쌍곡선 세컨트 분포

쌍곡선 제분제

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	없는
지원	$(-\displaystyle x\in (-\in-\in)+\inflit )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}\;\sechname {sech} \!\좌측\frac {\pi }{2}}\,x\우측)\!}$
CDF	${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}}}\\왼쪽[\exp \exp \frac {\pi }{2}}\,x\right]\!}$
평균	${\displaystyle 0}$
중앙값	${\displaystyle 0}$
모드	${\displaystyle 0}$
분산	${\displaystyle 1}$
왜도	${\displaystyle 0}$
엑스트라 쿠르토시스	${\displaystyle 2}$
엔트로피	4/118 K${\displaystyle \mathrm{}\approx }$ 1${\displaystyle .16624}$ ${\displaystyle \;\약 1.16624}$
MGF	${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\$ t< $displaystyle$t$<{\frac$ {\$pi }{2}}\!}$
CF	${\displaystyle \mathrm{sech}}$ ${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\$ for$$ < $displaystyle$ t <{\$frac${}\$pi$}{$2}}\\!}$

확률 이론과 통계에서 쌍곡선 제분 분포는 확률 밀도 함수와 특성 함수가 쌍곡선 제분 함수에 비례하는 연속 확률 분포다.쌍곡선 세컨트 함수는 상호 쌍곡선 코사인(superbolic cosine)과 동일하므로 이 분포를 역코시 분포라고도 한다.null

분포의 일반화로 인해 자연 지수 가족 - 일반화된 쌍곡선 세컨트 또는 NEF-GHS 분포라고도 알려진 믹스너 분포가 발생한다.null

설명

확률밀도함수(pdf)가 위치 및 시프트 변환에 의해 다음과 같은 표준 형태의 밀도함수와 관련될 수 있는 경우 랜덤 변수는 쌍곡선 제분 분포를 따른다.

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1}:{2}}\;\sechname {sech}\!\\좌측\frac {\pi }{2}}\,x\오른쪽)\,},}$

여기서 "sech"는 쌍곡선 제분 함수를 의미한다.표준 분포의 누적 분포 함수(cdf)는 구더만 함수의 축척 및 이동 버전이다.

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{1}:{\frac {1}{\pi }}\!\좌측[\operatorname {sinh}\\\좌측({\frac {}{2}}\,x\오른쪽)\,}\,},}$

${\displaystyle ={\frac {2}{\pi \}}\arctan \!\왼쪽[\exp \frace\}{2}}\,x\right]\!}$

여기서 "Arctan"은 역(역) 접선 함수다.역 cdf(또는 퀀텀 함수)는

${\displaystyle F^{-1(p)=-{\frac {2}{\pi }\,\operatorname {arsinh} \!\\왼쪽[\cot(\pi \,p)\right]\,},}$

${\displaystyle ={\frac {2}{\pi }\}\ln \!\왼쪽[\tan \frac \}{2}}\,p\right]\!}$

여기서 "arsinh"는 역 쌍곡선 사인 함수, "csin"은 (contangent) cotangent 함수다.null

쌍곡선 제분포는 표준 정규 분포와 많은 속성을 공유한다. 즉, 단위 분산과 0 평균, 중위수 및 모드의 대칭이며, pdf는 특성 함수에 비례한다.그러나 쌍곡선 제분 분포는 렙토크루틱이다. 즉, 평균 부근에 더 급성 피크를 가지고 있고, 표준 정규 분포에 비해 더 무거운 꼬리를 가지고 있다.null

존슨 외 연구진(1995)은 ^{[1]: 147} 이 분포를 로지스틱 분포의 일반화된 형태의 클래스의 맥락에 배치하지만, 여기에서 그것과 비교하여 표준 분포의 다른 매개변수화를 사용한다.딩(2014년)^[2]은 통계 모델링 및 추론에서 쌍곡선 제분 분포의 세 가지 발생을 보여준다.null

일반화

콘볼루션

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$의 독립적이고 동일한 분산 쌍곡선 제분 변수의 (크기 조정) 합계를 고려할 때:

