타르스키-그로텐디크 집합론

타르스키 그로텐디크 집합론(TG, 수학자 알프레드 타르스키와 알렉산더 그로텐디크의 이름을 따서 명명됨)은 공리적 집합론입니다. 이것은 Zermelo-Frankel 집합론(ZFC)의 비보존적 확장이며, 각 집합에 대하여 그것이 속한 그로텐디크 우주가 있다는 타르스키의 공리를 포함함으로써 다른 공리적 집합론들과 구별됩니다(아래 참조). 타르스키의 공리는 접근할 수 없는 추기경들의 존재를 의미하며, ZFC보다 더 풍부한 존재론을 제공합니다. 예를 들어, 이 공리를 추가하는 것은 범주 이론을 뒷받침합니다.

미자르 체계와 메타마스는 증명의 공식적인 검증을 위해 타르스키-그로텐디크 집합론을 사용합니다.

공리

타르스키-그로텐디크 집합론은 기존의 저멜로-프란켈 집합론에서 출발하여 "타르스키의 공리"를 추가합니다. 우리는 미자르의 공리, 정의, 표기법을 사용하여 그것을 기술할 것입니다. 미자르의 기본적인 대상과 과정은 완전히 형식적이며, 아래에 비공식적으로 기술되어 있습니다. 먼저 다음과 같이 가정해 보겠습니다.

• 임의의 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$가 주어지면$,$ 싱글톤${\displaystyle }${${\displaystyle A\}}$ ${\displaystyle \{A\}$가 존재합니다$$.
• 임의의 두 집합이 주어졌을 때, 그들의 순서 없는 쌍과 순서 없는 쌍이 존재합니다.
• 임의의 집합들이 주어지면, 그 집합의 합은 존재합니다.

TG는 다음과 같은 공리를 포함하며, 이는 ZFC의 일부이기 때문에 일반적입니다.

• 공리 설정: 정량화된 변수는 세트에만 걸쳐 있습니다. 모든 것이 세트(ZFC와 동일한 온톨로지)입니다.
• 확장성의 공리: 같은 멤버라면 두 세트가 동일합니다.
• 규칙성의 공리: 어떤 세트도 그 자체의 멤버가 아니며, 멤버쉽의 순환 체인은 불가능합니다.
• Axiom schema of replacement: Let the domain of the class function ${\displaystyle F}$ be the set ${\displaystyle A}$. Then the range of ${\displaystyle F}$ (the values of ${\displaystyle F(x)}$ for all members ${\displaystyle x}$ of ${\displaystyle A}$) is also a set.

TG를 다른 공리 집합론과 구별하는 것이 타르스키의 공리입니다. 또한 타르스키의 공리는 무한, 선택,^[1][2] 그리고 멱집합의 공리를 내포하고 있습니다.^[3][4] 그것은 또한 접근할 수 없는 카디널의 존재를 의미하며, 그 덕분에 TG의 온톨로지는 ZFC와 같은 기존 세트 이론보다 훨씬 풍부합니다.

• 타르스키의 공리 (타르스키 1939에서^[5] 채택). 모든 집합 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$\}$에 대해 구성원이$$ 다음과 같은 $집합{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$가 있습니다.

- $x {\displaystyle$ x$}$ 자체$$;

- ${\displaystyle}$의 모든 구성원의 모든 요소$;$

- $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 모든 구성원의 모든 부분집합$;$

- ${\displaystyle}$의 모든 멤버의 전력 집합$;$

- $기수$가 y$${\$displaystyle$}보다 $작은$y ${\displaystyley}$의 모든 부분 집합입니다$.$

좀 더 공식적으로:

${\displaystyle \forall x\exist y[x\in y\land \forall z\in y(z\subseteq y\land {\mathcal {P}}(z)\subseteq y\land {\mathcal {P}(z)\in y)\land \forall z\in {\mathcal {P}(y)(\n)eg (z\approx y)\to z\in y)]}$

여기서 "${\displaystyle P}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$"는 x의 멱급수를 나타내고 "$$≈ {\$displaystyle$approx}"는 등각도를 나타냅니다. 타르스키의 공리는 (언어학에서) 각 집합 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$에 대하여 그것이 속한 그로텐디크 우주가$$ 존재한다는 것입니다.

