그래프 평탄성

$일부$ d $\displaystyle$ d $'$ 차원 $d$ 노름 벡터 공간에서의 평탄성은 $고차원$ d{\\ $displaystyle$ d $'$ 차원에서 $d'$ $d$ $d$ 의 삽입 또는 도면을 "평탄화"하여점 연결 쌍 사이의 거리를 " $평탄화$ "할 수 있음을 나타내는 그래프의 특성이다.ted by edges는 보존됩니다.그래프 G $({displaystyle$ G $}$ 를 $G$ 구속 그래프로 하는 $모든$ 거리 구속 시스템(DCS)이 d $({displaystyle$ d}) 차원 $d$ $d$ 를 갖는 경우 $그래프$ G({ $displaystyle$ d $})$ 는 $G$ 평탄화 $d$ $가능$ 합니다.평탄성은 처음에 실현 ^[1]가능성이라고 불렀지만, d $\displaystyle$ d}-^[2]차원 $d$ $d$ 를 가진 일부 DCS를 가진 그래프와 혼동을 피하기 위해 이름을 변경했다.

평탄성은 구조적 강성, 시제 격자, 케이리 구성 공간 및 그래프 실현 문제의 변형과 관련이 있습니다.

정의들

$G=(V,E)$ 구속 시스템 $(G,\delta )$ , $δ$ ) { $displaystyle ($ $G=(V,E)$ G , \ $delta$ ) $(G,\delta )$ $G=(V,E)$ $\delta :E\rightarrow \mathbb {R} ^{|E|}$ 서 $G=(V,E)$ G → ( $G=(V,E)$ , $G=(V,E)$ ) { $displaystyle$ G $→$ ( V , $E$ ) : $\delta :E\rightarrow \mathbb {R} ^{|E|}$ : : : $\delta :E\rightarrow \mathbb {R} ^{|E|}$ $\delta :E\rightarrow \mathbb {R} ^{|E|}$ $\delta :E\rightarrow \mathbb {R} ^{|E|}$ E \ $\delta :E\rightarrow \mathbb {R} ^{|E|}$ \ $display$ : $E\rightarrow \mathbb {R}$ ^{ $E$ }}는 $\delta :E\rightarrow \mathbb {R} ^{|E|}$ $G$ 의 $G$ 까지의 거리를 할당한 것으로, ( $G$ $G$ G)의 $(G,\delta )$ $(G,\delta )$ 프레임워크가 존재하는 경우 일부 표준 $\mathbb {R} ^{d}$ $\mathbb {R} ^{d}$ R d d \ $displaystyle$ \ $mathbbb {$ R } ^ { d $}$ 에서 $\mathbb {R} ^{d}$ 평탄화 $d$ $가능$ 합니다.ns.

$G=(V,E)$ ${\displaystyle$ G $}$ 를 $G$ 구속 그래프로 하는 모든 거리 구속 시스템이 d $\displaystyle$ d $}$ -displayable이면 $d$ $그래프$ G $G=(V,E)$ ( $G=(V,E)$ , $G=(V,E)$ E ) $G=(V,E)$ { $displaystyle$ d $=$ ( $V$ , $E$ ) $G=(V,E)$ } 은 $G=(V,E)$ R $\mathbb {R} ^{d}$ ${\$ 에서 $\mathbb {R} ^{d}$ $^{d}$ 입니다 $\mathbb {R} ^{d}$ .

평탄성은 Cayley 구성 공간에서도 정의할 수 있습니다. 아래 Cayley 구성 공간과의 연결을 참조하십시오.

특성.

하위 그래프 아래 닫힘.서브그래프를 ^[1]사용하면 평탄성이 닫힙니다.이를 확인하기 위해 $그래프$ G(\ $displaystyle$ G $G$ 의 경우 $G$ (\ $displaystyle$ G $G$ )의 $H$ (\ $displaystyle$ H $H$ )의 가능한 모든 임베딩이G(\ $displaystyle$ G $G$ 의 모든 임베딩 세트에 포함되어 있음을 확인합니다.

마이너 클로즈드평탄성은 ^[1]위와 유사한 인수에 의해 마이너 클로즈된 속성입니다.

평탄화-차원일부 노름 벡터 공간에서 $그래프$ G(\ $displaystyle$ G $)$ 의 $G$ 평탄화 치수는 G $(\displaystyle$ G $)$ 가 $G$ d $(\displaystyle$ d $)$ - 평탄화 $d$ 가능하도록 $최소$ $치수$ d(\ $displaystyle$ d $)$ 이다 $d$ .그래프의 평탄화 치수는 그램 ^[3]치수와 밀접하게 관련되어 있습니다. $l_{2}$ 은 l 2 $l_{2}$ {\ $displaystyle l_{2}}$ - norm $l_{2}$ 아래의 임의의 그래프의 평탄화 치수에 대한 상한값입니다.