${\displaystyle X={\frac {1}{\\sqrt{r}\;(X_{1}+X_{2}+\;;...\+X_{r}}$

그런 다음 한계 $r{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle r\to \infit }$에서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 분포는 중심 한계 정리에 따라 정규 $분포{\displaystyle }$ N${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, $){\displaystyle N (0,1)}$을$($를) 경향이 있다$$.null

이를 통해 특성 함수를 통해 비정수 값으로 확장할 수 있는 형상 모수 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$에 의해 제어되는 쌍곡선 세컨트와 정규 분포 사이의 속성으로 편리한 분포 패밀리를 정의할 수 있다$.$

${\displaystyle \varphi(t)={\big(}\big) 이름 {sech}(t/{\sqrt{r}){\big )^{r}}}}}}}$

순간은 특성 함수를 통해 쉽게 계산할 수 있다.초과 첨도는 $2{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2/r}$인 것으로 확인됨$.$

스큐

분포의 치우친 형태는 지수 x ,< / ${\displaystyle e^{\theta x}, {\theta }}{\pi }/2}$를 곱하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle f(x)=\cos \theta \;{\frac {e^{\tea x}}{cosh}({\frac {\pi x}{2}})}}$

여기서 매개 변수 값 ${\displaystyle \mathrm{\theta }}$= 0 ${\displaystyle \theta =0}$은(는) 원래 분포에 해당한다$$.null

위치 및 척도

분포(및 그 일반화)도 해당 위치 축척 패밀리를 제공하기 위해 통상적인 방법으로 사소한 방식으로 이동 및 확장할 수 있다.

위 사항 모두.

위의 4가지 조정을 모두 허용하면, 가족을 처음 조사한 요제프 마이스너(Josef Mixner)의^[3] 뒤를 이어 믹스너(Meixner) 분포 또는 NEF-GHS 분포(Natural expective family - Generalized Hyperbolic Secant 분포)라고 불리는 각각 네 가지 매개변수로 분포를 얻을 수 있다.null

Lostv(1989)는 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$, {\$displaystyle h(-ax)+ exp(bx)},$ a, ${\displaystyle a,b}$을(를) 사용하는 비대칭(skeed)${\displaystyle 곡선\frac{\mathrm{}}{}}$ $h{\displaystyle \frac{(}{}}$x${\displaystyle \frac{}{}}$) = ${\displaystyle \frac{1}{}}$ exp ${\displaystyle \frac{(x}{}}$ ) + ${\displaystyle \frac{\exp }{}}$ $b)}}}}}}$을 독립적으로 연구했다$.$$a{\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a=b}$이(가) 세컨트이고, $h{\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}x}$ ) ${\displaystyle r^{}}${\$displaystyle$ h$(x)^{r}}}$이(가) 추가로 변경된 형태일 때 양수 또는 음수여야 한다.^[4]null

금융 수학에서 믹스너 분포는 옵션의 가격을 포함한 응용 프로그램과 함께 주식가격의 비 가우스 이동을 모형화하는 데 사용되어 왔다.null

참조

• Baten, W. D. (1934). "The probability law for the sum of n independent variables, each subject to the law ${\displaystyle (2h)^{-1}\operatorname {sech} (\pi x/2h)}$". Bulletin of the American Mathematical Society. 40 (4): 284–290. doi:10.1090/S0002-9904-1934-05852-X.
• Talacko, J. (1956). "Perks' distributions and their role in the theory of Wiener's stochastic variables". Trabajos de Estadistica. 7 (2): 159–174. doi:10.1007/BF03003994.
• Devroye, Luc (1986). Non-uniform random variate generation. New York: Springer-Verlag. Section IX.7.2.
• Smyth, G.K. (1994). "A note on modelling cross correlations: Hyperbolic secant regression" (PDF). Biometrika. 81 (2): 396–402. doi:10.1093/biomet/81.2.396.
• 마티아스 J.Fischer(2013), 일반화된 쌍곡 시차 분포: Springer, 재정 지원 애플리케이션 포함.ISBN 3642451381.구글 북스