주문유형

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수학에서, 특히 집합론에서, 두 개의 순서 $집합$ X와 Y는 순서 동형이면, 즉, f와 그 역이 모두 단조(요소의 $순서$를 보존하는)하도록 $하는{\displaystyle }$, $사영$이 존재하는 경우, 같은 순서 유형을 갖는다고 $합니다$$.$

X가 완전히 순서화된 특수한 경우, f의 단조성은 이미 그 역의 단조성을 의미합니다.

하나의 세트와 동일한 세트는 다른 주문으로 구성될 수 있습니다.차수-동등성은 동등성 관계이므로 모든 순서 집합의 클래스를 동등성 클래스로 분할합니다.

표기법

$집합$ X ${\displaystyle$ X$}$의 순서 유형이 σ ${\displaystyle \sigma$로 표시되면 반대 순서의 순서 유형인 X ${\displaystyle$ X$\}$의 $이중$ 형식이 σ${\displaystyle \sigma$ $^\{*\}$로 표시됩니다.

순서가 잘 정렬된 집합 X의 순서 유형은 때때로 ord(X)^[1]로 표시됩니다.

예

정수와 유리수의 순서 유형은 일반적으로 각각$$π {\$displaystyle \pi}$ 및 η ${\displaystyle \eta$로 표시됩니다.$매핑{\displaystyle }$ n ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}${\$displaystyle$ n$\mapsto 2n}$은(는) 순서를 보존하는 편향이기 때문에 정수 집합과 짝수 정수 집합의 순서 유형이 같습니다.그러나 정수의 집합과 유리수의 집합(표준 순서 포함)은 같은 순서 유형을 가지고 있지 않습니다. 왜냐하면 집합들이 같은 크기임에도 불구하고(둘 다 셀 수 없을 정도로 무한하지만) 그들 사이에는 순서 보존적인 사영 매핑이 존재하지 않기 때문입니다.예를 $들어$ f ( x )${\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle x\frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$- ${\displaystyle \frac{2x}{}}$ - ${\displaystyle \frac{1}{}}$ $displaystyle$ f$(x$) = {\$tfrac {2x-1}{1-\vert$ {$2x-1}\vert }}$은${\displaystyle (}$는) 전자에서 후자로 엄격하게 증가하는 사영이므로, 유리수의 열린 구간 (0, 1)은 유리수와 동형입니다.이 종류의 관련 정리는 아래와 같습니다.

이제 더 많은 예를 들어볼 수 있습니다.양의 정수 집합(최소 요소 포함)과 음의 정수 집합(최대 요소 포함)입니다.자연수는 아래에 설명된 것처럼 ω로 표시된 순서형을 갖습니다.

반닫힘 구간 [0,1] 및 (0,1) 및 닫힌 구간 [0,1]에 포함된 합리는 세 가지 추가적인 차수 유형 예입니다.

주문유형웰오더링

순서가 잘 배열된 모든 집합은 정의에 따라 순서가 정확히 하나의 순서 숫자와 같습니다.순서수는 클래스의 표준 대표로 사용되며, 따라서 순서가 잘 정렬된 집합의 순서 유형은 일반적으로 해당 순서수와 동일시됩니다.따라서 순서 유형은 종종 서수의 산술식의 형태를 취합니다.

예

먼저 자연수 집합의 순서형은 ω입니다.Peano 산술의 다른 모형, 즉 비표준 모형은 세그먼트가 π와 동형으로 시작하여 추가 숫자를 추가합니다.예를 들어, 이러한 모델의 수는 ω + (ω* + ω) ⋅ η η ⋅ order type for able ω such any count ( + ω has ω )

둘째, 짝수 서수의 집합 V가 π π 2 + 7보다 작다고 가정합니다.

${\displaystyle V=\{0,2,4,\ldots;\omega,\omega +2,\omega +4,\ldots;\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2+4,\omega \cdot 2+6\}$

이것은 두 개의 개별적인 카운팅 시퀀스에 이어 마지막에 네 개의 요소로 구성되기 때문에 순서 유형은

${\displaystyle \operatorname {ord}(V)=\omega \cdot 2+4=\{0,1,2,\ldots;\omega ,\omega +1,\omega +2,\ldots;\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2+3\}$

유리수

이들의 표준 순서가 숫자와 관련하여, 유리수 집합은 순서가 잘 되어 있지 않습니다.그 문제에 관해서는 완성된 실물 세트도 아닙니다.

계산 가능한 전체 순서 집합은 순서 보존 방식으로 유리수에 주입적으로 매핑될 수 있습니다.순서가 더 조밀하고 가장 높거나 가장 낮은 원소가 없을 때, 심지어 이러한 객관적인 매핑도 존재합니다.

참고 항목

• 잘순서

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Order Type". MathWorld.

참고문헌