황금 삼각형(수학)

하위 삼각형이라고도 하는 황금 삼각형은 이소셀 삼각형이며,^[1] 이소셀 삼각형으로, 이중 면은 아래 면에 대한 $황금{\displaystyle }$ 비율 $\$ {\$displaystyle \varphi }$에 있다.

${\displaystyle {a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt{5}}\over 2}\약 1.155~034~~~}$

각도

• 정점 각도는 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle \theta =2\arcsin {b \over 2a}=2\arcsin {1 \over 2\varphi }}{\sqrt{5}-1} \over 4}={\pi \5}~{\rad}=36^{\read}}}.$

따라서 황금 삼각형은 급성 삼각형이다.

• 삼각형의 각도는 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$ 라디안에$$ 합하므로, 각 기본 각도(CBX 및 CXB)는 다음과 같다.

${\displaystyle \cHB ={\pi -{\pi \over 5}~{\trad}={2\pi \over 5}~{\rad}=72^{\read}}}}}$^[1]

참고:

${\displaystyle \chot \left\frac {{\sqrt{5}-1}{4}\right)\,{\text}}={2\pi \over 5}~{\rad}=72^{\read}}}}$

• 황금 삼각형은 3개의 각도가 1 : 2 : 2 (36°, 72°, 72°)^[3] 비율에 있는 유일한 삼각형으로 독특하게 식별된다.

다른 기하학적 도형에서는

• 황금 삼각형은 일반 오타그램의 스파이크에서 찾을 수 있다.
• 황금 삼각형은 또한 정점에 인접한 두 정점을 연결함으로써 정사각형 및 정삼각형 다각형인 정삼각형에서 찾을 수 있다. 그 이유는: 180(10-2)/10 = 144°는 내부 각도로, 정점을 통하여 중앙으로 이등분하는 144/2 = 72°^[1]
• 또한, 황금 삼각형은 도데면체와 이코사면체의 몇 개의 그물에서 발견된다.

로그 나선형

황금 삼각형은 로그 나선형의 일부 지점을 형성하는데 사용된다. 베이스 앵글 중 하나를 이등분함으로써, 새로운 포인트가 만들어지며, 차례로 또 하나의 황금 삼각형을 만든다.^[4] 이분법 과정은 무한정 계속될 수 있으며, 무한한 수의 황금 삼각형을 만들 수 있다. 로그 나선은 정점을 통해 그려질 수 있다. 이 나선은 레네 데카르트가 만든 용어인 등각형 나선형으로도 알려져 있다. 이에 따라 "극에서 곡선의 어느 지점까지 직선을 그리면 정확하게 같은 각도로 곡선을 자른다"고 설명했다.^[5]

황금 그노몬.

황금 삼각형과 밀접한 관련이 있는 황금색 그노몬이 있는데, 이 이등변 삼각형은 기준 길이에 대한 옆면 길이가 같은 비율이 황금 비율 ${\$$displaystyle {\tfrac{1}{\barphi$ $}}$의 역수 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$$displaystystyle \varphi$}}}}인 이등변 삼각형이다.

금삼각형은 밑 길이 대 옆길이의 비율이 금단면 φ과 같고, 금단면 gn과 같은 옆길이의 비율이 금단면 길이 대 밑길이의 비율이 금단면 φ과 같다.^[6]

${\displaystyle {a' \over b'}={1 \over \varphi }={{\sqrt{5}-1} \over 2}\ 약 0.618034.}$

각도

(AX와 CX의 거리는 모두 a′ = a = φ이고, 거리 AC는 그림과 같이 b′ = φ²이다.)

• 정점각 AXC는 다음과 같다.

${\displaystyle \theta '=2\arcsin {b' \over {2a'}}}=2\arcsin {{\varphi ^{2}} \{1+{\sqrt{5}}}} \}}}4}={3\pi \}{{{rad}=108^{b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

따라서 황금색 그노몬은 둔한 삼각형이다.

${\displaystyle (}$Note: ${\displaystyle \theta '=\arccos \left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={3\pi \over 5}~{\text{rad}}=108^{\circ }.)}$

• 삼각형 AXC의 각도는 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$ 라디안에$$ 합하므로, 각 기본 각도 CAX와 ACX는 다음과 같다.

${\displaystyle \theta ={\pi -{3\pi \over 5} \over 2}~{\text{rad}}={\pi \over 5}~{\rad}=36^{\data.}}}$

Note: ${\displaystyle \beta '=\theta =\arccos \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

• 황금색 그노몬은 3각의 3각도가 1 : 1 : 3(36°, 36°, 108°)인 삼각형으로 특이하게 식별된다. 그것의 기본 각도는 각각 36°로, 황금 삼각형의 꼭지점과 같다.

바이제스

• 그것의 기본각 중 하나를 2개의 동일한 각도로 절단함으로써, 황금 삼각형은 황금 삼각형과 황금 그노몬으로 이등분될 수 있다.
• 그것의 꼭지점을 다른 것의 두 배인 두 각도로 절단함으로써, 황금 그노몬은 황금 삼각형과 황금 그노몬으로 이등분할 수 있다.
• 길이가 같은 면이 서로 일치하는 황금색 그노몬과 황금 삼각형을 둔 것을 둔탁한 로빈슨 삼각형이라고도 한다.^[3]

틸링스

• 황금 삼각형과 두 개의 황금색 그노몬은 보통 오각형이다.^[7]
• 이 등각 삼각형은 펜로즈 기울기를 만드는 데 사용될 수 있다. 펜로즈 타일은 연과 다트로 만들어진다. 연은 두 개의 황금 삼각형으로 만들어지고, 다트는 두 개의 그노몬으로 만들어진다.

참고 항목

• 황금직사각형
• 황금광대
• 케플러 삼각형
• 킴벌링의 황금 삼각형
• 피타고라스 루테
• 펜타그램
• 황금 삼각형(구성)

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Golden triangle". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Golden gnomon". MathWorld.
• 틸링스 백과사전의 로빈슨 삼각형
• 유클리드별 황금 삼각형
• 조르지오 피에트로콜라의 타르타펠라고 황금 삼각형의 비범한 상호주의