비선형 시스템

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게임 이론 죄수의 딜레마 합리적 선택 이론 한정적 합리성 진화 게임 이론
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수학과 과학에서 비선형 시스템은 출력의 변화가 ^[1][2]입력의 변화에 비례하지 않는 시스템입니다.비선형 문제는 ^[8]대부분의 시스템이 본질적으로 비선형적이기 때문에 엔지니어, 생물학자,^[3][4][5] 물리학자,^[6][7] 수학자 및 다른 많은 과학자들에게 관심이 있습니다.시간의 경과에 따른 변수의 변화를 설명하는 비선형 동적 시스템은 훨씬 단순한 선형 시스템과 대비되는 혼돈, 예측 불가능 또는 반직관적으로 보일 수 있습니다.

일반적으로 비선형 시스템의 동작은 수학에서 미지(또는 미분방정식의 경우 미지함수)가 1보다 높은 다항식의 변수로 나타나거나 po가 아닌 함수의 인수로 나타나는 일련의 연립 방정식에 의해 설명된다.1단계의 동명사.다시 말해, 비선형 방정식 체계에서 풀어야 할 방정식은 미지의 변수나 함수의 선형 조합으로 쓸 수 없다.시스템은 알려진 선형 함수가 방정식에 나타나는지 여부에 관계없이 비선형 함수로 정의할 수 있습니다.특히, 미분 방정식은 미지의 함수와 그 도함수 측면에서 선형일 경우, 그 안에 나타나는 다른 변수 측면에서 비선형일지라도 선형이다.

비선형 동적 방정식은 풀기 어렵기 때문에 비선형 시스템은 일반적으로 선형 방정식(선형화)으로 근사됩니다.이것은 입력값의 정확도와 범위까지 잘 작동하지만, 솔리톤, ^[9]카오스, 특이점 등 일부 흥미로운 현상은 선형화에 의해 숨겨집니다.따라서 비선형 시스템의 동적 거동의 일부 측면은 반직관적이고 예측 불가능하며 심지어 혼란스러운 것처럼 보일 수 있습니다.이러한 혼란스러운 행동은 무작위 행동과 유사할 수 있지만, 사실 무작위적인 행동은 아닙니다.예를 들어, 날씨의 일부 측면은 혼란스러운 것으로 보이며, 이 경우 시스템의 일부 부분의 단순한 변화가 전체적으로 복잡한 효과를 발생시킨다.이러한 비선형성은 현재 기술로는 정확한 장기 예측이 불가능한 이유 중 하나입니다.

일부 저자는 비선형 시스템의 연구에 비선형 과학이라는 용어를 사용합니다.이 용어는 다른 사람들에 의해 논란이 되고 있다.

비선형 과학 같은 용어를 사용하는 것은 동물학의 대부분을 비코끼리 동물에 대한 연구라고 부르는 것과 같다.

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정의.

수학에서 선형 지도${\displaystyle (}$또는 선형 함수) $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) {$displaystyle$ f$(x)}$는 다음 두 가지 특성을 모두 만족시키는 지도입니다.

• 가감도 또는 중첩 원리:${\displaystyle }f{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$ +${\displaystyle y}$ ) $=$ (${\displaystyle x}$) +${\displaystyle f}$ (${\displaystyle y}$)$$; { $displaystyle \textstyle$ f$(x$+$$y)= $f(x)+f(y);}$
• 균질성:${\displaystyle }f{\displaystyle }$ (${\displaystyle \alpha }$x ) $=$ ${\displaystyle \alpha }$f (${\displaystyle x}$)$$. { $displaystyle \textstyle$ f ( \$alpha$ x )= \$alpha$ f ( x )$$。$}$

가감성은 모든 유리 α에 대해 균질성을 의미하며, 연속 함수의 경우 모든 실제 α에 대해 균질성을 의미한다.복합체α의 경우, 동질성은 가감도에서 나오지 않는다.예를 들어, 반직선 지도는 가법적이지만 균질하지는 않습니다.가감도와 균질성의 조건은 종종 중첩 원리에 결합된다.

