양자상대 엔트로피

양자정보이론에서 양자상대 엔트로피는 두 양자 상태의 구별성을 측정하는 척도다.이것은 상대 엔트로피의 양자역학적 유사점이다.

동기

단순성을 위해 글의 모든 물체는 유한한 차원이라고 가정할 것이다.

우리는 먼저 고전적인 사례를 논한다.사건 발생의 유한한 순서의 확률은 확률 분포 P₁ = {p_n...p}에 의해 주어진다고 가정해 보자. 그러나 어떻게 해서든지 우리는 그것을 Q = {q₁...예를_n 들어, 우리는 불공정한 동전을 공정한 동전으로 오인할 수 있다.이러한 잘못된 가정에 따르면, j-th 사건에 대한 우리의 불확실성, 즉 동등하게 j-th 사건을 관찰한 후에 제공되는 정보의 양은 다음과 같다.

${\displaystyle \;-\log q_{j}.}$

가능한 모든 사건의 평균 불확실성은 다음과 같다.

${\displaystyle \;-\sum _{j}\log q_{j}.}$

반면에 확률 분포 p의 섀넌 엔트로피는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \;-\sum _{j}\log p_{j}}}$

관찰 전 불확실성의 실제 양이다.따라서 이 두 수량의 차이

${\displaystyle \;-{j}p_{j}-\log q_{j}-\left_sum_{j}\log p_{j}\right)=\sum _{j}\log p_{j}-\sum _{j}-}-{j}\log Q_{j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

두 확률 분포 p와 q의 구별성을 측정하는 척도다.이것은 정확히 고전적 상대적 엔트로피 또는 Kullback-Leibler의 차이점이다.

${\displaystyle D_{\mathrm {KL}}}}(P\Q)=\sum _{j}\log {\frac {p_}{j}}{q_{j}}\!}$

참고

1. 위의 정의에서 lim_{x → 0} x log x = 0이기 때문에 0·log 0 = 0이라는 규약을 가정한다.직관적으로, 0 확률을 가진 사건이 엔트로피에 아무런 기여도 하지 않을 것이라고 예상할 수 있다.
2. 상대 엔트로피는 측정기준이 아니다.예를 들어 대칭이 아니다.페어 코인을 불공정하다고 오인하는 불확실성 불일치는 정반대의 상황과 같지 않다.

정의

양자정보이론의 다른 많은 개체들과 마찬가지로, 양자상대 엔트로피는 고전적 정의를 확률분포에서 밀도 행렬로 확장함으로써 정의된다.ρ 밀도 행렬이 되게 하라.샤논 엔트로피의 양자역학적 아날로그인 ρ의 폰 노이만 엔트로피는 에 의해 주어진다.

${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {Tr} \rho \log \rho .}$

density과 ρ의 두 밀도 행렬에 대해 σ에 대한 quantum의 양자 상대 엔트로피는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle S(\rho \ \sigma )=-\operatorname {Tr} \rho \log \sigma -S(\rho )=\operatorname {Tr} \rho \log \rho -\operatorname {Tr} \rho \log \sigma =\operatorname {Tr} \rho (\log \rho -\log \sigma ).}$

우리는 상태들이 분류적으로 연관되어 있을 때, 즉 ρσ = σρ, 그 정의는 고전적인 경우와 일치한다는 것을 안다.

비마인드(다이버전트) 상대 엔트로피

일반적으로 매트릭스 M의 지원은 그 커널의 직교보충으로서, 즉 ${\displaystyle \text{supp}}$(${\displaystyle }$M${\displaystyle }$) = ${\displaystyle \text{ker}}$(${\displaystyle {}^{}}$M ) = ker (${\displaystyle M{}^{}}$) $=$ ker $(\text{supply}}(M)={\text{cker}^{\perp$ $\}\}\}\}.$ 양자 상대 엔트로피를 고려할 때 -s · log 0 = μs의 관례를 가정한다.이는 다음과 같은 정의로 이어진다.

