하토그 수

수학에서, 특히 자명 집합 이론에서, 하토그 수는 집합과 연관된 순서형 번호다.특히 X가 설정된 경우 하토그 수의 X는 α에서 X로 주입되지 않는 최소 서수 α이다.X를 잘 정렬할 수 있다면 α의 기수 숫자는 X의 기수보다 큰 최소 기수다.X를 잘 정렬할 수 없는 경우 X에서 α까지의 주입이 있을 수 없다.그러나, α의 기수 숫자는 여전히 X의 카디널리티 이상이나 같은 최소의 기수다. (정확한 순서 세트의 기수만으로 제한한다면, α의 기수는 X의 기수 이상이나 같은 최소값이다.)X부터 α까지를 취하는 지도를 하토그스의 함수라고 부르기도 한다.이 매핑은 모두 무한정 잘 정렬된 집합의 기본 숫자인 알레프 숫자를 구성하는 데 사용된다.

하르토그 수의 존재는 1915년 프리드리히 하르토그스에 의해 체르멜로-프란켈 집합론(즉, 선택의 공리를 사용하지 않고)을 단독으로 사용하여 증명되었다.

하토그스의 정리

Hartogs의 정리에서는 어떤 세트 X에 대해서도 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }${ X $displaystyle \alpha \not \leq$ X$\};$ 즉 α에서 X로의 주입이 없는 서수 α가 존재한다고 명시하고 있다.서수들이 잘 정렬되어 있기 때문에, 이것은 즉시 어떤 집합 X에 대한 하토그 수의 존재를 암시한다.게다가, 그 증거는 건설적이고 하토그들의 X의 숫자를 산출한다.

증명

Goldrei 1996을 참조하십시오.

$\alpha {\displaystyle }$= {${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Ord}}$ ${\displaystyle \mathrm{\mid }}$ ${\displaystyle i}$: ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \alpha =\{\beta \in {\textrm {Ord}\mid \exists$ i$:\\beta \hookrightarrow X\}}}$은 β에서 X로의 주입 함수가 되는 모든 순서 번호의 등급이다$$.

첫째, α가 집합인지 검증한다.

1. X × X는 동력 집합의 Axiom에서 볼 수 있듯이 집합이다.
2. X × X의 동력 집합은 동력 집합의 공리에 의한 집합이다.
3. X 하위 집합의 모든 반사적 웰오더링의 클래스 W는 선행 집합의 정의 가능한 하위 분류이므로 분리라는 공리 스키마에 의해 설정된다.
4. W의 모든 주문형 웰오더 등급은 교체의 공리 스키마에 의해 설정된다.

   (Domain(w), w) $\cong {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }($β, ≤)

   간단한 공식으로 설명할 수 있다.

그러나 이 마지막 세트는 정확히 α이다.이제, 타동적인 서수집합은 다시 서수집합이기 때문에, α는 서수집합격적인 서수 집합은 다시 서수 집합이다.게다가 X로 α에서 주사하는 것은 존재하지 않는데, 그 이유는 있다면 α α α라는 모순을 얻을 것이기 때문이다. 그리고 마지막으로 α는 X에 주사하는 것이 없는 최소한의 서수이다.이는 α가 서수형이기 때문에 어떤 β < α, β α에 대해 β에서 X로의 주입이 있기 때문이다.

역사적 발언

1915년, 하토그스는 폰 노이만 표준도 대체 공리도 사용할 수 없었으며, 따라서 그의 결과는 저멜로 집합론 중 하나이며 위의 현대 박람회와는 다소 다르게 보인다.그 대신, 그는 잘 정돈된 X의 하위 집합의 이형성 등급 집합과 A의 등급이 B의 적절한 초기 부분과 이형성인 경우 B의 등급보다 앞선 관계를 고려했다.Hartogs는 이것이 잘 정돈된 X의 그 어떤 부분집합보다 더 잘 정돈된 것으로 보여주었다. (이것은 역사적으로 헤아릴 수 없는 잘 정돈된 최초의 진정한 건축임에 틀림없다.)그러나, 그의 기여의 주된 목적은 추기경 숫자에 대한 삼분법이 (당시 11세) 잘 정돈된 정리(그리고, 따라서 선택의 공리)를 내포하고 있음을 보여주는 것이었다.

참고 항목

• 후임 추기경
• 알레프 수

참조

• Goldrei, Derek (1996). Classic Set Theory. Chapman & Hall.
• Hartogs, Fritz (1915). "Über das Problem der Wohlordnung". Mathematische Annalen (in German). 76 (4): 438–443. doi:10.1007/BF01458215. JFM 45.0125.01. S2CID 121598654.
• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Charles Morgan. "Axiomatic set theory" (PDF). Course Notes. University of Bristol. Retrieved 2010-04-10.