황금비율기준

이 글에는 참고문헌, 관련 독서 또는 외부 링크 목록이 수록되어 있으나 인라인 인용구가 부족하여 출처가 불분명하다. 보다 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2018년 8월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

숫자 시스템
힌두-아랍어 수 체계
서아랍어 동부 아랍어 벵골어 데바나가리 구자라티 구르무키 오디아 신할라 타밀 말라얄람 텔루구 칸나다 쩡카 티베트어 발리네즈 버마어 자바어 크메르 라오 몽골어 순다네어 태국어
동아시아인
중국어 쑤저우 시 호키엔 일본인입니다 한국인입니다 베트남의 탕구트 카운팅 로드
미국인의
체로키 카크토비키 (이누피아크)
알파벳
아브자드 아르메니아어 아랴바하 키릴의 지에즈 조지아 주 그리스어 히브리어 로만
이전
에게 해 다락방 바빌로니아어 브라미 추바시 시스터치안 이집트의 에트루스카나 글래골리틱스 하로스티 마야인 무이스카 오십진법 루미 선사수 집계표기 퀴푸 시
베이스별 위치 시스템
2 3 4 5 6 8 10 12 16 20 60
비표준 위치수 시스템
비주사수(1) 부호화된 숫자 표현(균형 조정 혼합(혼합) 부정의 복합 기반 시스템(2i) Non-integer base of numeration(숫자) 비대칭수계
숫자 체계 목록
v t

황금비율 베이스는 비정수 위치수로서 황금비율(비정수)을 사용한다. 1 + √5/2 ≈ 1.61803399는 그리스 문자로 상징된다. 염기서열, 황금 평균 염기서열, 피 베이스 또는 구어체, 피리어(pinary)라고 부르기도 한다. 비 음수 실수는 0과 1자리 숫자만 사용하여 기본 음수 숫자로 나타낼 수 있으며 숫자 시퀀스 "11"을 피한다. 이를 표준 형태라고 한다. 숫자 시퀀스 "11"을 포함하는 염기서열 숫자는 항상 베이스 φ의 대수적 특성을 사용하여 표준 형태로 다시 작성할 수 있다. 특히 φ + 1 = φ². 예를 들어, 11_φ = 100_φ.

비이성적인 숫자 베이스를 사용함에도 불구하고, 표준 형태를 사용할 때, 모든 비 음의 정수는 종료(마인티) 베이스-베이스 확장으로서 고유한 표현을 가지고 있다. 유한한 염기서열 표현을 가진 숫자의 집합은 링 Z[1 + 55/2]이다. 이 숫자 체계에서는 다이디컬 합리자들이 이진수로 재생하여 증식할 수 있는 가능성을 제공하는 것과 같은 역할을 한다.

다른 숫자들은 기초 지표로 표준 표현을 하고, 합리적인 숫자들은 반복적인 표현을 가지고 있다. 이러한 표현은 종단 확장을 가진 숫자도 종단 확장 없이 확장된다는 점을 제외하면 독특하다. 예를 들어, 1 = 0.1010101… base-10에서 1 = 0.99999…

예

십진법	파워스 오브 powers	베이스 φ
1	φ0	1
2	φ1 + φ−2	10.01
3	φ2 + φ−2	100.01
4	φ2 + φ0 + φ−2	101.01
5	φ3 + φ−1 + φ−4	1000.1001
6	φ3 + φ1 + φ−4	1010.0001
7	φ4 + φ−4	10000.0001
8	φ4 + φ0 + φ−4	10001.0001
9	φ4 + φ1 + φ−2 + φ−4	10010.0101
10	φ4 + φ2 + φ−2 + φ−4	10100.0101

표준 형식으로 황금 비율 기준 번호 작성

다음 예에서 표기법 1은 -1을 나타내기 위해 사용된다.

211.01은_φ "11"과 "2"를 포함하며, "0"이나 "1"이 아닌 "11"과 "2"를 포함하며, "0"이나 "1"도 아닌 1 = -1을 포함하기 때문에 표준 염기서열 숫자가 아니다.