$\displaystyle S(\rho \sigma )=\infully }$

할 때

${\displaystyle {\text{supply}(\rho )\cap {\text{ker}(\textma )\neq 0.}$

이것은 다음과 같은 방법으로 해석할 수 있다.비공식적으로 양자 상대 엔트로피는 더 큰 값이 더 다른 상태를 나타내는 두 개의 양자 상태를 구별하는 우리의 능력에 대한 척도다.직교하는 것은 가장 다른 양자 상태를 나타낸다.직교 양자 상태에 대한 비마인 양자 상대 엔트로피가 이를 반영한다.동기 섹션에서 주어진 인수에 따라 상태 ${\displaystyle \rho}$이(가) ${\displaystyle \text{ker}}$ (${\displaystyle \sigma }$ ) ${\displaystyle {\text{ker}}(\sigma$ $)\}$에 지원이 있다고$$ 잘못 가정하면 이는 복구할 수 없는 오류다.

그러나 양자 상대 엔트로피 $S{\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle \Vert \sigma }$ $){\displaystyle$ S$(\rho \sigma )}$의 차이가 상태 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho \$sigma }과 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaysty \sigma }$이(가)가$$ 직교적이거나 심지어 다른 방법으로 매우 다르다는 결론을$$ 내리지 않도록 주의해야 한다.구체적으로 $S{\displaystyle (}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Vert \sigma }$ ) ${\displaystyle S(\rho \sigma )}$과(와) ${\displaystyle$$\rho \$$sigma }$이(가) 일부 표준에 의해 측정된 것처럼 사라질 정도로 작은 양만큼 차이가$$ 날 경우$$, S(\displaystystylement S)(\rho \s \s \s \s \s \rhosting styma \ron \ron$예$를 들어, {$${\$displaystyle \sigma}$에 대각선을 표시하도록 하십시오.

${\displaystyle \sum _{n}\boda _{n} f_{n}\랑글 \langle f_{n}}}}$

λ n을로 n=0,1,2,…{\displaystyle n=0,1,2,\ldots}과λ n;0{\displaystyle \lambda_{n}>. 0}일 경우 nx− 1, − 2,\와 같이 어디{fn⟩, n∈ Z}{\displaystyle\와 같이{f_{n}\rangle ,n\in \mathbb{Z}…{\displaystyle n=-1,-2,\ldots}}}은 orthonor에)0{\displaystyle \lambda_{n}=0}.mal는 편지t. ${\displaystyle \sigma$}의 커널은${\displaystyle }${${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle ⟩,n}$= -${\displaystyle 1}$, - ${\displaystyle 2}$ ,${\displaystyle \}}${\$displaystyle$\{$f_{n}\rangele ,n=-1,-2,\ldots$\}}}}}} 집합에 의해 확장된 공간이다$.$ 다음.

${\displaystyle \rho =\langlefa +\epsilon f_{-1}\langle f_{1} -\epsilon f_{1}\langle f_{1} }}$

for a small positive number ${\displaystyle \epsilon }$. As ${\displaystyle \rho }$ has support (namely the state ${\displaystyle f_{-1}\rangle }$) in the kernel of ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle S(\rho \ \sigma )}$ is divergent even though the trace norm of the difference ${\displaystyle (\rho -\sigma )}$ is ${\displaystyle 2\epsilon }$ . This means that difference between ${\displaystyle \rho }$ and ${\displaystyle \sigma }$ as measured by the trace norm is vanishingly small as ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ even though ${\displaystyle S(\rh$$o \\sigma )}$은(즉, 무한) 서로 다르다.양자 상대 엔트로피의 이 특성은 주의 깊게 다루지 않으면 심각한 단점을 나타낸다.

상대 엔트로피의 비부정성

해당고전문

고전적인 Kullback-Leibler의 분리에 대해서는 다음과 같이 보여질 수 있다.