정리.^[4] $({$ }}) -norm $l_{2}$ $아래$ 의 그래프 G $=$ ( V $G=\left(V,E\right)$ , $G=\left(V,E\right)$ E $O\left({\sqrt {\left|E\right|}}\right)$ ) \ $displaystyle$ $O\left({\sqrt {\left|E\right|}}\right)$ $G =$ \ left ( V , $E$ \ right )의 $G=\left(V,E\right)$ 평탄화 치수는 $기껏해야$ O $O\left({\sqrt {\left|E\right|}}\right)$ ( E ) \ $displaystyle$ O \ $left$ ( { \ sqright $O\left({\sqrt {\left|E\right|}}\right)$ )입니다.

이 주제에 대한 자세한 설명은 의 11.^[5]2장을 참조하십시오.

유클리드 평탄성

이 절에서는 유클리드 공간의 평탄성 결과에 대해 설명하며, 여기서 거리는 유클리드 노름이라고도 불리는 $l_{2}$ 2 $(\$ $l_{2}$ 을 $l_{2}$ 사용하여 측정된다.

1-평탄화 그래프

다음 정리는 민속학이며, 1 $(\displaystyle$ 1) - 평탄성에 $1$ 대해 $1$ 된 마이너리티는 $K_{3}$ 한 $K_{3}$ K $K_{3}$ 3(\ $displaystyle K_{$ 3 $K_{3}$ 뿐임을 보여줍니다.

정리.그래프는 포레스트인 경우에만 1-평탄화 가능합니다.

그림 1

DCS의 2차원

프레임워크

2

(그래프가 6개의 정점이 있는 트리)는 파란색으로 표시됩니다

.

동일

한 DCS의

1차원

프레임워크는 빨간색으로 표시됩니다

.

증거, 증거는 ^[1]다음에서 찾을 수 있습니다.한 방향으로 포레스트는 나무 집합체이며 그래프가 나무인 거리 구속 시스템은 1차원 $(\displaystyle$ 1)로 $1$ $1$ 될 수 있습니다.한편 $그래프$ G $(\displaystyle$ G $)$ 가 $G$ 포레스트가 아닌 경우 완전한 $K_{3}$ $K_{3}$ 3 $(\$ 이 $K_{3}$ 서브그래프로 표시됩니다. $1$ 을 $1$ $({$ 서브그래프의 $K_{4}$ 가장자리에 할당하고 거리 $({displaystyle$ 0 $})$ 을 $0$ 다른 모든 가장자리에 할당하는 DCS를 고려합니다.이 DCS는 삼각형의 1-스켈레톤으로서 2차원적으로는 실현되지만 $1차원$ 에서는 $1$ $1$ 되지 않습니다 $.$

이 증명에서는 에지의 거리가 0 $(\displaystyle$ 0 $0$ 이 $되도록$ 허용되지만, 이 증명은 허용되지 않는 경우에도 인수가 유지됩니다.상세한 것에 대하여는, 을 참조해 주세요.

그림 2특정 링크의 경우 이 그래프는 1차원 현실화(예: 모든 에지에 1의 할당)를 가집니다.단,

(

디스플레이

스타일

{\bar {AB}}

C_

{3

{\bar {AB}}

은

C_{3}

{\bar {AB}}

{\bar {AB}}

를

{\bar {AB}}

하여 얻을 수 있으므로 그래프는 1

(디스플레이 스타일

1) - 평탄하지

1

않습니다

.

2-평탄화 그래프

다음 정리는 민속학이며 2 $(\displaystyle$ 2)- 평탄성에 $2$ 대해 $2$ 된 마이너리티는 완전한 $K_{4}$ $K_{4}$ 4 $(\$ 뿐임을 보여줍니다.

정리.그래프는 부분적인 2-트리의 경우에만 2-플랫텐이 가능합니다.

증거, 증거는 ^[1]다음에서 찾을 수 있습니다.한 방향의 경우, 하위 그래프를 취하면 평탄성이 닫히기 때문에, 2-트리가 2-평탄성이라는 것을 보여주면 충분하다. $n-1$ 의\ $displaystyle$ n개의 $n$ 정점이 $있는$ 2-트리를 $n-1$ n개의 $n-1$ \ $displaystyle n-1개의$ 정점이 $n-1$ 2-tree를 기존 에지의 정점에 연결하여 재귀적으로 구성할 수 있습니다.베이스 케이스는 $(\$ K_{3 $K_{3}$ 입니다 $.$ n(\ $displaystyle$ n $n$ 의 수에 따라 유도하여 진행합니다.n $\delta$ $=$ $n=3$ (\ $displaystyle$ n=3 $n=3$ 인 $n=3$ , $(\$ 의 $\delta$ $\delta$ 거리 $\delta$ 을 고려하십시오 $.\$ displaystyle $\delta$ doe에 $주의$ 해 주십시오.삼각 부등식을 따르지 않으면 이 DCS는 어떤 차원에서도 실현되지 않습니다.일반성을 잃지 않고 첫 번째 $v_{1}$ $({$ 을 $v_{1}$ 원점에 배치하고 두 번째 $v_{2}$ $({$ 를 $v_{2}$ X축을 따라 § $({displaystyle$ \ $delta$ _ ${12})$ 가 $\delta _{12}$ 충족되도록 배치합니다.세 번째 $v_{3}$ $({$ ${3$ $})$ 은 $v_{3}$ $v_{1}$ $({$ 과 $v_{1}$ $({$ }})와 $v_{2}$ 반지름 $\delta _{13}$ 13 $({$ 및 $\delta _{23}$ 23 $({$ 이 $\delta _{13}$ $\delta _{23}$ 있는 원의 교차점에 배치할 수 있습니다.이러한 배치 방법을 자 및 나침반 구조라고 합니다.따라서 $(\$ 는 $K_{3}$ $K_{3}$ 의 플랫텐이 가능합니다.

