하르토그스의 분리된 홀로모르퍼시티 정리

수학에서 하토그스의 정리는 몇 가지 복잡한 변수의 이론에서 프리드리히 하토그스의 근본적인 결과물이다.대략적으로 말하면, '별도의 분석' 함수는 연속적이라고 명시되어 있다.더 정확히 말하면 $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n{}^{}}$→ C ${\$ F$:{\textbf{C}^{n}\to {\textbf{C}}}$이(가) 각 변수 z_i, 1 ≤ i ≤ n에 분석적인 함수라면$$ F는 연속함수다.

한 가지 유의점은 함수 F가 n-변수 의미에서의 분석 함수(즉, 국소적으로 테일러 팽창이 있다는 것)라는 것이다.따라서 '별도의 분석성'과 '분석성'은 여러 복잡한 변수의 이론에서 일치된 개념이다.

함수가 연속(혹은 경계가 있다는 추가적인 가설에서 시작하여, 정리는 증명하기가 훨씬 쉬워지며, 이 형태에서는 오스굿의 보조마차로 알려져 있다.

실제 변수에 대해서는 이 정리의 유사성이 없다.$함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle {Rn}^{}}$→ ${\displaystyle R}$ ${\$textbf {R$}에서 {\textbf{$R}}}까지 개별적으로 다르다고 가정한다면 f ${\displaystyf f}$가 반드시 연속적일 것이라는$$ 것은 사실이 아니다.2차원의 counterexample은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}.}$

$또한{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ f($0,0)=0}$을$($를) 정의하면, 이 함수는 $원점$에서$$x {\$displaystyle$ x$}$ $및{\displaystyle }$y {\$displaysty$ y$}$에 부분파생상품이 잘 정의되어 있지만, 원점에서 연속적이지 않다. ($실제로{\displaystyle }$,${\displaystyle }$선 x = ${\displaystyle y}$=$${\$displaystyleane$ x$=y}$ $및{\displaystyle }$x$$$=y=y}$동일하지 않기 때문에 $원점$을$포함$하도록 f {\$displaystyle$ f}의$$정의를 확장하고 함수를 연속적으로 거기에 포함시킬 방법이 없다.)

참조

• 스티븐 크랜츠몇 가지 복잡한 변수의 함수 이론, AMS 첼시 출판, 프로비던스, 로드아일랜드, 1992.

외부 링크

• "Hartogs theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• http://planetmath.org/hartogsstheoremonseparateanalyticity

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath에 대한 Hartogs의 별도 분석 정리 자료가 통합되어 있다.