬에 대해서는 두 개의 해당 확률 분포의 총 변동 거리와 동일한 값을 갖는다.

참조