이제 $k개의$ 정점이 $있는$ 2개의 트리가 2개의 평탄하다고 가정합니다.정의상 $k+1$ $k+1$ + $k+1$ 1({ $displaystyle$ $k+$ 1}개의 $k+1$ 정점이 $k+1$ 2-트리는 예를 $들어$ T $({displaystyle$ T $})$ 의 $k$ $기존$ 에지의 정점에 $u$ 된k개의 $정점$ 과 추가 정점 u({ $displaystyle u})$ 를 $u$ $가진$ 2-트리로 귀납 가설 $T$ ({ $displaystyle$ T $T$ 에 따라 결정됩니다.2개의 슬롯이 있습니다.마지막으로 베이스 케이스와 유사한 눈금자 및 나침반 구성 인수에 $u$ 를 $u$ 평면 내에 배치할 수 있습니다.따라서 2-트리는 유도에 의해 2-평탄화됩니다.

$그래프$ G(\ $displaystyle$ G $)$ 가 $G$ 부분적인 2-트리가 아닌 경우 마이너로서 K $(\$ 가 $K_{4}$ $K_{4}$ 됩니다. $K_{4}$ 4 $K_{4}$ 에지에 1 $($ $디스플레이 스타일 1$ )의 $1$ $1$ 를 할당하고 다른 모든 에지에 0 $(디스플레이 스타일$ 0 $)$ 의 $K_{4}$ $0$ $0$ 를 할당하면 사면체의 1 스켈톤으로서 3차원으로 실현되는 DCS가 생성됩니다.그러나 이 DCS는 2차원적으로는 실현되지 않습니다. 즉, 눈금자와 나침반 구조를 사용하여 네 번째 정점을 배치하려고 하면 네 번째 정점에 의해 정의된 세 개의 원이 모두 교차하는 것은 아닙니다.

예.그림 2의 그래프를 살펴봅니다. ${\bar {AC}}$ A C ${\bar {AC}}$ {\(\ $display\bar$ { $AC})$ 를 ${\bar {AC}}$ 추가하면 2개의 트리로 바뀝니다.따라서 부분적인 2개의 트리가 됩니다.따라서 2개의 평탄화가 가능합니다.

예.휠 $W_{5}$ $W_{5}$ 5 $(\$ W_ ${5})$ 는 $K_{4}$ $4(\displaystyle$ K_ ${4$ })를 $K_{4}$ 마이너로 $K_{4}$ 합니다.따라서 2개의 평탄화가 불가능합니다.

3-평탄화 그래프

$3$ (디스플레이스타일 $3$ ) - 평탄 $3$ 그래프 $3$ 는 부분 3 $(디스플레이 스타일$ 3) - ^[1]트리의 $3$ 클래스를 엄격하게 포함합니다.보다 정확하게는 부분 $({displaystyle$ 3}-tree에 $3$ 대해 금지된 미성년자는 $K_{2,2,2}$ 한 $K_{5}$ K $({$ $K_{2,2,2}$ ${5$ $K_{2,2,2}$ $V_{8}$ ({ $displaystyle K_{2,2$ 8 $({$ $C_{5}\times C_{2}$ × $({$ 이다. $(\displaystyle V_{8$ $C_{5}\times C_{2}$ $×$ $C_{5}\times C_{2}$ (\ $displaystyle C_{5}\times$ C_ ${$ 2})는 $C_{5}\times C_{2}$ 3 $(\displaystyle$ 3) 플랫텐입니다 $3$ .^[6]이 그래프는 그림 3에 나와 있습니다.또한 에서의 다음 정리에서는 3개의(\ $displaystyle$ 3) - 평탄성에 $3$ 대해 $3$ 된 $K_{5}$ 는 K 5 $(\$ 와 K $K_{2,2,2}$ 2, $(\$ 뿐임을 보여 줍니다.

그림 3

3개의

관심

그래프 -

평탄성

3

정리.^[1] 그래프는 $K_{5}$ (\ $displaystyle K_{5})$ $K_{2,2,2}$ $(\$ K_ ${2,2})$ 가 $K_{2,2,2}$ $K_{5}$ 로 없는 경우에만 3 $(\displaystyle$ 3)입니다 $3$ .