${\displaystyle D_{\mathrm {KL}}(P\ Q)=\sum _{j}\log {\frac {p_{j}}{q_}}}\geq 0,}$

그리고 동일성은 P = Q. 구어체일 경우에만, 이는 잘못된 가정을 사용하여 계산된 불확실성이 항상 실제 불확실성 양보다 크다는 것을 의미한다.

불평등을 보여주기 위해 우리는 다시 쓴다.

${\displaystyle D_{\mathrm {KL}}(P\Q)=\sum _{j_{j}\log {\frac {p_{j}}}}\\\frac {p_{j}}}\sum _{j}(-\log {\frac {q_}}{j}).}$

로그는 오목함수라는 점에 유의하십시오.따라서 -log는 볼록하다.젠센의 불평등을 적용하면, 우리는

${\displaystyle D_{\mathrm {KL}}(P\Q)=\sum _{j}-\log {\frac {q_}{p_{j}}}(p_{j})\geq -\log(\sum _{j}{j}{q_}}}}{j}p_}p_{j}p_{j}p_{j}=0}}=0}}}}}}}}}}}}}}=0}.}$

젠슨의 불평등도 모든 i에 대해 q_i = (σq)_j p_i, 즉 p = q일 경우에만 평등이 유지된다고 명시하고 있다.

결과

클라인의 불평등에는 양자 상대 엔트로피가 명시되어 있다.

${\displaystyle S(\rho \sigma )=\operatorname {Tr}\rho(\log \rho -\log \sigma)}$

일반적으로 음성이 아니다.만일 ρ = σ이면 0이다.

증명

ρ과 σ은 분광분해를 갖도록 한다.

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}v_{i}v_{i}^{i}^\;\\;\\ima =\sum _{i}q_{i}w_{i}w_{i}^{i}}}}}.}$

그렇게

${\displaystyle \rho =\sum \i}v(\log p_{i}v_{i}v_{i}^{*}\;\log \vma =\sum \i}(\log q_{i})w_{i}w_{i}^{*}.}$

직접 계산을 통해 얻을 수

${\displaystyle S(\rho \sigma )=\sum _{k}{k_{k}\log p_{k}-\sum _{i}(p_{i}\log q_j}v_{i}^{*w_{j}^{2}}:$

${\displaystyle \qquad \;=\sum_{i}p_{i}-\sum _{j}\log q_{j}v_{i}^{*w_{j}^{2}}}}$

${\displaystyle \qquad \;=\sum_{i}p_{i}(\log p_{i}-\sum _{j})(\log q_{j})P_{ij}),}$

여기서_{i j} P = v_i*w_j .

매트릭스_{i j}(_{i j}P)는 이중 확률 매트릭스, -log는 볼록함수이므로 위의 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle \geq \sum _{i}p_{i}(\log p_{i}-\log(\sum _{j}q_{j}P_{ij})).}$

정의_i r = qq_{i j} P.그렇다면 {r_i}은(는) 확률분포다.고전적 상대적 엔트로피의 비부정성으로부터, 우리는

${\displaystyle S(\rho \sigma )\geq \sum _{i}\log {\frac {p_{i}}{r_{i}}}\geq 0.}$

주장의 두 번째 부분은 -log가 엄격히 볼록하기 때문에 평등이 이루어진다는 사실에서 비롯된다.

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}(\log p_{i}-\sum _{j})(\log q_{j})P_{ij}\geq \sum \sum _{i}p_{i}(\log p_{i}-\log(\sum _{j}q_{j}P_{ij})}}}$

고유 벡터 {v_i} 및 {w_i}의 적절한 라벨링 후 (P_{i j})가 ρ = σ을 의미하는 순열 행렬인 경우에만 해당.

