제어 이론에서의 H-무한도법

H_∞(즉, "H-infinity") 방법은 제어 이론에서 제어기를 합성하여 보장된 성능으로 안정성을 달성하기 위해 사용됩니다.H 방법을 사용하기_∞ 위해 제어 설계자는 제어 문제를 수학적 최적화 문제로 표현하고 이 최적화를 해결하는 컨트롤러를 찾습니다.H∞ 기술들이 H∞ 기술에 고전적인 제어 기술이 우위를 쉽게 문제 채널 사이 cross-coupling과 함께 다변량 시스템과 관련된에 적용 가능하다;H∞ 기술의 단점 수학적 이해 성공적으로 그것들을 적용할 필요한 수준고 상당히 좋은 모델에 대한 필요성을 포함하고 있다. t통제해야 할 시스템입니다.결과 컨트롤러는 소정의 비용 함수에 관해서만 최적이며, 안착 시간, 소비 에너지 등의 컨트롤러 평가에 사용되는 통상적인 퍼포먼스 측정치에서는 반드시 최적의 컨트롤러를 나타내는 것은 아니라는 점에 유의하는 것이 중요합니다.또한 포화도와 같은 비선형 제약조건은 일반적으로 잘 처리되지 않습니다.이 방법들은 1970년대 후반에서 1980년대 초에 조지 제임스(감도 최소화),^[1] 윌리엄 헬튼(광대역 매칭),^[2] 앨런 타넨바움(이득 마진 최적화)^[3]에 의해 제어 이론에 도입되었다.

H_∞ 컨트롤이라는 용어는 최적화가 이루어지는 수학적 공간의 이름에서 유래합니다.H는_∞ 해석적이고 Re(s) > 0으로 정의된 복소 평면의 열린 오른쪽 절반에 경계가 있는 행렬 값 함수의 하디 공간이다. H 노름은_∞ 해당 공간에 걸친 함수의 최대 특이값이다.(이는 모든 방향 및 주파수에서 최대 이득으로 해석할 수 있습니다.SISO 시스템의 경우 이는 주파수 응답의 최대 크기입니다).H_∞ 기법을 사용하여 섭동의 폐쇄 루프 영향을 최소화할 수 있습니다. 문제 공식에 따라 영향은 안정화 또는 성능 측면에서 측정됩니다.

강력한 성능과 강력한 안정화를 동시에 최적화하는 것은 어렵습니다.이를 실현하기 위한 방법 중 하나는_∞ H 루프 쉐이핑입니다.이 방법은 제어 설계자가 다변수 주파수 응답에 고전적인 루프 쉐이핑 개념을 적용하여 양호한 견고한 성능을 얻을 수 있도록 한 후 시스템 대역폭에 가까운 응답을 최적화하여 양호한 견고한 안정화를 실현합니다.

H 컨트롤러 합성을 지원하는_∞ 상용 소프트웨어를 사용할 수 있습니다.

문제의 공식화

먼저 프로세스는 다음 표준 구성에 따라 표현되어야 합니다.

발전소 P에는 두 가지 입력, 즉 기준 신호와 장애를 포함하는 외부 입력 w와 조작 변수 u가 있다.최소화할 오류 신호 z와 시스템을 제어하는 데 사용하는 측정 변수 v의 두 가지 출력이 있습니다.v는 K에서 조작 변수 u를 계산하는 데 사용됩니다.P와 K는 행렬인 반면, 이 모든 것은 일반적으로 벡터입니다.

공식에서 시스템은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {bmatrix}z\v\end {bmatrix}=\mathbf {P}(s), {\begin {bmatrix}w\u\end {bmatrix}=sbegin {bmatrix}P_{11}&P_{12}(s)\P_{214(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix},{\begin{bmatrix}w\u\end{bmatrix}}$

${\displaystyle u=\mathbf {K}(s),v}$

따라서 w에 대한 z의 의존성을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$\displaystyle z=F_{\ell}(\mathbf {P},\mathbf {K}),w}$

하위 선형 분수 변환이라고 불리는 F ${\$ {\$displaystyle F_{\ell$}}이 정의됩니다(첨자는 하위에서 가져옵니다).

$\displaystyle F_{\ell}(\mathbf {P},\mathbf {K})=P_{11}+P_{12},\mathbf {K},(I-P_{22},\mathbf {K})^{-1,P_{21}$

따라서 H$${\({$displaystyle {H}}_{\infty}}$ ${\displaystyle {제어설계}_{}}$의 $목적$은 F $P$ $)$ {\$displaystyle F_{\ell}(\$displaystyle {$P},$ \$mathbf {K})$가 $최소$가 되도록 $컨트롤러{\displaystyle {}_{}}$ K$(\$를 찾는 것이다.$$ 규범$(\$_$$${2})$ 제어 설계에도 $동일$한 정의가 적용됩니다.전달 함수 $행렬{\displaystyle {}_{}}$ F${\displaystyle {}_{}\delta \mathbf{}}$ ( P${\displaystyle }$,${\displaystyle K\mathbf{}}$ ) {$displaystyle F_{\ell$}(\$mathbf {P}$ ,\$mathbf {K})$의 무한 노름은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle F_{\ell}(\mathbf {P},\mathbf {K})_{\infty}=\sup_{\obe}{\bar {\ell}(\mathbf {P},\mathbf {K})(j\obe)$

여기서 $\sigma {\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$ （ \ $displaystyle$\$sigma }$ ）는 행렬$$ F ${\displaystyle {}_{}}$ ( ${\displaystyle P\mathbf{}}$,${\displaystyle }$K ) ( ${\displaystyle j)}$){$displaystyle F_{\ell$} ( \ $mathbf${ $P }$ , \ $mathbf { K }$ $)$의 최대 단수값입니다.

클로즈드 루프 시스템의_∞ 달성 가능한 H 노름은 주로 매트릭스₁₁ D(시스템 P가 (A₁, B₂, B₁, C₂, C₁₁, D₁₂, D₂₂, D, D₂₁) 형식으로 주어지는 경우)를 통해 주어진다.H_∞ 컨트롤러에는 몇 가지 방법이 있습니다.

• 닫힌 루프의 Yulla-Kucera 파라미터화는 종종 매우 높은 차수의 컨트롤러로 이어집니다.
• Riccati 기반 접근법은 컨트롤러를 찾기 위해 2개의 Riccati 방정식을 해결하지만 몇 가지 간단한 가정이 필요합니다.
• 리카티 방정식의 최적화 기반 재구성은 선형 행렬 부등식을 사용하고 더 적은 가정을 필요로 한다.

「 」를 참조해 주세요.

• 하디 공간
• H제곱
• H-infinity 루프 쉐이핑
• 선형 4차 가우스 제어(LQG)
• 로젠브록계 행렬

레퍼런스

참고 문헌