실증 아이디어:에 기재된 증명은 $($ 디스플레이 $스타일 V_{8$ 및 $C_{5}\times C_{2}$ × $($ C_ ${5}\times$ C_ ${2})$ 가 $C_{5}\times C_{2}$ $(디스플레이 스타일$ 3) 실현 가능하다고 $3$ 가정하고 있습니다.이것은 강성 이론, 특히 시제도에 관한 수학적 도구를 사용함으로써 증명된다.완전한 $K_{5}$ $K_{5}$ 5 $(\$ 는 $K_{5}$ 3 $(\displaystyle$ 3) - 평탄화되지 $3$ $않습니다$ . $K_{4}$ K 4 $(\$ 는 $K_{4}$ 2 $(\displaystyle$ 2) - 평탄화되지 $2$ $K_{3}$ K $(\$ $K_{3})$ 는 $K_{3}$ 1 $(\displaystyle$ 1) - 평탄화되지 $1$ $않습니다$ . $($ $디스플레이 스타일$ 1)부터 $1$ K5의 $가장자리$ 까지 $($ $디스플레이 스타일$ K_ $K_{5}$ { $K_{5}$ })는 $3차원$ 으로 $3$ 구현되지 않은 DCS를 생성합니다.그림 4는 $K_{2,2,2}$ $K_{2,2,2}$ 2, $K_{2,2,2}$ , $({$ 가 $K_{2,2,2}$ 3 $({displaystyle$ 3) - 평탄하지 $3$ $3$ 을 시각적으로 증명하고 있습니다. $꼭지점$ 1 $($ $디스플레이$ $스타일$ 1 $1$ 2 $(디스플레이 스타일$ 2) $2$ 및 $(디스플레이 스타일$ 3)은 $3$ 축퇴 삼각형을 형성합니다. $정점$ 1 $({displaystyle$ 1 $(1,4)$ - $5$ $(1,4)$ $displaystyle$ 5 $})$ 사이의 $(1,4)$ 모서리에는 $(1,4)$ 2 $(1,4)$ $displaystyle$ $(1,4)})$ 가 $(3,4)$ ${\sqrt {2}}$ 할당되고 다른 모든 모서리에는 $거리$ ${\sqrt {2}}$ 1 $({displaystyle$ ${\sqrt {2}}$ 1 $})$ 이 할당됩니다. $스타일$ 1 $1$ - $(디스플레이$ $스타일$ 5 $)$ 에는 $5$ 3차원 $(최대$ 일치)의 독특한 배치가 있습니다. $정점$ 6({ $displaystyle$ 6 $}$ 은 $6$ $\Pi$ $($ 는) $평면$ $\Pi$ 의 양쪽에 $각각$ 1 $({$ $displaystyle 1$ $1$ $({displaystyle$ 2)및 $({displaystyle$ 4 $4$ 의 $2$ $1$ $3차원$ $3$ 의 $가능$ 한 배치를 $가집니다$ . 따라서 가장자리 $(5,6)$ 는) $(5,6)$ 5 $(5,6)$ $)({displaystyle ($ 5 $,6)}$ 에는 $(5,6)$ 3차원({ $displaystyle$ 3)으로 $3$ 실현할 수 있는 두 가지 거리 값이 있습니다.그러나 $정점$ 6({ $displaystyle$ $6$ $})$ 은 $6$ 모든 제약을 충족하는 동안 평면 $\Pi$ ({ $displaystyle$ $\Pi$ 4 $}$ -차원 $\Pi$ $4$ )를 4({displaystyle 4} -차원으로 회전할 수 있으므로 에지 $, 6)$ 에는 $(5,6)$ 4 $({displaystyle$ 4 $}$ -차원 $4$ 이상)에서만 실현할 수 있는 거리 값이 무한히 많습니다. $K_{2,2,2}$ K $K_{2,2,2}$ 2, $K_{2,2,2}$ , $({$ 는 $K_{2,2,2}$ 3 $({displaystyle$ 3) - 평탄하지 $3$ $않습니다$ .이러한 그래프가 3 $(style$ 3) - 평탄화 $3$ 가능이 $아니라는$ 사실은 $(\$ K_ $K_{5}$ { $K_{2,2,2}$ 또는 K2, $K_{2,2,2}$ , $K_{2,2,2}$ 2(\ $displaystyle K_{2,2}})$ 를 $K_{2,2,2}$ 마이너로 하는 그래프가 3 $(\displaystyle$ 3) - 평탄화 $3$ 가능이 $3$ 을 나타냅니다.

그림 48면체의

(style

1) - 스켈레톤을

1

표시하는 시공 단계는 3

(style

3) - 평탄하지

3

^[1]

않습니다

.