숫자를 "표준화"하려면 011_φ = 100_φ, 0200_φ = 1001_φ, 010_φ = 101_φ 및 110_φ = 001의_φ 대체물을 사용할 수 있다. 우리가 원하는 순서에 따라 대체품을 적용할 수 있다. 결과는 같다. 아래는 전선의 번호에 적용된 대체물이 오른쪽, 그 결과의 번호는 왼쪽이다.

211.01φ
300.01φ	011φ → 100φ
1101.01φ	0200φ → 1001φ
10001.01φ	011φ → 100φ(추정)
10001.101φ	010φ → 101φ
10000.011φ	110φ → 001φ
10000.1φ	011φ → 100φ(추정)

비표준 종료 기준점 표출을 가진 모든 양의 숫자는 이러한 방식으로 고유하게 표준화될 수 있다. 첫 번째 숫자가 음수인 것을 제외하고 모든 숫자가 "0" 또는 "1"인 지점에 도달하면 그 숫자는 음수다. (이 예외는 첫 번째 숫자가 음수이고 다음 두 자리는 1인 1111.001=1.001처럼) 이것은 모든 숫자를 부정하고 결과를 표준화한 다음 음수로 표시함으로써 기저값 표시 표현에 대한 음수로 변환될 수 있다. 예를 들어 마이너스 부호 또는 다른 유의성을 사용하여 음수를 표시하십시오. 컴퓨터에서 산수를 수행하는 경우 오류 메시지가 반환될 수 있다.

정수를 황금 비율 기준 번호로 표시

우리의 정수를 비표준 염기서열수의 (유일한) 자리수로 간주하여 표준화하거나, 다음과 같이 할 수 있다.

1 × 1 = 1, φ × φ = 1 + φ, 1/φ = -1 + φ. 그러므로 우리는 계산할 수 있다.

(a + bφ) + (c + dφ) = (a + c) + (b + d)φ,

(a + bφ) - (c + dφ) = (a - c) + (b - d)φ)

그리고

(a + bφ) × (c + dφ) = (ac + bd) + (ad + bc + bd)φ).

그래서 정수 값만 사용하면 형식(a + b b)의 숫자를 더하고 빼고 곱할 수 있으며, φ의 양수 및 음수 정수 힘까지 나타낼 수 있다.

(a + bφ) > (c + dφ) 2(a - c) - (d - b) > (d - b) × √5인 경우에만 해당된다. 한쪽이 음성이면 다른 한쪽이 양성이면 비교는 사소하다. 그렇지 않으면 양쪽을 제곱하여 정수 비교를 얻음으로써 양쪽이 모두 음수일 경우 비교 방향을 반대로 바꾼다. 양쪽을 제곱할 때 55는 정수 5로 대체된다.

따라서 정수 값만 사용하여 폼의 숫자(a + b numbers)도 비교할 수 있다.

1. 정수 x를 기본 숫자 x로 변환하려면 x = (x + 0φ)에 유의하십시오.
2. 우리가 가지고 있는 수보다 여전히 작은 of의 최고 전력을 빼서 우리의 새 번호를 구하면, 그 결과로 나온 기저값 번호의 적절한 위치에 "1"을 기록한다.
3. 번호가 0이 아니면 2단계로 이동하십시오.
4. 완료됨

위의 절차는 11_φ = 100이기_φ 때문에 11의 순서는 절대 "11"이 되지 않으므로, "11"의 순서는 "11"보다 먼저 "1"을 놓쳤다는 것을 의미한다.

시작(예: 정수 = 5로 시작), 지금까지 결과는 ...00000이었습니다.00000..._φ

φ 5의 최고 출력은 φ³ = 1 + 2φ ≈ 4.236067977이다.

이것을 5에서 빼면 5 - (1 + 2 φ) = 4 - 2 φ 0.763932023..., 지금까지 결과는 1000.00000..._φ

φ 4 - 2φ 0.763932023의 최고 출력... φ⁻¹ = -1 + 1φ ≈ 0.618033989...

