하토그스의 확장 정리

여러 복잡한 변수의 함수 이론에서 하토그스의 확장 정리는 여러 변수의 홀로모르픽 함수의 특이점에 관한 진술이다.비공식적으로, 그것은 그러한 기능의 특이점들의 지원은 압축적일 수 없다고 명시하고 있으며, 따라서 몇 가지 복잡한 변수의 특이점 집합은 어떤 방향에서 '무한으로 떠나야 한다'고 해야 한다.보다 정확히 말하면, 그것은 고립된 특이점이 $n$ > $1$ 복합 변수의 분석 함수에 대해 항상 탈착 가능한 특이점임을 보여준다.이 정리의 첫 번째 버전은 프리드리히 하토그스에 의해 증명되었고,^[1] 그와 같이 하토그스의 보조정리 및 하토그스의 원리로도 알려져 있다:^[2] 초기 소비에트 문학에서는 오스굿-브라운 정리라고도 불리며, 아서 바톤 브라운과 윌리엄 포그 오스굿의 후기 작품을 인정한다.^[3]여러 변수의 홀모픽 함수의 이 속성을 하토그 현상이라고도 부르는데, 하토그 유형 이론들을 만족시키는 부분 미분방정식이나 콘볼루션 방정식의 시스템 해법의 특성을 확인하는 데에도 "하토그 현상"이 사용된다.^[4]

역사 노트

원래의 증명은 1906년 프리드리히 하르토그스에 의해 여러 복잡한 변수의 함수에 대한 카우치의 적분 공식을 사용하여 제시되었다.^[1]오늘날, 통상적인 증거는 보크너-마티넬리-코펠만 공식이나 콤팩트한 지지를 가진 비균형 카우치-리만 방정식의 해법에 의존한다.후자의 접근은 논문에서 그것을 시작한 레온 에렌프레이스(Ehrenpreis 1961) 때문이다.그러나 이 결과의 다른 매우 단순한 증거 가에타노 Fichera까지 서류를(Fichera 1957년)에서, 몇가지 변수의 적인. 기능과 CR-function의 관련 개념:[5]나중에 그가 종이(Fichera 1983년)에서 편미분 사업자들의 특정 클래스에 정리 확장의 디리클레 문제의 해결책을 사용하여 주어졌다.,그리고 그의 사상은 나중에 줄리아노 브라티에 의해 더 탐구되었다.^[6]또한 부분 미분 운영자 이론의 일본 학교도 가네코 아키라의 공헌이 두드러져 이 주제에 대해 많은 노력을 기울였다.^[7]그들의 접근법은 에렌프레이스의 근본원리를 이용하는 것이다.

하토그스 현상

예를 들어, 두 변수에서 내부 도메인을 고려하십시오.

{\displaystyle H_{\barepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2}: z_{1}{varepsilon \ \\\\\text{or}\\1\\barepsilon < z_{2} \}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}).

in the two-dimensional polydisk $\Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2}; z_{1} <1, z_{2} <1\}$ where $0<\varepsilon <1$ .

Theorem Hartogs (1906): any holomorphic functions $f$ on $H_{\varepsilon }$ are analytically continued to $\Delta ^{2}$ . Namely, there is a holomorphic function $F$ on $\Delta ^{2}$ such that ${\displ$ H $H_{\varepsilon }$ ${\$ 에 $F=f$ 있는 $aystyle$ F= $f}.$ $H_{\varepsilon }$

이런 현상을 하토그스의 현상이라고 하는데, 이 하토그스의 확장 정리 개념과 홀로모피 영역 개념으로 이어진다.

형식명세서

집합

G

\

K

에서

f

를 홀로모르픽 함수로 하자. 여기서

G

는

C

의ⁿ 오픈 서브셋(

n

≥

2

)이고

K

는

G

의 콤팩트 서브셋이다.

보완

G

\ K가 연결되면

f

를

G

의 고유한 홀로모르픽 함수로 확장할 수 있다.

