그로텐디크 우주

수학에서 그로텐디크 우주(Grothendieck universe)는 다음과 같은 성질을 가진 집합 U이다.

1. x가 U의 원소이고 y가 x의 원소라면 y도 U의 원소(U는 transitive set)이다.
2. x와 y가 모두 U의 요소인 경우$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle x}$ , y${\displaystyle }$} ${\displaystyle$\{$x,y\}}$은(는) U의 요소다.
3. x가 U의 요소라면 x의 파워셋인 P(x)도 U의 요소다.
4. If ${\displaystyle \{x_{\alpha }\}_{\alpha \in I}}$ is a family of elements of U, and if I is an element of U, then the union ${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}x_{\alpha }}$ is an element of U.

그로텐디크 우주는 모든 수학이 수행될 수 있는 세트를 제공하기 위한 것이다.(사실 헤아릴 수 없는 그로텐디크 우주들은 자연 ∈-관계, 자연 파워셋 조작 등으로 세트 이론의 모델을 제공한다.)그로텐디크 우주의 원소들은 때때로 작은 집합이라고 불린다.우주에 대한 생각은 알렉산더 그로텐디크(Alexander Grotendieck)가 대수 기하학에서 적절한 클래스를 피하는 방법으로 이용했기 때문이다.

비경쟁적인 그로텐디크 우주의 존재는 제르멜로-프란켈 집합 이론의 일반적인 공리를 넘어선다. 특히 그것은 접근하기 어려운 추기경의 존재를 암시할 것이다.타르스키-그로텐디크 집합 이론은 집합 이론의 자명한 처리로, 모든 집합이 그로텐디크 우주에 속하는 일부 자동 증명 시스템에서 사용된다.그로텐디크 우주의 개념은 토포에서도 정의될 수 있다.^[1]

특성.

예를 들어, 우리는 쉬운 제안을 증명할 것이다.

제안.$x$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U}$ 및 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ y$\subseteq x$인 경우 $y{\displaystyle }$ $\in$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle y\in U}.$

Proof$$. $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle }$( $x$) ${\displaystyle$ $y$$\subseteq$ x$\}.$ $P{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) X${\displaystyle }$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$ ${\$$displaystyle$ $p$$(x)\in$ $U$ $그래서$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystystyle$ y$\in U$

비슷하게 Grotendieck 우주 U가 다음을 포함하고 있다는 것을 증명하는 것은 쉽다.

• 모든 단골격은 그 원소들의 각 단골격과
• U의 요소에 의해 지수화된 U의 모든 요소 제품군의 모든 제품,
• U의 요소에 의해 지수화된 U의 모든 요소 패밀리의 모든 분리 결합,
• U의 요소에 의해 지수화된 U의 모든 요소 패밀리의 모든 교차점,
• U의 두 요소 사이의 모든 기능
• 추기경이 U의 한 요소인 U의 모든 하위 집합.

특히 U가 비어 있지 않으면 유한 하위 집합과 각 유한 카디널리티의 하위 집합을 모두 포함해야 한다는 마지막 공리에서 따르게 된다.또한 어떤 종류의 우주의 교차점이 우주라는 것을 정의로부터 즉시 증명할 수 있다.

그로텐디크 우주와 접근할 수 없는 추기경들

그로텐디크 우주에는 두 가지 간단한 예가 있다.

• 빈 세트, 그리고.
• 모든 유전적으로 유한한 세트는 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ ${\$을(를) 설정한다$.$

다른 예들은 구성하기가 더 어렵다.느슨하게 말하면 그로텐디크 우주들은 접근하기 어려운 추기경들과 동등하기 때문이다.보다 형식적으로, 다음의 두 공리는 등가한다.

(U) 각 세트 x에 대해, x ∈ U와 같은 Grotendieck 우주 U가 존재한다.

(다) 각 추기경 κ에 대해 κ보다 엄격히 큰 λ 추기경이 강하게 접근하기 어렵다.