$\displaystyle f(\alpha x+\display y)=\alpha f(x)+\display f(y)}$

다음과 같이 쓰인 방정식

${\displaystyle f(x)=C}$

${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$x )$${$displaystyle$ f$(x)}$이(가) 선형 맵인 경우 $선형{\displaystyle }$ 맵이고, 그렇지 않은 경우 비선형 맵인 경우 선형 맵입니다.이 ${\displaystyle \mathrm{방정식}}$은 C $=$ 0(\$displaystyle$ C$=0$이면 균질함이라고 합니다.

f${\displaystyle (x)}$ $=$ $({$$displaystyle$ f$(x$)=$C)$의 $정의$는 매우 일반적이며$$x({$displaystyle$ x$}$는 모든 감각적인 수학적 객체(숫자, 벡터, 함수 등)가 될 수 있으며${\displaystyle }$f$)$ {$displaystyle$ f$(x)}$는 문자 그대로 관련 제약 조건과의 통합 또는 분화를 포함한 모든 매핑이 될 수 $있다{\displaystyle }$(바운 등).dary 값).f$x)$ {\$displaystyle$ f$(x)}$에$$x {\$displaystyle$ x$\}$에 대한 미분이 포함되어 있는 $경우{\displaystyle }$ 결과는 미분 방정식이 됩니다.

비선형 대수 방정식

다항식이라고도 불리는 비선형 대수 방정식은 다항식(1보다 큰 정도)을 0으로 등가함으로써 정의된다.예를들면,

${\displaystyle x^{2}+x-1=0,}$

단일 다항식 방정식의 경우, 근 찾기 알고리즘은 방정식에 대한 해법(즉, 방정식을 충족하는 변수의 값 집합)을 찾기 위해 사용될 수 있다.하지만, 대수 방정식의 체계는 더 복잡하다; 그들의 연구는 현대 수학의 어려운 분야인 대수 기하학 분야에 대한 하나의 동기이다.주어진 대수체계가 복잡한 해법을 가지고 있는지 여부를 결정하는 것은 어렵다(힐버트의 늘스텔렌사츠 참조).그럼에도 불구하고, 유한한 수의 복소해를 가진 시스템의 경우, 이러한 다항 방정식의 시스템은 이제 잘 이해되었고 그것들을 ^[11]풀기 위한 효율적인 방법이 존재한다.

비선형 반복 관계

비선형 반복관계는 시퀀스의 연속항을 선행항의 비선형함수로 정의한다.비선형 반복 관계의 예로는 로지스틱 맵과 다양한 호프스타터 시퀀스를 정의하는 관계가 있습니다.비선형 반복 관계의 광범위한 클래스를 나타내는 비선형 이산 모델에는 NARMAX(Nonalinear Autrogressive Moving Average with eXogenous inputs) 모델 및 관련 비선형 시스템 식별 및 ^[12]분석 절차가 포함됩니다.이러한 접근방식을 사용하여 시간, 빈도 및 시공간 영역의 복잡한 비선형 동작을 폭넓게 연구할 수 있습니다.

비선형 미분 방정식

미분방정식 시스템은 선형방정식이 아니라면 비선형이라고 한다.비선형 미분방정식과 관련된 문제는 매우 다양하며, 해법이나 분석방법은 문제에 따라 다르다.비선형 미분 방정식의 예로는 Navier가 있습니다.–유체역학에서의 방정식과 생물학에서의 로카-볼테라 방정식을 스토킹합니다.

비선형 문제의 가장 큰 어려움 중 하나는 일반적으로 알려진 솔루션을 새로운 솔루션으로 결합할 수 없다는 것입니다.예를 들어 선형 문제에서는 선형 독립 해군의 집합을 사용하여 중첩 원리를 통해 일반적인 해법을 구성할 수 있습니다.그 좋은 예로는 디리클레 경계 조건을 가진 1차원 열수송을 들 수 있다.이러한 해는 주파수가 다른 사인파의 시간 의존적인 선형 조합으로 쓸 수 있다.이러한 해는 매우 유연하다.비선형 방정식에 대해 몇 가지 매우 구체적인 해법을 찾는 것이 종종 가능하지만, 중첩 원리의 결여로 인해 새로운 해법의 구축을 방해한다.