다른 방향은 $G$ 에 $G$ 마이너로서 $(\$ $K_{2,2,2}$ $K_{2,2,2}$ , 2 $(\$ 가 $K_{2,2,2}$ $K_{5}$ 경우 $(\displaystyle$ G $)$ 는 $G$ $부분$ 3(\ $displaystyle$ 3)- $V_{8}$ , $V_{8}$ $C_{5}\times C_{2}$ $displaystyle$ V_8 $V_{8}$ 로 구성할 수 있음을 나타냅니다. $C_{5}\times C_{2}$ Clique-sum $(\displaystyle$ 1) -sums $1$ , $(\displaystyle$ 2) -sums $2$ 및 $3$ (\ $displaystyle$ 3) -sums를 $3$ 통해 $C_{5}\times$ C_2 $}$ 를 $C_{5}\times C_{2}$ $표시합니다.$ 이 그래프는 $평탄화$ 가능한 $3$ $3개$ 의 그래프이며, 이러한 조작은 평탄화 $3$ 가능한 $3개$ 의 $3$ 이므로 $(\$ $displaystyle$ G $)$ 는 $G$ 평탄화 $3$ 가능한3개의 그래프입니다.

이 증빙의 기술은 다음과 같은 결과를 ^[1]낳습니다.

정리.그래프의 1{1\displaystyle}-sums, 2{2\displaystyle}-sums고, 그래프의 3{3\displaystyle}-sums K4{\displaystyle K_{4}}, V8{\displaystyle V_{8}}, C5×C2C_{2}{\displaystyle C_{5}\times의 시퀀스 얻을 수 있[1]모든3-realizable 그래프는 부분 그래프.} $C_{5}\times C_{2}$ 를 클릭합니다.

예.앞의 정리를 적용하여 큐브의 $(\displaystyle$ 1) -skeleton이 $1$ 3평탄화임을 나타낼 수 있습니다.K $($ $K_{4}$ 부터 시작합니다.이것은 사면체의 1스켈톤입니다.사면체의 각 면에 다른 $K_{4}$ 4 $(\$ K_ ${4})$ 그래프를 $K_{4}$ 사용하여 3섬을 수행합니다. 즉, 표면에 2개의 사면체를 접착합니다.결과 그래프는 큐브를 하위 그래프로 포함하며 3개의 평탄하게 설정할 수 있습니다.

고차원에서의 평탄성

$d>3$ d $d>3$ > $d>3$ \ $displaystyle$ d> $d>3$ 3 \ displaystyle d > 3 \ $d>3$ flatterable $d$ graphs $forbidden$ minor minor minor minor minor character character character character character character character character character character character character character character character character character character character giving giving giving giving giving giving giving giving $모든$ $차원$ d $d$ $K_{d+2}$ d + $K_{d+2}$ (\ $displaystyle K_{d+2})$ 및 $K_{d+2}$ 8면체의 $d$ \ $displaystyle$ d\displaystyle d \ dimensional $d$ 아날로그의 1-skeleton은d\ $displaystyle$ d \ platternablatibility $d$ ^[1] $d$ 에 미성년자로 금지됩니다.d $\displaystyle$ d $\$ flatenability에 $d$ 대한 금지 미성년자 수는 $부분$ d $\displaystyle$ d $\$ tree에 $d$ 대한 $금지$ 미성년자 수만큼 점증적으로 증가하고, $부분$ 4\ $displaystyle$ 4 $\$ ^[1]tree에 $4$ 대한 금지 미성년자수는 $75개$ 이상일 것으로 추측된다.

d $\displaystyle$ d-평탄화 $d$ 그래프의 $대체$ 특성화는 케이리 구성 ^[2]^[7]공간에 대한 평탄화와 관련이 있다."Connection to Cayley Configuration Spaces" 섹션을 참조하십시오.

그래프 실현 문제와의 접속

거리 제약 시스템 및 $치수$ d\ $displaystyle$ d를 지정하면 그래프 실현 문제는 DCS의 d $\displaystyle$ d $}$ 차원 $d$ $프레임워크$ (존재하는 경우)를 요구합니다.d $d\leq 3$ 3 \ $displaystyle$ d \ $leq$ 3 $d\leq 3$ dd d \ $displaystyle$ d \ leq 3 d d \ displaystyle d $d$ in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in d \ d \ d \ d \ $displaystyleq$ 3d $d=1$ $displaystyle$ d $=1$ )의 경우, 숲의 각 트리를1({ $displaystyle$ 1) $-120$ 으로 $1$ 실현하는 것은 다항식 시간에 달성하는 것은 매우 간단합니다.d $d=2$ $(\displaystyle$ d= $2)$ 의 $d=2$ 은 $d=2$ ^[1]에 설명되어 있습니다.d $d=3$ $d=3$ { $displaystyle$ d $=3$ 의 경우, 의 알고리즘은 반정의 프로그래밍 기법을 사용하여 DCS의 $프레임워크$ r {\ $displaystyle$ r $}$ 을 $r$ 얻은 $r$ 후 에 기재된 " $displaystyle$ r $"$ 을 $3차원$ 프레임워크로 $r$ 합니다.

p-규범 하의 평탄성

이 섹션에서는 $일반$ p $\displaystyle p\norms$ 에 $p$ 대한 $그래프$ 의 평탄도 결과에 대해 $1\leq p\leq \infty$