상대 엔트로피의 접합 볼록도

상대 엔트로피는 공동 볼록하다.$0$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq$ 1$}$및 상태 ${\displaystyle {\rho \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {),}_{}{}_{}}$ 1 ( ${\displaystyle 2_{}}$ ) ${\$)2$$$}}:$

${\displaystyle D(\lambda \rho _{1}+(1-\lambda )\rho _{2}\ \lambda \sigma _{1}+(1-\lambda )\sigma _{2})\leq \lambda D(\rho _{1}\ \sigma _{1})+(1-\lambda )D(\rho _{2}\ \sigma _{2})}$

상대 엔트로피의 단조로움

상대 엔트로피는 밀도 행렬에 대한$$ CPTP(완전 양성 추적 보존) 작동 $N{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 단조롭게 감소한다.

${\displaystyle S}$( N (${\displaystyle \rho }$ ) ${\displaystyle \Vert }$ N (${\displaystyle \sigma }$ )${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle S}$ (${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Vert }$ ‖ ${\displaystyle \sigma }$ ) )$${ { )${\displaystyle }${ ) {\$displaystyle S({\mathcal{N}(\rho )\\\\mathcal{N}(\sigma )\leq S(\rho \sigma$ $)\}).$

이 불평등은 양자 상대 엔트로피의 단조로움이라고 불린다.

얽히고설킨 조치

복합 양자 시스템에 상태 공간 허용

$H=\otimes _{k}H_{k}}}$

그리고 H에 작용하는 밀도 행렬이 된다.

ρ의 얽힘의 상대적 엔트로피는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \;D_{\mathrm {RE}}(\rho )=\min _{\sigma }S(\rho \sigma )}$

최소 한도가 분리 가능한 주(州)의 가(家)를 인수하는 경우.수량에 대한 물리적 해석은 분리 가능한 상태로부터 상태 ρ의 최적 구별성이다.

분명히 entangled이 얽히지 않았을 때

${\displaystyle \;D_{\mathrm {RE}}}(\rho )=0}$

클라인의 불평등에 의해.

기타 양자정보량과의 관계

양자 상대 엔트로피가 유용한 한 가지 이유는 몇 가지 다른 중요한 양자 정보량이 그것의 특별한 경우이기 때문이다.종종, 정리들은 양자 상대 엔트로피 측면에서 명시되며, 이것은 다른 수량에 관한 즉각적인 상관관계로 이어진다.아래에는 이러한 관계 중 일부를 나열한다.

ρ는_AB 차원 n의_A 서브시스템 A와 차원_B n의 B를 가진 초당적 시스템의 공동 상태가 되도록 한다.ρ_A, ρ_B 각각의 축소된 주가 되게 하고, 나, 나는_B 각각의_A 정체성을 갖게 한다.최대 혼합 상태는 I_A/n과_A I_B/n이다_B.그러면 바로 그 계산으로 그것을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle S(\rho _{A}/n_{A}=\mathrm {log}(n_{A})-S(\rho_{A}),\;}$

${\displaystyle S(\rho _{AB} \rho _{AB}}\rho _{B}=S(\rho _{B})+S(\rho _{AB})=I(A:B),}$

${\displaystyle S(\rho _{AB} \rho _{A}\otimes I_{B}/n_{B})=\mathrm {log} (n_{B})+S(\rho _{A})-S(\rho _{AB})=\mathrm {log} (n_{B})-S(B A),}$

여기서 I(A:B)는 양자 상호 정보, S(B)는 양자 조건부 엔트로피다.

참조

• Vedral, V. (8 March 2002). "The role of relative entropy in quantum information theory". Reviews of Modern Physics. American Physical Society (APS). 74 (1): 197–234. arXiv:quant-ph/0102094. Bibcode:2002RvMP...74..197V. doi:10.1103/revmodphys.74.197. ISSN 0034-6861. S2CID 6370982.
• 마이클 A.닐슨, 아이작 L.츄앙, "퀀텀 계산 및 양자 정보"