상미분 방정식

1차 상미분방정식은 변수의 분리에 의해, 특히 자율방정식의 경우, 정확하게 풀 수 있는 경우가 많다.예를 들어, 비선형 방정식은

$(\displaystyle\frac{du}{du}=-u^{2}})$

u ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{x}}$ +$$C {{$display$ u=$ufrac {$1$}$ ${x+$C}}}를$$$$ 일반 용액($및{\displaystyle }$ 특정 $용액$으로서 ${\displaystyle \mathrm{u}}$ ${\displaystyle =}$0 {$displaystyle$ u$=0},$ C가 무한대인 경우 일반 솔루션의 한계에 해당)으로 합니다.이 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있기 때문에 비선형이다.

${\displaystyle\frac{du}}+u^{2}}=0}$

그리고 방정식의 왼쪽은$u$와 그 도함수의 $선형{\displaystyle }$ 함수가 아닙니다.$(\$ u$^{2})$ $용어$를$$u(\$displaystyle$u$)$로 대체하면 문제가 선형(지수적 붕괴 문제)에 있음을 유의하십시오.

2차 이상의 상미분방정식(더 일반적으로 비선형 방정식의 시스템)은 암묵적 해법과 비보조적분을 포함하는 해법을 만나지만 닫힌 형태의 해법을 거의 산출하지 않는다.

비선형 상미분 방정식의 정성적 분석을 위한 일반적인 방법은 다음과 같다.

• 보존량 검사(특히 해밀턴 시스템에서)
• 보존량과 유사한 소산량 검사(랴푸노프 함수 참조)
• Taylor 확장을 통한 선형화
• 연구하기 쉬운 것으로 변수 변경
• 분기 이론
• 섭동 방법(대수 방정식에도 적용할 수 있음)
• 일부 비선형 상미분 방정식에 대한 특정 조건 하에서 발생할 수 ^[13]있는 유한 지속 시간의 해 존재.

편미분 방정식

비선형 편미분 방정식을 연구하기 위한 가장 일반적인 기본 접근법은 결과 문제가 더 단순해지도록 변수를 변경하는(또는 문제를 변환하는) 것입니다(아마도 선형).때로는 변수 분리에서 볼 수 있는 하나 이상의 상미분 방정식으로 변환될 수 있으며, 이는 결과 상미분 방정식이 해결 가능한지 여부에 관계없이 항상 유용합니다.

유체 및 열역학에서 종종 이용되는 또 다른 일반적인 (비록 덜 수학적) 전술은 척도 분석을 사용하여 특정 특정 경계값 문제에서 일반적인 자연 방정식을 단순화하는 것이다.예를 들어, (매우) 비선형 Navier-Stokes 방정식은 원형 파이프 내의 과도, 적층, 1차원 흐름의 경우 하나의 선형 편미분 방정식으로 단순화할 수 있습니다. 스케일 분석은 흐름이 적층 및 1차원인 조건을 제공하며 단순화된 방정식을 산출하기도 합니다.

다른 방법으로는 특성 조사와 상미분방정식에 대해 위에서 설명한 방법을 사용하는 것이 있습니다.

펜둘라

고전적이고 광범위하게 연구된 비선형 문제는 중력의 영향을 받는 무마찰 진자의 역학이다.라그랑지안 역학을 사용하면 진자의 움직임이 무차원 비선형 방정식으로 설명될 수 있음을 보여줄^[14] 수 있다.

${\displaystyle {d^{2}\theta }{dt^{2}+\sin(\theta)=0}$

여기서 중력점 "θ"와$θ(\$style \$theta)$는 오른쪽 그림과 같이 진자가 정지 위치에서 형성하는 각도입니다.이 방정식을 "해결"하기 위한 한 가지 접근법은 d${\displaystyle d}$ / ${\displaystyle d}$t \ $displaystyle$ d$\theta$ /$dt$를 적분 인자로 $사용$하는 것이며, 이는 최종적으로 산출될 것이다.

