구더만 함수

크리스토프 구더만(1798–1852)의 이름을 딴 구더만 함수는 복잡한 숫자를 명시적으로 사용하지 않고 원형 함수와 쌍곡선 함수를 연관시킨다.

모든^[1][2][3] x에 대해 정의됨:

${\dd} x=\int _{0}^{x}\ntname {sech} t\,dt.}$

${\displaystyle {\mathrm{Gudermann}}^{}}$ 함수 gd${\displaystyle {}^{}}$- 1$$ x {\$displaystyle \operatorname {gd} ^-1}x$의 역행은 Lambertian 함수와 ${\displaystyle \mathrm{Lam}}$ ${\displaystyle }$ x ${\displaystyle \operatorname {lam} x}$로 알려져 있다$.$^[4]

특성.

대체 정의

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} x&=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan(\sinh x)=\operatorname {arccsc} (\coth x)\\&=\operatorname {sgn} (x)\arccos \left(\operatorname {sech} x\right)=\operatorname {sgn} (x)\operatorname {arcsec} (\cosh x)\\&=2\arctan \left[\tanh \left({\tfrac {1}{2}}x\right)\right]\\&, =2\arctan(e^{x})-{\tfrac{1}{2}}\pi=-i\ln \left(\operatorname{sech}x+i\tanhx\right)\\&, =-{\frac{나는}{2}}\left({\frac{1+i\sinh)}{1-i\sinh)}}\right)=-i\ln \left({\frac{1+i\sinh)}{\cosh x}}\right)\\& \ln, =-i\ln \left({\frac{1+i\tanh{\frac{x}{2}}}{1-i\tanh{\frac{x}{2}}}}\right)=-i\ln \left(i\tanh{\left({\frac{)}{2}}-{\frac{i.\pi}{4}}\right)}\오른쪽).\end{정렬}}}$

어떤 정체성

${\displaystyle{\begin{정렬}(\operatorname{gd}))=\tanh x;\quad&\csc(\operatorname{gd}))=\coth. \\\cos(\operatorname{gd}))=\operatorname{hyperbolic}x;\quad&\sec(\operatorname{gd}))=\cosh x;\\\tan(\operatorname{gd}))=\sinh x;\quad&\cot(\operatorname{gd}))=\operatorname{csch}x;\\\tan \left(}{\tfrac{1}{2}\operatorname. {gd}x\right)=\tanh \왼쪽 \tfrac {1}{2}}x\오른쪽).\end{정렬}}}$

반비례

${\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{gd}^{)}x&,=\int _{0}^{)}\sect\,dt\qquad -\pi /2<, x<, \pi [8pt]&, =\ln \left{\frac{1+\sin)}{\cos)}}\right ={\frac{1}{2}}\ln \left{\frac{1+\sin)}{1-\sin)}}\right=\ln \left{\frac{1+\tan{\frac{)}{2}}}{1-\tan{\frac{)}{2}}}}\right \\[8pt]&, =\ln\left \tan x+\secx\right =\ln. \left \tan \left({\frac{x}{2}}+{\frac {}{4}}\pi }{4}\오른쪽)\오른쪽 \\[8pt]&=\nfsigname {arsinh}(\sin x)=\nfrsinh}(\tan x)\&=2\tanh}\왼쪽(\tan}{x}2}}\오른쪽)\)\\&=\csc x)=\cschname {arcsch}(\csc x)\\\&=\sgnname {sgn}(x)\sec x)=\sgn}(x)\secname {sgn}\secname {arsech}(\cos x)\&=-i\i\nd(ix)\ed}}}}$

어떤 정체성

${\displaystyle{\begin{정렬}(\operatorname{gd}^{-1}))=\tan x;\quad&\operatorname{csch}(\operatorname{gd}^{-1}))=\cot x;\\\cosh(\operatorname{gd}^{-1}))=\sec x;\quad&\operatorname{hyperbolic}(\operatorname{gd}^{-1}))=\cos. \\\tanh(\operatorname{gd}^{-1}))=\sin x;\quad&\coth(\operatorname{gd}^{-1}))=\csc x.\end{동맹을 맺는다.교육}}}$

파생상품

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\propertname {gd}x=\chname {sech}x;\frac {d}{dx}\;\propertname {gd}^{-1}x=\sec x.}$

역사

이 기능은 1760년대에 요한 하인리히 램버트가 쌍곡 기능과 동시에 도입하였다. 그는 그것을 "트랜스켄드 앵글"이라고 불렀고, 1862년 아서 케이리가 1830년대 구더만(Gudermann)의 특수함수 이론에 대한 저작에 대한 공물로 현재의 이름을 주자고 제안할 때까지 다양한 이름으로 통했다.^[5] Gudermann had published articles in Crelle's Journal that were collected in Theorie der potenzial- oder cyklisch-hyperbolischen Functionen (1833), a book which expounded sinh and cosh to a wide audience (under the guises of ${\displaystyle {\mathfrak {Sin}}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {Cos}}}$).

표기 gd는 Cayley에^[6] 의해 소개되었고, 여기서 그는 gd를 부르면서 시작한다. u secant 함수의 적분의 역:

${\displaystyle u=\int_{0}^{\pi }\sec t\\dt=\ln \left(\tan \left\tfrac {1}{1}{1}{2}}\pi \오른쪽)}}}}$

그리고 나서 초월자의 "정의"를 도출한다.

${\displaystyle \propertiesname {gd} u=i^{-1}\ln \left(\tan \leftflac {1}{4}\pi +{\tfrac {1}{1}{2}}ui\오른쪽)}}}}$

즉시 그것이 u의 진정한 기능이라는 것을 관찰한다.

적용들

• 쌍곡 기하학에서 병렬 기능의 각도는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\tfrac {1}{1}:{2}}\pi -\piname {gd} x}$

• 메르카토르 투영에서 일정한 위도의 선은 적도와 평행하며(투영 위에) 위도의 역 구더만족에 비례하는 양으로 변위된다.
• 구더만어(복잡한 주장과 함께)는 횡단 메르카토르 투영의 정의에 사용될 수 있다.^[7]

• 구더만니안은 반전 진자의 비주기적 용액으로 나타난다.^[8]

• 구더만니아인은 역동적인 카시미르 효과의 움직이는 거울 용액에도 등장한다.^[9]

참고 항목

• 쌍곡선 세컨트 분포
• 세컨트 함수의 정수
• 역 쌍곡선 함수
• 메르카토르 투영법
• 접선 반각식
• 트랙트릭스
• 삼각측량정체성

참조