조화 형태론

수학에서 고조파 형태론은 코도메인의 실제 가치 고조파 함수를 도메인의 고조파 함수로 되돌리는 리만 매니폴드들 사이의 $\phi :(M^{m},g)\to (N^{n},h)$ (스무스한) 지도 $\phi :(M^{m},g)\to (N^{n},h)$ : $\phi :(M^{m},g)\to (N^{n},h)$ $\phi :(M^{m},g)\to (N^{n},h)$ , $\phi :(M^{m},g)\to (N^{n},h)$ ) $\phi :(M^{m},g)\to (N^{n},h)$ → $($ , $\phi :(M^{m},g)\to (N^{n},h)$ ) $displaystyle \phi :(M^{m}g)\to (N^{n}h)$ 이다.고조파 형태는 특별한 종류의 고조파 지도, 즉 수평 (약하게) 순응하는 지도들을 형성한다.^[1]

$로컬$ 좌표에서 M $M$ 의 $x$ $M$ x $x$ 및 $N$ $N$ 의 $y$ $y$ ${\displaystyle y},$ $N$ $\phi$ $\phi$ 의 조화도는 비선형 시스템에 의해 표현된다 $\phi$ .

\tau (\phi )=\sum _{i,j=1}^{m}g^{ij}\left({\frac {\partial ^{2}\phi ^{\gamma }}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-\sum _{k=1}^{m}{\hat {\Gamma }}_{ij}^{k}{\frac {\partial \phi ^{\gamma }}{\partial x_{k}}}+\sum _{\alpha ,\beta =1}^{n}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }\circ \phi {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \phi^{\pi1}{\piece x_{j}}\right)=0,

where $\phi ^{\alpha }=y_{\alpha }\circ \phi$ and ${\hat {\Gamma }},\Gamma$ are the Christoffel symbols on $M$ and $N$ , respectively.수평적 순응성은 다음에 의해 주어진다.

\sum _{i,j=1}^{m}g^{ij}(x){\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x_{i}}}(x){\frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x_{j}}}(x)=\lambda ^{2}(x)h^{\alpha \beta }(\phi (x)),

여기서 등호 계수 $\lambda :M\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ : $\lambda :M\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ → R $\lambda :M\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ + ${\$ 스타일 $\lambda$ : $M\to \mathb {R} _{0}^{+}}}}$ 은 $\lambda :M\to {\mathbb R}_{0}^{+}$ 확장이라고 하는 연속 함수다.따라서 조화 형태론은 관련된 다지관의 기하학적 데이터에 의해 결정되는 부분 미분 방정식의 비선형 과결정 시스템에 대한 해결책이다.이 때문에 이들은 찾기 어렵고 국지적으로조차 일반적 존재이론도 없다.

복합분석

When the codomain of $\phi :(M,g)\to (N^{2},h)$ is a surface, the system of partial differential equations that we are dealing with, is invariant under conformal changes of the metric $h$ . This means that, at least for local studies, the codomain can be chosen to be the표준 평면 지표를 가진 복잡한 평면이 상황에서 $\phi =u+iv:(M,g)\to \mathbb {C}$ 값 함수 $\phi =u+iv:(M,g)\to \mathbb {C}$ = $\phi =u+iv:(M,g)\to \mathbb {C}$ + $\phi =u+iv:(M,g)\to \mathbb {C}$ v $\phi =u+iv:(M,g)\to \mathbb {C}$ : $\phi =u+iv:(M,g)\to \mathbb {C}$ ( $\phi =u+iv:(M,g)\to \mathbb {C}$ , $\phi =u+iv:(M,g)\to \mathbb {C}$ ) $\phi =u+iv:(M,g)\to \mathbb {C}$ → C ${\$ 은 다음과 같은 경우에만 고조파 형태다 $\phi =u+iv:(M,g)\to \mathbb {C}$ .