치수 1의 백열수

$n$ = $1일$ 때는 정리가 유지되지 않는다.이를 보기 위해서는 $C$ \ ${0}$ 에서 명백히 홀모픽인 $f (z)$ = z $함수$ 를⁻¹ 고려하는 것으로 충분하지만, 전체 $C$ 에서 홀모픽 함수로 계속 진행할 수는 없다.따라서 하토그스의 현상은 한 가지 복잡한 변수의 함수 이론과 여러 가지 복잡한 변수의 함수 이론의 차이를 부각시키는 기초적인 현상이다.

메모들

^ ^a ^b 하르토그스의 원본(1906년)과 오스굿(1963년, 페이지 56~59년) 하르벡트 오류: 목표 없음: CITREFOsgood1963(도움말), 세베리(1958년, 페이지 111–115년), 스트루파(1988년, 페이지 132–134년)의 다양한 역사 조사에서의 설명을 참조한다.특히 132페이지의 이 마지막 참고문헌에서 저자는 명시적으로 다음과 같이 적고 있다: "그것이 (Hartogs 1906)의 제목에서 지적된 바와 같이, 그리고 독자가 곧 보게 될 것처럼, 증거의 핵심 도구는 Cauchy 적분식이다."
^ 예를 들어, 블라디미로프(1966, 페이지 153), 독자를 후쿠스(1963, 페이지 284)의 책을 참고하여 증거를 제시한다(그러나, 앞의 참조에서는 증거가 324페이지에 있다고 잘못 기재되어 있다).
^ 브라운(1936)과 오스굿(1929)을 참조하라.
^ Fichera(1983)와 Bratti(1986a) (Bratti 1986b)를 참조하라.
^ Fichera의 교수뿐만 아니라 그의 획기적 논문(Fichera 1957)도 여러 복잡한 변수의 함수 이론의 많은 전문가들에 의해 간과된 것 같다: 이 분야에서 많은 중요한 이론들의 정확한 귀속은 Range(2002)를 참조하라.
^ Bratti(1986a) (Bratti 1986b)를 참조하십시오.
^ 그의 논문(가네코 1973년)과 거기에 실린 참고문헌을 보라.

참조

과거 참조

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과학적 참고자료

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Severi, Francesco (1942–1943), "A proposito d'un teorema di Hartogs" [About a theorem of Hartogs], Commentarii Mathematici Helvetici (in Italian), 15 (1): 350–352, doi:10.1007/bf02565650, MR 0010730, S2CID 120514642, Zbl 0028.15301, archived from the original on 2011-10-02, retrieved 2011-06-25. 씰 포털에서 사용 가능.

외부 링크

Chirka, E. M. (2001) [1994], "Hartogs theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
"Failure of Hartogs' theorem in one dimension (counterexample)". PlanetMath.
플래닛매트릭스에서 하토그스의 정리.
PlanetMath에서 하토그스의 정리 증명.

[hartogs-1] 하르토그스의 원본(1906년)과 오스굿(1963년, 페이지 56~59년) 하르벡트 오류: 목표 없음: CITREFOsgood1963(도움말), 세베리(1958년, 페이지 111–115년), 스트루파(1988년, 페이지 132–134년)의 다양한 역사 조사에서의 설명을 참조한다.특히 132페이지의 이 마지막 참고문헌에서 저자는 명시적으로 다음과 같이 적고 있다: "그것이 (Hartogs 1906)의 제목에서 지적된 바와 같이, 그리고 독자가 곧 보게 될 것처럼, 증거의 핵심 도구는 Cauchy 적분식이다."

[2] 예를 들어, 블라디미로프(1966, 페이지 153), 독자를 후쿠스(1963, 페이지 284)의 책을 참고하여 증거를 제시한다(그러나, 앞의 참조에서는 증거가 324페이지에 있다고 잘못 기재되어 있다).

[3] 브라운(1936)과 오스굿(1929)을 참조하라.

[4] Fichera(1983)와 Bratti(1986a) (Bratti 1986b)를 참조하라.

[5] Fichera의 교수뿐만 아니라 그의 획기적 논문(Fichera 1957)도 여러 복잡한 변수의 함수 이론의 많은 전문가들에 의해 간과된 것 같다: 이 분야에서 많은 중요한 이론들의 정확한 귀속은 Range(2002)를 참조하라.

[6] Bratti(1986a) (Bratti 1986b)를 참조하십시오.

[7] 그의 논문(가네코 1973년)과 거기에 실린 참고문헌을 보라.

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