유전 유한 집합

수학이나 집합 이론에서 유전적으로 유한한 집합은 모든 원소가 유전적으로 유한한 집합인 유한 집합으로 정의된다. 즉 세트 자체가 유한하고, 그 원소 모두가 유한한 세트로서, 빈 세트까지 재귀적으로 내려가는 것이다.

형식 정의

근거가 충분한 유전적 유한 집합의 재귀적 정의는 다음과 같다.

기준 사례: 빈 집합은 유전적으로 유한한 집합이다.

재귀 규칙: a₁,...a가_k 유전적으로 유한하면 {a₁,...,a_k}도 유전적으로 유한하다.

The set ${\displaystyle \{\{\},\{\{\{\}\}\}\}}$ is an example for such a hereditarily finite set and so is the empty set ${\displaystyle \emptyset =\{\}}$. On the other hand, the sets ${\displaystyle \{7,{\mathbb {N} },\pi \}}$ or ${\displaystyle \{3,\{{\mathb$$b {N} }\}\}}}$은(는) 유전적으로 유한하지 않은 유한 집합의 예다$$. 예를 들어, 첫 번째는 최소한 하나의 무한 세트를 원소로 포함하고 있기 때문에 유전적으로 유한할 수 없다.${\displaystyle }N{\displaystyle \mathbb{}}$= { ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots \}}${\$displaystyle${\\$mathb {N} }=\{0,1,2,\dots$

토론

유전적으로 유한한 집합의 등급에 대한 기호는 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\aleph {\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$이며$,$ 각 구성원의 카디널리티가 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$보다 작다는 것을 나타낸다$.$ $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\aleph {\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$이 집합이고$$ 카디널리티에 대한 진술은 맥락에서 이론에 따라 달라진다.

아커만 편향

$클래스{\displaystyle {}_{}}$ H ${\displaystyle {\aleph {\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$을(를) 셀 수 있다$$. Ackermann(1937년)은 자연수로부터 다음과 같은 자연적 바이어스 $f$를 H ${\displaystyle {{\aleph \mathrm{}}_{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle$H_{\$aleph_{0$}}에 주었는데$,$ Ackermann coding으로 알려져 있다. 에 의해 재귀적으로 정의된다.

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle a^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle b^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$a )${\displaystyle }$, f${\displaystyle }$( ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \dots \}}$ ${\displaystyle f (2^{a}+2$^{$b}+\cdots )=\{f(a),f($b$),\ldots$\}}(...)가 구별되는 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$.

예시

${\displaystyle f(5)=f(4+1)=f(2^{2}+2^{0})=\{f(2),f(0)\}=\{f(2^{1}),\{\}\}=\{\{f(1)\},\{\}\}=\{\{f(2^{0})\},\{\}\}=\{\{\{f(0)\}\},\{\}\}=\{\{\{\{\}\}\},\{\}\}}$

n의 m번째 이진수 자릿수(0부터 시작하는 오른쪽부터 계산)가 1인 경우에만 f(m) f f(n)가 있다.

표현

이 세트의 등급은 당연히 세트를 나타내기 위해 필요한 브래킷 쌍의 수에 따라 순위가 매겨진다.

• ${\displaystyle \{\}}$ ${\displaystyle \{\}}($예:${\displaystyle \mathrm{}}$∅ ${\displaystyle \emptyset$ $\},$ Neumann 서수 "0"),
• ${\displaystyle \{}${ { ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{\}\}\}\}}($예$:{\displaystyle }$ { ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$} ${\displaystyle \}$ 또는$$${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle \{0$ Neumannal "1"),
• ${\displaystyle \{}${${\displaystyle }${ ${\displaystyle \{\}\}}$ ${\displaystyle$ $\backslash \{\backslash \backslash \{\backslash \}\backslash \}\backslash \}\backslash \}\}\}\},$
• ${\displaystyle \{\{\{\{\}\}\}\}}$ and then also ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\}\}}$ (i.e. ${\displaystyle \{0,1\}}$, the Neumann ordinal "2"),
• ${\displaystyle \{\{\{\{\{\}\}\}\}\}}$, ${\displaystyle \{\{\{\},\{\{\}\}\}\}}$ as well as ${\displaystyle \{\{\},\{\{\{\}\}\}\}}$,
• ... 세트에는 $6개$의 ${\$$displaystyle$ $6}$괄호$$ 쌍이 표시된다$.$ 예:${\displaystyle }${${\displaystyle }${ {${\displaystyle }${ {${\displaystyle }${ ${\\{\\\{\\\}\}\}}},$
• ... 세트에는 $7개$의 ${\$$displaystyle$ $7}$괄호$$ 쌍이 표시된다$.$ 예:${\displaystyle }${${\displaystyle }${${\displaystyle }${ {${\displaystyle }${ {${\displaystyle }${ ${\\\{\\\{\\\{\\\}\}\}\}\}}}},$
• ... sets represented with ${\displaystyle 8}$ bracket pairs, e.g. ${\displaystyle \{\{\{\{\{\{\{\{\}\}\}\}\}\}\}\}}$ or ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}}$ (i.e. ${\displaystyle \{0,1,2\}}$, the Neumann ordinal "3")
• … 등