$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $y$$}$는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$의 "범용 집합"과 매우 유사합니다$$.$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 전원 집합과$$$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 모든 하위 집합을 멤버로 가지고 있을 뿐만 아니라$,$ 또한 파워셋 등의 파워셋을 가지고 있습니다. 파워셋을 취하거나 서브셋을 취하거나 하는 작업 하에서 멤버들이 닫힙니다. 물론 자신의 구성원이 아니며 모든 집합의 집합이 아니라는 점을 제외하고는 "보편적인 집합"과 같습니다. 그것은 그것이 속한 그로텐디크 우주가 보장된 것입니다. 그리고 이러한 ${\displaystyle}$은 그 자체로 훨씬$$ 더 큰 "거의 보편적인 집합"의 멤버입니다. 이것은 일반적으로 존재한다고 가정하는 것보다 훨씬 더 많은 집합을 보장하는 강력한 기수법 중 하나입니다.

미자르 시스템에서의 구현

TG 구현의 기초가 되고 논리적 구문을 제공하는 Mizar 언어가 입력되고 유형이 비어 있지 않은 것으로 가정됩니다. 따라서 이론은 암묵적으로 비어 있지 않은 것으로 간주됩니다. 존재 공리, 예를 들어 순서 없는 쌍의 존재는 용어 구성자의 정의에 의해 간접적으로 구현되기도 합니다.

시스템에는 equality, membership 술어 및 다음 표준 정의가 포함됩니다.

• 싱글톤: 한 명의 멤버가 있는 세트;
• 순서 없는 쌍: 두 명의 뚜렷한 멤버가 있는 세트입니다. ${\displaystyle \{}{\displaystyle a,}$b}${\displaystyle }$= {b$,$ a} {\displaystyle \{a,${\displaystyle b}$\} =\{b,a\}};
• 순서쌍: $집합$ b${\displaystyle \},}${${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \}}$=${\displaystyle }$($,$ $b)$ ≠ (b, a) {\displaystyle \{\{a, b\},\{a\}\}= (a, b)\n$eq (b,a$
• 부분 집합: 모든 구성원이 다른 주어진 집합의 구성원인 집합;
• 집합 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $Y$$}$의 결합$$: Y ${\displaystyle$ Y$}$의 임의의 멤버 전체의 집합$.$

메타마스에서의 구현

메타마스 시스템은 임의의 고차 논리를 지원하지만 일반적으로 공리의 "set.mm " 정의와 함께 사용됩니다. 축 성장 공리는 타르스키의 공리를 추가한 것으로 메타마스에서는 다음과 같이 정의됩니다.

⊢ ∃y(x ∈ y ∧ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ∧ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w)) ∧ ∀z(z ⊆ y → (z ≈ y ∨ z ∈ y)))

참고 항목

• 크기 제한의 공리

메모들

참고문헌

• Andreas Blass, I.M. Dimitriou, Benedikt Löwe (2007) "선택의 공리 없이는 접근할 수 없는 추기경들", Fundamatica Mathematica 194: 179-89.
• Bourbaki, Nicolas (1972). "Univers". In Michael Artin; Alexandre Grothendieck; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963-64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – vol. 1 (Lecture Notes in Mathematics 269) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag. pp. 185–217. Archived from the original on 2003-08-26.
• Patrick Supes (1960) Axiomatic Set Theory. 반 노스트랜드. 1972년 도버 전재.
• Tarski, Alfred (1938). "Über unerreichbare Kardinalzahlen" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 30: 68–89. doi:10.4064/fm-30-1-68-89.
• Tarski, Alfred (1939). "On the well-ordered subsets of any set" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 32: 176–183. doi:10.4064/fm-32-1-176-783.

외부 링크

• Trybulec, Andrzej, 1989, "타르스키-그로텐디크 집합론", 공식화된 수학 저널.
• 메타마스: "프로프루프 익스플로러 홈 페이지" "그로텐디크의 공리"로 스크롤합니다.
• 플래닛매스: "타르스키의 공리"