${\displaystyle\int {d\theta}{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta)}}=t+C_{1}}}$

이것은 타원 적분을 포함하는 암묵적 해법이다.솔루션의 성질의 대부분이 비보조적분(${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 0 $=$(\$displaystyle C_{0$}=$2})$에 숨겨져 있기 때문에 이 "보편적분"은 일반적으로 많은 용도가 없습니다.

문제에 접근하는 또 다른 방법은 Taylor 확장을 통해 다양한 관심 지점에서 비선형성(이 경우 사인 함수 항)을 선형화하는 것입니다.$예$를 들어, θ ${\displaystyle =}$ $(\displaystyle$ \$theta =$ 0$)$에서의 선형화(작은 각도 근사치라고 함)는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {d^{2}\theta }{dt^{2}}+\theta = 0}$

${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle （}$ ${\displaystyle ）}$ ${\displaystyle \approx }$ $0 、$ 0$$ ${\displaystyle 、}$ 0 display 、 \ $displaystyle$$\$ $sin$$$( \ $theta$) \$$$apprough$\ theta$$$$}$$。이것은 진자의 경로 하단 부근에 있는 진자의 진동에 대응하는 단순한 고조파 발진기입니다.또 다른 선형화는 being ${\displaystyle =}$ π$$（ \ $displaystyle$ \theta = \$pi$ }$$）이며, 이는 진자가 위로 곧게 뻗는 것에 해당한다.

${\displaystyle {d^{2}\theta }{dt^{2}+\pi -\theta = 0}$

${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle \approx }$$$${\displaystyle }$since display display display display display display （ \ $display$$$style \$sin$$$( \ $theta$) \$about$$$\$pi$ - \ $seta$$}$sin$$ sin sin 。이 문제의 해법은 쌍곡 정현동을 포함하며, 작은 각도 근사와는 달리 이 근사치가 불안정하다는 것을 알 수 있습니다. 즉, $통상적$인 \ta$$ θ${\displaystyle }$θ \ tyle \ta θ θ θ θ θ usual usual usual usual usual usual usual usual usual usual usual usual$$ ly는 무제한으로 확장할 수 있지만 한정된 솔루션은 가능합니다.이는 진자를 수직으로 세우는 것의 어려움과 일치하며, 말 그대로 불안정한 상태입니다.

$\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle /}$ / ${\displaystyle 2\mathrm{}}$（ \$displaystyle$ \$theta = \pi$ / 2$$） ${\displaystyle \mathrm{which}}$ 、 sin${\displaystyle }$（${\displaystyle }$\ $theta$） ${\displaystyle \approx }$ 1$$\ $displaystyle \sin$( \ sheta ) \ $1$ 1$:$

${\displaystyle {frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}+1=0.}$

이것은 자유 낙하 문제에 대응합니다.진자의 역학에 대한 매우 유용한 정성적 그림은 오른쪽 그림과 같이 이러한 선형화를 결합함으로써 얻을 수 있다.다른 기법을 사용하여 (정확한) 위상 초상화와 대략적인 기간을 찾을 수 있습니다.

비선형 동적 거동의 유형

• 진폭 사망 – 다른 시스템과의 상호작용 또는 동일한 시스템의 피드백으로 인해 시스템에 존재하는 모든 진동이 멈춥니다.
• 혼돈 – 시스템의 가치를 무한히 예측할 수 없으며 변동은 주기적이지 않습니다.
• 다중성 – 두 개 이상의 안정적인 상태 존재
• 솔리톤 – 자기강화형 단독파도
• 한계 주기 – 불안정한 고정점을 끌어당기는 점근 주기 궤도.
• 자체 발진 - 개방 산란형 물리적 시스템에서 발생하는 피드백 진동.

비선형 방정식의 예

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

추가 정보

외부 링크

• 명령 및 제어 연구 프로그램(CCRP)
• 뉴잉글랜드 복합 시스템 연구소:복잡한 시스템의 개념
• 비선형 다이내믹스 I: MIT OpenCourseWare의 혼란
• 비선형 모델 라이브러리– (MATLAB 내) 물리 시스템 데이터베이스
• 로스앨러모스 국립연구소 비선형 연구센터