In this way, the number of sets with ${\displaystyle n}$ bracket pairs is^[1] ${\displaystyle 1,1,1,2,3,6,12,25,52,113,247,548,1226,2770,6299,14426,\dots }$

공리화

유한집합 이론

집합 $∅{\displaystyle \emptyset }$ 또한$$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$을 나타내는 첫 번째 폰 노이만 서수수를 나타낸다$.$ 그리고 실제로 모든 유한한 폰 노이만 서수들은 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{\aleph \mathrm{}}_{}}_{}}$ 0 ${\$에 있으므로$$, 자연수를 나타내는 집합 종류, 즉, 표준 모드에 각 요소를 포함한다.자연수의 l 로빈슨 산술은 이미 확장성, 빈 세트, 부가제 등에서 공리가 주어진$$ $Z{\displaystyle {}^{}}$- ${\$ Z$^-}$의 아주 작은 하위 이론인 ST에서 해석될 수 있다.

실제로 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\aleph {\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$에는 이러한 공리와 예와 관련된 건설적인 공리화가 있다$$. 유도 및 교체를 설정하십시오.

그들의 모델은 또한 무한의 공리 없이 제르멜로-프라엔켈 집합 이론의 공리로 구성된 공리들을 충족시킨다. 이 맥락에서 무한의 공리의 부정은 추가될 수 있기 때문에 무한의 공리가 세트 이론의 다른 공리의 결과가 아님을 증명한다.

ZF

유전적으로 유한한 집합은 폰 노이만 우주의 하위계급이다. 여기에서 근거가 충분한 모든 유전적 유한 집합의 등급은 V로_ω 표시된다. 이 또한 이 컨텍스트의 집합이라는 점에 유의하십시오.

만일 우리가 S의 전원 집합과 V에₀ 의해 빈 집합을 나타낸다면, V₁ = ℘(V₀), V = ℘(V₂₁), ..., V_k = ℘(V_k−1), 등등으로 설정하여_ω V를 얻을 수 있다.

따라서 V는_ω $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\Omega }}{}_{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ k${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\$0}^{\$inful }V_${k$}}}}}$로 표현할 수 있다$.$

우리는, 다시 한번, 유전적으로 유한한 집합만이 있다는 것을 안다: V는_n 유한한 n에 대해 유한하며, 그 카디널리티는 2(정렬 참조)이며, 카운트할 수 있는 많은 유한 집합의 결합은 카운트할 수 있다.

동등하게, 한 세트는 그것의 전이적 폐쇄가 유한한 경우에만 유전적으로 유한하다.

그래프 모형

$등급{\displaystyle {}_{}}$ H ${\displaystyle {\aleph {\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$은 뿌리깊은 나무의 종류, 즉 비종교 대칭이 없는 나무(즉, 유일한 자동화만이 정체성)와 정확히 일치한다고 볼 수 있다$$. 루트 꼭지점은 최상위 브래킷 {${\displaystyle }$…${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{\dots \}}$에 해당하며$$, 각 가장자리는 자체에서 루트 꼭지점 역할을 할 수 있는 요소(다른 세트)로 이어진다. $이{\displaystyle }$ 그래프의 자동형성은 존재하지 않으며, 이는 동일한 분지가 식별된다는 사실에 해당된다($$예$:{\displaystyle }$ { ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle s\}}$= { ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \}}${\$displaystyle$\{$t,t,s$$\}=\{t,s$$\backslash \}\}\}\}).$ 이 그래프 모델은 데이터 유형으로서 무한대 없이 ZF의 구현을 가능하게 하며, 따라서 표현형 이론에서 세트이론의 해석을 가능하게 한다.

Graph 모델은 ZF를 위해 존재하며, 또한 근거가 없는 이론과 같이 Zermelo set 이론과는 다른 이론을 설정하기도 한다. 그러한 모델들은 더 복잡한 가장자리 구조를 가지고 있다.

그래프 이론에서 정점이 유전적으로 유한한 집합에 해당하고 가장자리가 설정된 멤버쉽에 해당하는 그래프는 Rado 그래프 또는 랜덤 그래프다.

참고 항목

• 세습 세트
• 유전계산가능세트
• 세습 재산
• 뿌리나무
• 건설적 집합론
• 유한 집합

참조

• Ackermann, Wilhelm (1937), "Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre", Mathematische Annalen, 114 (1): 305–315, doi:10.1007/BF01594179, S2CID 120576556