히르제브루흐-리만-로흐 정리

수학에서 프리드리히 히르제브루흐, 베른하르트 리만, 구스타프 로흐의 이름을 딴 히르제브루흐-리만-로흐 정리는 히르제브루흐의 1954년 결과로서 리만 표면의 고전적 리만-로흐 정리를 보다 높은 차원의 모든 복잡한 대수적 다양성으로 일반화한 것이다. 그 결과는 약 3년 후에 증명된 그로텐디크-히르제브루흐-리만-로흐 정리의 길을 열었다.

히르제브루흐-리만-로흐 정리 명세서

Hirzebruch-Rieman-Roch 정리는 컴팩트 복합 매니폴드 X의 모든 홀로모르프 벡터 번들 E에 적용되어 피복 코호몰로지(sheaf cohomology)에서 E의 홀로모르프 오일러 특성(즉, 교번 합)을 계산한다.

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{i=0}^{n(-1)^{i}\dim _{\mathb {C}}{}H^{i}(X,E)}}}$

복잡한 벡터 공간으로서의 치수의 n은 X의 복잡한 치수다.

히르제브루치의 정리에서는 χ(X, E)은 E의 체르누스 계급 c(E_k)와 토드 계급 ${\displaystyle {\mathrm{td}}_{}}$ ${\displaystyle j_{}(X}$) ${\dplaystyle \operatorname {td} _{j}(X)}$의 관점에서$$ 계산할 수 있다고 명시하고 있다. 이것들은 모두 X의 동종학 링에 있다; 기본 클래스(또는 다시 말하면 X에 대한 통합)를 사용하여 $우리$는 H ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}X}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle H^{2n}(X$)의 클래스로부터 숫자를 얻을 수 있다$.$${}$ 히르제브루흐 공식은$$ 다음과 같이 주장한다.

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum \operatorname {ch} _{n-j}(E)\operatorname {td} _{j}(X),}$

여기서 합계는 코호몰로지(cohomology)에서 체르누스 문자 ch(E)를 사용하여 모든 관련 j(그러므로 0 j j n n)를 인수한다. 즉, 2n까지 합한 모든 '매칭'도의 코호몰로지 링에 제품이 형성된다. 다르게 표현된, 그것은 평등함을 준다.

${\displaystyle \chi(X,E)=\int _{X}\operatorname {ch}(E)\operatorname {td}(X)}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{td}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \operatorname {td}(X)}$은 X의 접선 번들의 Todd 클래스다.

E가 복잡한 선다발일 때와 X가 대수표면일 때(노에더의 공식)가 유의미한 특수한 경우다. 곡선의 벡터 번들에 대한 Weil의 Riemann-Roch 정리, 대수 지표면에 대한 Rieman-Roch 정리(아래 참조)가 그 범위에 포함된다. 이 공식은 또한 토드 계급이 어떤 의미에서는 특성 계급의 왕복이라는 막연한 개념을 정밀한 방법으로 표현한다.

곡선에 대한 리만 로치 정리

곡선의 경우, 히르제브루치-리만-로치 정리는 본질적으로 고전적인 리만-로치 정리가 된다. 이를 보려면, 곡선의 각 Divisor D에 대해 D의 선형 시스템이 O(D) 섹션의 공간에 가깝거나 적도록 반전 가능한 sheaf O(D)가 있다는 것을 기억하십시오. 곡선의 경우 Todd 클래스는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle T}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$, ${\displaystyle 1+c_{1}(T(X)/2,}$이며, sheaf O(D)의 체르누 문자는 1+c₁(O(D)에 불과하므로 Hirzebruch–Riemann-Roch 정리를 명시한다.

${\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(D))-h^{1}({\mathcal {O}}(D))=c_{1}({\mathcal {O}}(D))+c_{1}(T(X))/2\ \ \ }$ (integrated over X).

그러나 h⁰(O(D)는 D의 선형계 치수인 l(D)에 불과하며, 여기서 K는 정격분할자인 serre duality h(O(D) = h⁰(O(K¹ - D) = l(K - D)이다. 더욱이 X에 걸쳐 집적된₁ c(O(D))는 D의 정도, X에 집적된 c₁(T(X)는 X 곡선의 오일러 등급 2 - 2g으로, 여기서 g는 속이다. 그래서 우리는 고전적인 리만 로치 정리를 얻는다.

${\displaystyle \ell(D)-\ell(K-D)={\text{deg}(D)+1-g.}$

벡터 번들 V의 경우 체른 문자가 순위(V) + c₁(V)이므로 곡선 위에 있는 벡터 번들에 대한 Weil의 Riemann Roch 정리를 얻는다.

${\displaystyle h^{0}(V)-h^{1}(V)=c_{1}(V)+\operatorname {rank}(V)(1-g)}$

표면의 리만 로치 정리

표면의 경우, Hirzebruch-Remann-Roch 정리는 표면의 Rieman-Roch 정리다.

${\displaystyle \chi(D)=\chi({\mathcal {O}}})+(D)(D).D)-(D.K)/2.}$

노에더 공식과 결합되어 있어

우리가 원한다면 세레 이중성을 사용하여 h²(O(K - D)를 h⁰(O)로 표현할 수 있지만, 곡선의 경우와는 달리 일반적으로 sheaf cohomology를 포함하지 않는 형태로¹ h(O(D) 용어를 쓸 수 있는 쉬운 방법은 없다(실제로는 사라지곤 하지만).

점근성 리만로치

D를 치수 n의 수정 불가능한 투영 버라이어티 X에 대한 충분한 카티어 디비저가 되게 하라. 그러면

${\displaystyle h^{0}\왼쪽(X,{\mathcal {O}_{X}(mD)\오른쪽)={\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

보다 일반적으로 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) X의 일관성 있는 피복일$$ 경우

${\displaystyle h^{0}\왼쪽(X,{\mathcal {F}\otimes {\mathcal {O}_{X}(mD)\right)=\operatorname {rank}({\mathcal {F}){\frac {(D^{n}}){n}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

참고 항목

• Grotendieck-Remann-Roch 정리 - 많은 계산과 예를 포함한다.
• Hilbert 다항식 - HRR을 사용하여 Hilbert 다항식을 계산할 수 있음

참조

• 프리드리히 히르제브루흐, 대수 기하학의 위상학적 방법 ISBN3-540-58663-6

외부 링크

• 히르제브루흐-리만-로흐 정리