이 사실을 증명하기 위해 c(U) 기능을 도입한다.정의:

${\displaystyle \mathbf {c}(U)=\supp_{x\in U} x }$

여기서 x는 x의 카디널리티를 의미한다.그리고 어떤 우주 U에 대해서도, c(U)는 0이거나 강하게 접근할 수 없다.0이 아니라고 가정하면, U의 어떤 요소의 동력 집합은 U의 요소이고 U의 모든 요소는 U의 서브셋이기 때문에 강력한 한계 추기경이다. 규칙적인 것을 보기 위해, c가_λ I에 의해 지수화된 추기경 집합이라고 가정해 보자. 여기서 I와 각 c의_λ 카디널리티가 c(U)보다 작다.그런 다음, c(U)의 정의에 의해 I와_λ 각 c는 U의 요소로 대체될 수 있다. U의 요소에 의해 지수화된 U의 요소들의 결합은 U의 요소이기 때문에, c의_λ 합은 U의 요소들의 카디널리티를 가지므로, 따라서 c(U)보다 작다.파운데이션 공리를 호출함으로써, 그 자체에 어떤 집합도 포함되어 있지 않다는 것을 c(U)가 U와 같다는 것을 보여줄 수 있다; 파운데이션 공리가 가정되지 않을 때, c(U)가 백반(예를 들어, 지수 α가 실수인 x 집합의_α 모든 유한 집합의 집합이 되는 것을 우리는 받아들일 수 있다, 그리고 각 α에 대해_α x = {x_α}의 집합의 모든 유한 집합의 집합의 집합의 집합의 집합이 될 수 있다.그러면 U는 연속체의 카디널리티를 가지지만, 모든 ${\displaystyle \mathrm{구성원}}$은 카디널리티가 유한하므로${\displaystyle }c{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 자세한 내용은 부르바키의 기사를 참조하라.)

쳉은 강하게 접근하기 어려운 추기경이 되게 하라.set S는 어떤 시퀀스 s_n ∈ ...에 대해 엄격하게 κ형이라고 말하시오. ∈ s₀, s_n < κ. (S 자체는 빈 순서에 해당한다.)그러면 모든 집합의 u 타입 κ의 세트 u(κ)는 카디널리티 κ의 그로텐디크 우주다.이 사실의 증거는 길기 때문에 자세한 것은 다시 참고문헌에 열거된 부르바키의 기사를 참조한다.

는 방대한 카디널은 공리(C)우주 공리(U)를 의미하는 것을 보여 주기 위해며, 각각의 n 위해 집합인데))x0자 선택)n+1)⋃)n{\displaystyle x_{n+1}=\bigcup x_{n}}노조의 요소 중 xn.y)⋃ nxn{\displaystyle \bigcup_{n}x_{n}}.(C)에 이르러선 강력한 접근 불가능한 카디널 κ 고스트 라이더다.ch 그 y < κ. u(κ)를 앞의 단락의 우주가 되게 하라.x는 엄밀히 말하면 κ형이기 때문에 x u u(κ)이다.우주 공리(U)가 큰 추기경 공리(C)를 함축한다는 것을 나타내려면 추기경을 선택하라. κ은 집합이므로 그로텐디크 우주 U의 요소다.U의 카디널리티는 접속이 불가능하고 κ보다 엄밀히 말하면 크다.

사실, 어떤 그로텐디크 우주도 어떤 κ에게는 u(κ)형이다.이것은 Grotendieck 우주와 매우 접근하기 어려운 추기경들 사이에 다른 형태의 동등성을 제공한다.

Grotendieck 우주 U의 경우 U는 0, ${\displaystyle {\aleph \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$또는 접근성이 매우 높은 추기경이다.그리고 κ이 0, ${\displaystyle {\aleph \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ 또는 강하게 접근하기 어려운 추기경이라면 그로텐디크 우주 ${\displaystyle u(}$ ))가 있다. ${\displaystyle u(\kappa$ $)\}.$ 더 나아가 u(우) = U, u) = u.

강하게 접근하기 어려운 추기경의 존재는 제르멜로-프라엔켈 집합론($ZFC$)의 공리에서 증명할 수 없기 때문에 빈 집합과 $V{\displaystyle {}_{}}$ $Ω$ 이외의 우주의 존재는 $ZFC$에서도 증명할 수 없다$$$.$그러나 접근성이 강한 추기경들은 대형 추기경 명단의 맨 아래쪽에 있기 때문에 대형 추기경(예: "ZFC + 측정 가능한 추기경", "ZFC + 무한히 많은 우딘 추기경")을 사용하는 대부분의 정해진 이론은 그로텐디크 우주가 존재한다는 것을 증명할 것이다.

참고 항목

• 구성 가능한 우주
• 우주(수학)
• 폰 노이만 우주

메모들

참조

• Bourbaki, Nicolas (1972). "Univers". In Michael Artin; Alexandre Grothendieck; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – vol. 1 (Lecture Notes in Mathematics 269) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag. pp. 185–217.