이 값을 4 - 2≈ 0 0.763932023...에서 빼면 4 - 2 - - (-1 + 1φ) = 5 - 3φ ≈ 0.145898034..., 지금까지 1000의 결과가 나왔다.10000..._φ

φ 5 - 3φ 14 0.145898034의 최고 출력... φ⁻⁴ = 5 - 3φ ≈ 0.145898034...

이 값을 5 - 3φ ≈ 0.145898034에서 빼면 5 - 3 3 - (5 - 3 3) = 0 + 0 0 = 0이고 최종 결과는 1000.1001이다_φ.

고유하지 않음

어떤 베이스-n 시스템과 마찬가지로, 종료표현을 가진 숫자들은 반복표현을 대체할 수 있다. 기지 10에서 이것은 0.999...라는 관측에 의존한다.=1. 염기서열에서 숫자 0.1010101... 다음과 같은 여러 가지 방법으로 1과 동일하다고 볼 수 있다.

• 비표준형식으로 변환: 1 = 0.11_φ = 0.1011_φ = 0.101011_φ = ... = 0.101010101010...._φ
• 기하 급수: 1.01010101010..._φ 와 같다

${\displaystyle \sum \{k=0}^{\inflt ^{-2k}={\frac {1}{1-\varphi ^{-2}}=\varphi }}}}$

• "전환"의 차이: φ² x - x = 10.101010..._φ − 0.101010..._φ = 10_φ = φ, x = φ/φ² - 1 = 1

1.0000과 0.101010 둘 다... 표준형이다.

일반적으로 염기서열에서 어떤 숫자의 최종 1은 그 숫자의 값을 변경하지 않고 반복 01로 대체할 수 있다.

합리적인 숫자를 황금 비율 기준 숫자로 나타냄

모든 비 음의 합리적 숫자는 반복적인 기저-증가 확장으로 나타낼 수 있으며, 필드 Q[√5] = Q + √5Q의 비 음의 어떤 요소도, 합리적인 숫자와 √5에 의해 생성된 필드도 가능하다. 반대로 모든 반복(또는 종료) 기저-기초-기초-기초 확장은 Q[1655]의 비-음소 요소다. 반복 소수점의 경우 반복 부분이 오버레이됨:

• 1/2 ≈ 0.010_φ
• 1/3 ≈ 0.00101000_φ
• √5 = 10.1_φ
• 2 + √5/13 ≈ 10.010100010001010100010001000000_φ

이성적 확장이 반복적으로 확장된다는 명분은 기저-n수체계에 대한 동등한 증거(n = 2,3,4,...)와 유사하다. 근본-기초-기초-기초-기분 분할에는 기본적으로 가능한 수만이 남아 있을 뿐이므로 일단 반복적인 패턴이 존재해야 한다. 예를 들어 1/2 = 1/10.01_φ = 100_φ/1001_φ 긴 눈금은 다음과 같이 보인다(기초-기초-기초-기초-기초 감산을 따르기가 어려울 수 있음).

                0.0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                        등 

그 반대의 경우도 마찬가지인데, 그 숫자는 반복적으로 기저귀를 가졌으며, 표현은 필드 Q[√5]의 한 요소다. 이는 마침표 k를 사용한 반복적인 표현은 Q[√5]의 원소에 합치되는 비율 φ의^−k 기하학적 연속성을 수반한다는 관측에서 비롯된다.

비합리적인 노트 수를 황금 비율 기준 번호로 나타냄

몇 가지 흥미로운 숫자의 기초적인 표현:

• π ≈ 100.0100 1010 1001 0001 0101 0100 0001 0100 ..._φ (OEIS에서 시퀀스 A102243)
• e ≈ 100.0000 1000 0100 1000 0000 0100 ..._φ (OEIS에서 시퀀스 A105165)
• √2 ≈ 1.0100 0001 0100 1010 0100 0000 0101 0000 0000 0101 ..._φ
• φ = 1+√5/2 = 10_φ
• √5 = 10.1_φ

덧셈, 뺄셈, 곱셈

base-10 산술의 모든 표준 알고리즘을 base-matrix 산술에 적용할 수 있다. 이에 대한 두 가지 접근법이 있다.