대수기하학과의 연관성

일반 $\displaystyle$ p -norm에서 $p$ 그래프의 평탄도를 결정하는 것은 에서 ^[1]제시된 대수기하학에서의 방법을 사용하여 달성할 수 있다. $G=(V,E)$ G $G=(V,E)$ ( $G=(V,E)$ , $G=(V,E)$ ) { $displaystyle$ G = ( $V$ , $E$ ) } 이 $G=(V,E)$ $d$ { $displaystyle$ d} - displayable $d$ 인지에 대한 질문은 두 개의 반정밀 세트가 동일한지 여부를 확인하는 것과 같습니다.2개의 반알고리즘 세트를 비교하기 위한1개의 알고리즘에는 ( $(4|E|)^{O\left(nd|V|^{2}\right)}$ E $(4|E|)^{O\left(nd|V|^{2}\right)}$ ( $(4|E|)^{O\left(nd|V|^{2}\right)}$ $(4|E|)^{O\left(nd|V|^{2}\right)}$ ^{2 $}\$ right $)\$ 4 E $)^{O\left (nd$ V $^{2$ }\ $right)}$ 시간이 $(4|E|)^{O\left(nd|V|^{2}\right)}$ 걸립니다 $(4|E|)^{O\left(nd|V|^{2}\right)}$ ^[9]

케이리 컨피규레이션스페이스로의 접속

$l_{p}$ $l_{p}$ p { $displaystyle$ l $_$ { $p$ } } - norms $l_{p}$ 에서는 평탄성과 케일리의 설정 ^[2]^[7]공간 사이에는 밀접한 관계가 있습니다.다음 정리 및 그 결과는 ^[2]에서 찾을 수 있다.

정리.[2]는 그래프 G{G\displaystyle}d{\displaystyle d}-flattenable은 만일에 모든 부분 그래프. H)G∖ F{H=G\setminus F\displaystyle}의 G{G\displaystyle}에서 기인한 제거 집합의 가장자리 F{F\displaystyle}에서 G{G\displaystyle}과 나는 pp{\displaystyle l_{p}^{p}}. -거리 벡터 $\delta _{H}$ H ( H $(H,\delta _{H})$ , $(H,\delta _{H})$ $(H,\delta _{H})$ H $(H,\delta _{H})$ ) \ $displaystyle$ $($ $H$ , \ $delta$ $_ {$ $H$ } ) 、displaystyle d （ \ $display style$ d） $d$ $(H,\delta _{H})$ of of （ $H$ 、 \ $delta _$ { $H$ $F$ ） $(H,\delta _{H})$ ( $distance$ $(H,\delta _{H})$ of of of of of of of distance of of distance of of of of of distance distance distance f f distance distance distance of distance distance distance distance distance distance distance distance distance distance $(H,\delta _{H})$ distance distance distance distance of of of

결과입니다. $그래프$ G $({$ $H=G\setminus F$ G})는 $G$ G $({displaystyle$ G $})$ 의 $G$ 일부 $H=G\setminus F$ 그래프 H $H=G\setminus F$ $F({displaystyle$ H $=G\setminus$ F $d$ 와 $H=G\setminus F$ displaystyled( $displaystyle$ $l_{p}^{p})$ 의 $l_{p}^{p}$ $l_{p}^{p}$ $\delta$ G $(displaystyle)$ 가 있는 경우 사용할 $\delta$ 수 없습니다 $d$ $.$ F{\ $displaystyle$ F $}$ $F$ 의 $F$ ( $(H,\delta _{H})$ " $")$ { $displaystyle (H,\delta$ _ ${H})$ 의 $(H,\delta _{H})$ $(H,\delta _{H})$ 알케이리 설정 공간은 볼록하지 않습니다.

2-l₁ 및_∞ l 규범에 따른 평탄성

$l_{1}$ 1 $(\$ $l_{\infty }$ l $(\$ $l_{1}$ 은 $l_{\infty }$ 2 $(\$ ^[5] $displaystyle$ 2) $2$ 에서의 $2$ 회전 축과 $2$ 하므로 두 규격 모두에 대해 2 $(\displaystyle$ 2) 평탄성이 $2$ 발생합니다.이 섹션에서는 l $l_{1}$ {\ $displaystyle l_{1}}$ - norm을 $l_{1}$ $l_{1}$ 합니다.완전한 $K_{4}$ $K_{4}$ 4 $($ 스타일 $K_{4})$ 는 $K_{4}$ $l_{1}$ $($ 스타일 $l_{1$ })-normal $l_{1}$ 아래에 2 $(디스플레이 스타일$ 2)-평탄화 $2$ 가능, $K_{5}$ 5 $($ $디스플레이 스타일$ $K_{5})$ 는 $K_{5}$ 3(디스플레이 스타일 3 $)-$ 평탄화 $3$ 가능, 2 $(디스플레이 스타일$ 2 $)-$ 평탄화 $2$ ^[10] $2$ 입니다.이러한 사실은 ^[2]l $({$ - $l_{1}$ 하의2({ $displaystyle$ 2) - 평탄성에 $2$ $대한$ 다음과 같은 결과에 기여합니다.