\Delta _{M}(\phi )=\Delta _{M}(u)+i\Delta _{M}(v)=0

그리고

\displaystyle g(\bla \phi ,\bla \pi )=\\\bla u\{2}-\bla v\{2}+2ig(\bla u,\b)=0.}

즉 $u,v:(M,g)\to \mathbb {R}$ 각 지점에서 직교하고 동일한 $u,v:(M,g)\to \mathbb {R}$ $\nabla u,\nabla v$ 인 $\nabla u,\nabla v$ $u,v:(M,g)\to \mathbb {R}$ $\nabla u,\nabla v$ : ( M , g ) → R {\ $displaystyle u,v:(M,g)\mathb {$ R}에서 $u,v:(M,g)\to {\mathbb R}$ $\$ $mathb$ { $R}$ 까지 $\nabla u,\nabla v$ 두 개의 실제 값 고조파 $u,v:(M,g)\to \mathbb {R}$ 를 찾는 것이다.This shows that complex-valued harmonic morphisms $\phi :(M,g)\to \mathbb {C}$ from Riemannian manifolds generalise holomorphic functions $f:(M,g,J)\to \mathbb {C}$ from Kähler manifolds and possess many of their highly interesting properties.따라서 조화 형태론은 복잡한 분석의 일반화로 볼 수 있다.^[1]

최소 표면

미분 기하학에서는 주어진 주변 공간의 최소 서브매니폴드를 구성하는 $(M,g)$ 데 관심이 $(M,g)$ , g ) $(M,g)$ 조화형 형태는 이러한 목적을 위한 유용한 도구다.This is due to the fact that every regular fibre $\phi ^{-1}(\{z_{0}\})$ of such a map $\phi :(M,g)\to (N^{2},h)$ with values in a surface is a minimal submanifold of the domain with codimension 2.^[1]이는 4차원 다지관 $(M^{4},g)$ $(M^{4},g)$ , $(M^{4},g)$ ) ${\디스플레이$ 스타일 $(M^{4},g)$ 에서 최소 표면의 전체 패밀리를 제조하는데 매력적인 방법을 제공하며 $(M^{4},g)$ 특히 Lie 그룹과 대칭 공간과 같은 균일한 공간을 제공한다.^{[citation needed]}

예

정체성과 상수지도는 조화형이다.
복합 평면의 홀로모르프 함수는 조화형 형태론이다.
복합 벡터 공간 $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ ${\$ 의 홀로모르픽 함수는 조화형 형태론이다 $\mathbb {C} ^{n}$ .
리만 표면에서 값을 갖는 케흘러 다지관의 홀로모르픽 지도는 조화형 형태다.
Hopf 맵 $\phi :S^{3}\to S^{2}$ : $\phi :S^{3}\to S^{2}$ 3 $\phi :S^{3}\to S^{2}$ → $\phi :S^{3}\to S^{2}$ 2 ${\$ : $S^{3}\to S^{2}},$ $\phi :S^{7}\to S^{4}$ : S $\phi :S^{7}\to S^{4}$ → S $\phi :S^{7}\to S^{4}$ ${\$ : $S^{7}\to S^{4}}$ 과 $\phi :S^{7}\to S^{4}$ ( $\phi :S^{15}\to S^{8}$ ) $\phi :S^{15}\to S^{8}$ : $\phi :S^{15}\to S^{8}$ $\phi :S^{15}\to S^{8}$ → S $\phi :S^{15}\to S^{8}$ ${\$ : $S^{15}\to$ S $^{8}$ 은 조화형 $\phi :S^{15}\to S^{8}$ 형태다.
콤팩트한 Lie 그룹 $K\subset H\subset G$ $K\subset H\subset G$ $K\subset H\subset G$ $K\subset H\subset G$ G $K\subset G$ 의 $K\subset H\subset G$ 경우 표준 리만니안 진동 $\phi :G/H\to G/K$ : G $\phi :G/H\to G/K$ / $\phi :G/H\to G/K$ → G / $\phi :G/H\to G/K$ / $\phi :G/H\to G/K$ ${\displaystyle \pi :G/H\to$ G/K $}$ 은 조화형 형태론이다 $\phi :G/H\to G/K$ .
최소한의 섬유를 가진 리만 잠수함은 조화형이다.