계산 후 표준 형식으로 변환

기본 숫자 2개를 추가하려면 각 자리 쌍을 이동하지 않고 추가한 다음 숫자를 표준 형식으로 변환하십시오. 뺄셈의 경우 빌리지 않고 각 자리 쌍을 뺀 다음(빌리는 음의 이동량) 숫자를 표준 형태로 변환한다. 곱셈의 경우 운반 없이 일반적인 base-10 방식으로 곱한 다음 숫자를 표준 형식으로 변환한다.

예를 들어,

• 2 + 3 = 10.01 + 100.01 = 110.02 = 110.1001 = 1000.1001
• 2 × 3 = 10.01 × 100.01 = 1000.1 + 1.0001 = 1001.1001 = 1010.0001
• 7 − 2 = 10000.0001 − 10.01 = 10010.0101 = 1110.0101 = 1001.0101 = 1000.1001

0과 1 이외의 자릿수는 사용하지 마십시오.

더 "원래" 접근법은 1+1 숫자를 더하지 않아도 되거나 0 – 1을 빼는 것이다. 이는 이러한 조합이 발생하지 않도록 피연산자를 비표준 형태로 재구성함으로써 이루어진다. 예를 들어,

• 2 + 3 = 10.01 + 100.01 = 10.01 + 100.0011 = 110.0111 = 1000.1001
• 7 − 2 = 10000.0001 − 10.01 = 1100.0001 − 10.01 = 1011.0001 − 10.01 = 1010.1101 − 10.01 = 1000.1001

여기에 보이는 뺄셈은 뺄셈을 위한 표준 "트레이딩" 알고리즘의 변형된 형태를 사용한다.

나누기

어떤 비정수 이성적인 숫자도 유한한 염기서열 수로 나타낼 수 없다. 다시 말하면, 미세하게 표현 가능한 모든 기저값 숫자는 2차 필드 Q[ q5]에서 정수 또는 (가능성이 더 높다) 비이성적이다. 가능한 잔여물의 수가 한정된 긴 분할로 인해, 위에서 설명한 것처럼 두 정수(또는 기초-변수 표시가 유한한 다른 숫자)의 분할은 반복적으로 확장될 것이다.

피보나치 부호화와의 관계

피보나치 부호화는 정수에 사용되는 밀접하게 관련된 숫자 체계다. 이 시스템에서는 숫자 0과 1만 사용하고 자릿수의 위치 값은 피보나치 숫자다. 염기서열과 마찬가지로 피보나치 재발 관계_k+1 F = F + F를_kk−1 사용하여 표준 형태로 재배열하여 자릿수 순서 "11"을 피한다. 예를 들어,

30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010_fib.

실용적 사용법

염기서열 산술과 피보나치 정수 시퀀스를 혼합할 수 있다. 염기서열 번호의 0이 아닌 숫자에 해당하는 일반 피보나치 정수 시퀀스의 숫자의 합은 염기서열 번호와 염기서열 0 위치에 있는 원소의 곱이다. 예를 들면 다음과 같다.

• 제품 10(10100.0101 기본 위치) 및 25(0 위치) = 5 + 10 + 65 + 170 = 250

  기준치: 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1

  부분 순서: ... 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165 ...

• 제품 10(10100.0101 기본 위치) 및 65(0 위치) = 10 + 25 + 170 + 445 = 650

  기준치: 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1

  부분 순서: ... 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165 ...

참고 항목

• 베타 인코더 – 원래 황금 비율 베이스 사용
• 오스트로우스키 숫자

메모들

참조

• Bergman, George (1957). "A Number System with an Irrational Base". Mathematics Magazine. 31 (2): 98–110. doi:10.2307/3029218. JSTOR 3029218.
• Eggan, L. C.; vanden Eynden, C. L. (1966). "Decimal expansions to nonintegral bases". Amer. Math. Monthly (73): 576–582. JSTOR 2314786.
• Plojhar, Jozef (1971). "The Good natured Rabbit breeder". Manifold. 11: 26–30.

외부 링크

• Phi의 파워스를 사용하여 Integers(베이스 Phi)를 나타냄