관찰.^[2] $l_{1}$ 1 $($ l ${\$ \ $displaystyle$ l $l_{1}$ _ { \ $l_{\infty }$ $}$ ) - norm $l_{\infty }$ 아래의 2 $(\$ displaystylel _ { \ norm ) - set $l_{2}$ $of$ 2 $($ $및$ l $style$ \ $displaystyle$ $l_$ ${\$ $infty$ }) - norm은 $l_{2}$ $(\$ }) - norm) - 평탄화 가능한 $2$ $2$ 그래프 $2$ 를 엄밀하게 포함합니다.

정리.^[2] 2 $($ $디스플레이 스타일$ 2) $2$ ( $디스플레이 스타일$ 2) - 평탄화 $2$ 가능 $2$ 는 2 $(디스플레이 스타일$ 2) - 평탄화 가능 그래프는 최대 1개의 그래프에 $K_{4}$ 4 $($ K_ ${4})$ $K_{4}$ 그래프가 있는 경우에만 2(디스플레이 $2$ 스타일 2)입니다.

$K_{4}$ 4 $(\$ 가 $K_{4}$ 2 $(\displaystyle$ 2)- 평탄화 $2$ $K_{5}$ 하지만 $K_{5}$ K 5(\ $displaystyle K_{$ 5 $K_{5}$ })라는 $l_{1}$ 은 $l_{1}$ l 1(\ $displaystyle l_1$ }) - 표준 $l_{1}$ 아래 2(\ $displaystyle$ 2 $2$ ) - 평탄화 가능 그래프에 대한 $2$ 된 마이너 특성화에는 영향을 주지 않습니다.구체적으로 $K5의$ 는 $2의 평탄성$ $2$ 에 미성년자로 $2$ 금지될 수 있다 $.$ 다음 결과는 이러한 가능성을 살펴보고 금지된 미성년자 세트를 제공합니다.

정리.^[2] 바나나 그래프, $K_{5}$ $K_{5}$ 5 $($ 스타일 $K_{5})$ 의 $K_{5}$ 한쪽 가장자리가 제거된 경우 $,$ 2( $디스플레이$ 스타일 2 $)$ - 평탄하지 $2$ $않습니다$ .

관찰.^[2] $K_{5}$ 5 $({$ displaystyle $K_{5})$ 에서 $K_{5}$ 동일한 정점에 입사한 두 개의 모서리를 제거한 $2$ 는 2 $({displaystyle$ 2) - 평탄화 $2$ 가능.

관찰.^[2] $모서리가$ 인 $7$ $5개의$ 에 연결된 그래프는 $2개$ 의 $평면 그래프입니다$

$K_{5}$ 5 $({$ 중 $K_{5}$ $K_{5}$ 하게 남은 마이너 그래프는 휠 $W_{5}$ $W_{5}$ 5 $({$ 이며, 다음 결과는 금지된 마이너 그래프 중 하나임을 나타냅니다.

정리.^[11] 그래프는 l $l_{1}$ {\ $displaystyle l_{1$ } $l_{1}$ - $l_{\infty }$ l ${\$ }} 아래 $l_{\infty }$ 2{\ $displaystyle$ 2} - 보통 $2$ 다음 $그래프$ 중 하나가 마이너그래프로 설정되어 있지 않은 경우에만 평탄합니다.

휠 $W_{5}$ $W_{5}$ 5 $({$ W_ ${5})$ 또는 $W_{5}$
$K_{4}$ 의 두 $복사본$ 의 2 $({$ 디스플레이 $스타일$ K_{ $4})$ 의 $2$ $K_{4}$ 합계를 취하여 공유 가장자리를 제거한 그래프입니다.

구조 강성과의 관련성

이 절은 강성 매트로이드와 같은 구조(공역) 강성 이론의 개념과 평탄성을 관련짓는다. $l_{p}^{p}$ 결과는 l $l_{p}^{p}$ $l_{p}^{p}$ { $display$ style l $_$ { $p$ } { $p$ $\Phi _{n,l_{p}}$ 、 l p \ $displaystyle$ \ $Phi$ _ { $n$ , l $_$ { $p$ } $\Phi _{n,l_{p}}$ 、 $\Phi _{n,l_{p}}$ , $l_{p}^{p}$ $\ display style$ l $_$ { $p$ }^{ $p$ } $n$ that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that이 세트가 원뿔이라는 증거는 ^[12]에서 찾을 수 있습니다. $이$ 원뿔 $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ n, $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ $l$ p d \ $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ \ $Phi$ _ { $n,l_{p}^{d}$ 의 $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ d \ displaystyle d $}$ - stratum $d$ 은d \ $displaystyle$ d} - $d$ 에서의 $d$ $n$ \ $displaystyle$ n } 점의 $n$ $n$ 으로 실현 가능한 벡터입니다. $그래프$ G의 $G$ $\Phi _{n,l_{p}}$ 에 $\Phi _{n,l_{p}}$ 된 $\Phi _{n,l_{p}}$ , l $\p$ \ $Phi _{n$ , $l_{$ p} $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ $\$ _ ${n,l_{p}^{d}}$ 는 $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ 거리 벡터가 실현되는 $l_{p}^{p}$ { $displaystyle l_{p}^{p}}}}$ 의 $l_{p}^{p}$ $l_{p}^{p}$ 이다. $displaystyle$ G $G$ 를 $선택$ 합니다.

