모듈 세트 생성

수학에서 링 R에 대한 모듈 M의 생성 집합 γ은 M의 하위 집합으로, γ을 포함하는 M의 가장 작은 하위 집합은 M 그 자체다(subset을 포함하는 가장 작은 하위 집합은 세트를 포함하는 모든 하위 집합의 교차점이다).그 다음 set 세트가 M을 발생시킨다고 한다.예를 들어 링 R은 ID 요소 1에 의해 자체에서 좌측 R-모듈로 생성된다.유한 생성 세트가 있으면 모듈이 미세하게 생성된다고 한다.

이것은 반지 자체의 하위조종인 이상에 적용된다.특히 주 이상은 단일 원소로 구성된 생성 세트를 갖는 이상이다.

명시적으로, 만약 γ이 모듈 M의 생성 집합이라면, M의 모든 요소는 γ의 일부 원소의 (마인드) R-선형 조합이다. 즉, M의 각 x에 대해 γ에는 r₁, ..., r_m, g가₁ 있다_m.

${\displaystyle x=r_{1}g_{1}g_{1}+\cdots +r_{m}g_{m}.}$

다른 말로 하자면, 추측이 있다.

${\displaystyle \bigoplus _{g\in \}Gamma }R\to M,\,r_{g}\mapsto r_{g}g,}$

여기서 직접 합계의 g-th 성분 중 요소에_g 대해 r을 작성했다. (동사적으로, 생성 집합은 항상 존재하기 때문에, 예를 들어, M 그 자체로서, 이것은 모듈이 자유 모듈의 지수, 유용한 사실이라는 것을 보여준다.)

모듈의 생성 세트는 세트의 적절한 부분 집합이 모듈을 생성하지 않는 경우 최소라고 한다.R이 필드인 경우 최소 생성 집합은 기준과 동일하다.모듈이 정밀하게 생성되지 않는 한 최소 생성 세트가 존재하지 않을 수 있다.^[1]

최소 생성 세트의 카디널리티가 모듈의 불변성일 필요는 없다. Z는 1에 의해 주요 이상으로서 생성되지만, 최소 생성 세트 {2, 3}에 의해서도 생성된다.모듈에 의해 고유하게 결정되는 것은 모듈의 발전기 수의 최소치이다.

R은 최대 이상 m과 잔여 필드 k와 M이 미세하게 생성된 모듈을 가진 국부 링이 되도록 한다.Then Nakayama's lemma says that M has a minimal generating set whose cardinality is ${\displaystyle \dim _{k}M/mM=\dim _{k}M\otimes _{R}k}$. If M is flat, then this minimal generating set is linearly independent (so M is free).참고 항목:최소 해상도.

발전기 간의 관계를 고려할 경우 보다 정밀한 정보를 얻는다; cf.모듈의 무료 프레젠테이션.

참고 항목

• Countably 생성 모듈
• 플랫 모듈
• 불변기준번호

참조

• 더밋, 데이비드 풋, 리처드추상 대수학.

이 대수 관련 기사는 단조롭다.위키피디아를 확장하여 도울 수 있다.

• v
• t