$그래프 G$ 의 일반 속성은 거리 제약 시스템의 거의 모든 프레임워크(그래프가 $(\displaystyle$ G $G$ 가 가지고 $G$ 있는 속성입니다. $l_{p}$ p $l_{p}$ \ $displaystyle l_{p}$ - norm $l_{p}$ 아래의 DCS $(G,\delta )$ ( $(G,\delta )$ , $(G,\delta )$ ) $(G,\delta )$ \ $displaystyle$ ( $G$ , \ $delta$ )의 $(G,\delta )$ 프레임워크는 다음 두 조건이 충족될 경우 일반적인 프레임워크(d\ $displaystyle$ d} - flatternability에 $d$ $대하여$ )입니다.

원뿔 $\Phi _{n,l_{p}}$ 에는 $\delta$ \ $displaystyle \delta$ 의 $\delta$ $\delta$ 네이버 $\Omega$ (\ $displaystyle \Omega$ $)$ 가 $\Omega$ 있습니다. $\Phi _{n,l_{p}}$ \ $Phi$ _ ${n,l_{p$ 가 있습니다.
$d$ 는 $Ⅱ$ 의 모든 $\Omega$ 프레임워크가 $\displaystyle$ d $\$ $Omega$ 인 경우에만 d $\displaystyle$ d-flatterable입니다 $d$ $d$ .

조건 (1)은 $\displaystyle\Omega}$ 가 $\Omega$ 풀랭크가 되는 것을 보증합니다.즉, $\Omega$ \ $displaystyle \Omega }$ 는 $\Omega$ $K_{n}$ $l_{p}$ p \ $displaystyle l_{p}$ $l_{p}$ 에서 $l_{p}$ 완전한 $K_{n}$ 평탄화 치수와 동일한 치수를 가진다. $l_{p}$ p $\$ - norms의 $l_{p}$ $l_{p}$ 프레임워크에 대한 자세한 내용은 를 참조하십시오.다음과 같은 결과를 ^[2]얻을 수 있습니다.

정리.[2]는 그래프 G{G\displaystyle}d{\displaystyle d}-flattenable 만일 G의 모든 제네릭 프레임워크{G\displaystyle}d{\displaystyle d}-flattenable이다.

정리.그래프의 나는 2{\displaystyle l_{2}}-norm도[2]d{\displaystyle d}-flattenability 있지 않는 제네릭 속성.

정리.만일 G{G\displaystyle} 제네릭 d{\displaystyle d}-dimensional 강성 matroid에 독립적이다[2] 그래프 G{G\displaystyle}의 제네릭 d{\displaystyle d}-flattenable 체계 존재한다.

Corollary.[2]는 그래프 G{G\displaystyle}{\displaystyle d}-flattenable 경우에만 G{G\displaystyle}은 d에-dimensional 강성 matroid{\displaystyle d}에 독립적인 d 있다.

정리.일반적인 나는 p{\displaystyle l_{p}}-norms 들어[2], 그래프 G{G\displaystyle} 있다.

제네릭 d{\displaystyle d}-dimensional의 경직성에서matroid고 G{G\displaystyle}의 가장자리에 오직 d의 돌출부{\displaystyle d}-stratumΦ, 나는 pd{\displaystyle \Phi_{n,l_{p}}^{d}}치수 G{G\displaystyle}의 모서리의 수와 같고, 독립.
$\$ $displaystyle$ d $}$ -stratum $d$ $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ \ $Displaystyle \Phi$ _ ${n,l_{p}^{d}$ 를 $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ G \ $displaystyle$ 의 $G$ 가장자리에 투영하는 경우에만 일반 d $\$ $displaystyle$ d} -차원 $d$ 강성 매트로이드에 최대 독립적이며, 이 치수는 G의 가장자리에 같다. $G$ $\$ $displaystyle$ G $G$ \ ;
d{\ $displaystyle$ d $}$ -stratum $d$ $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ $d$ \ $Phi _{n,l_{p}^{d}$ 를 $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ G {\ $displaystyle$ G $}$ 의 $G$ 가장자리에 투영하는 경우에만 d {\ $displaystyle$ d $}$ $d$ 로 $d$ 강성.
$일반$ $d$ {\ $displaystyle$ d $}$ -stratum $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ if n , $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ p $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ \ $displaystyle$ \ $Phi$ _ { $n$ , $l$ _ { $p$ }^{ $d}$ 의 $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ 투사 치수가 G{ \ $displaystyle$ G $}$ 의 $G$ 최소 치수보다 완전히 작을 경우에만 일반 d {\ $displaystyle$ d $}$ -차원 $d$ $d$ 강성 매트로이드에서 독립적이지 않다. $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ p $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ \ $Phi$ _ ${n,l_{p}^{d}}$ 및 $\Phi _{n,l_{p}}^{d}$ G\ $displaystyle$ G의 $가장자리$ 수.

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