리만 계열 정리

수학에서 19세기 독일 수학자 베른하르트 리만의 이름을 딴 리만 시리즈 정리(일명 리만 재배열 정리라고도 함)는 조건부로 무한의 실수가 수렴되면 그 용어를 순열로 배열하여 새로운 시리즈가 임의의 실수로 수렴하거나 급강하할 수 있다고 말한다.rges. 이것은 일련의 실수가 무조건 수렴할 경우에만 절대적으로 수렴한다는 것을 암시한다.null

예를 들어 시리즈 1 - 1 + 1/2 - 1/2 - 1/3 - 1/3 + +은 0으로 수렴되지만(충분히 많은 항에 대해서는 부분 합이 임의로 0에 가까워진다) 모든 항을 절대값으로 대체하면 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3 + 무한도가 된다.따라서 원래의 시리즈는 조건적으로 수렴되며, 다른 합으로 수렴되는 시리즈를 주기 위해(처음 두 개의 양항과 첫 번째 음항, 다음 두 개의 양항, 그리고 다음 두 번째 음항 등을 취함으로써) 재배열할 수 있다. 1 + 1/2 - 1 + 1/3 + 1/4 - 1/2 + ⋯ = ln 2.좀 더 일반적으로, 양수 뒤에 음수 값이 있는 이 절차를 사용하면 합계가 ln(p/q)이 된다.다른 재배열은 다른 유한한 금액을 주거나 어떤 금액으로 수렴하지 않는다.null

정의들

${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ = ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\$ $\$ $sum _{n=1}^{\\inflt$ } $a_{n$ $}}}$ 이(가 $)$ 존재하면 부분 합계 시퀀스처럼 $\ell$ 된다 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ $\ell$ .

{\displaystyle(S_{1},S_{2},S_{3},\ldots ),\quad S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}}}}}

$\ell$ ${\displaystyle \ell }($ 으 $\ell$ 로 수렴. 즉, any > 0에 대해서는 n if N이면 다음과 같은 정수 N이 존재한다.

\displaystyle \left\vert S_{n}-\ell \right\vert \leq 엡실론 .}

시리즈 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ = ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\$ \sum $_{n=1}^{\n}}{n}}}$ 이(가) 수렴되지만 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert }$ 시리즈 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert }$ n = 1 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left\vert a_{n}\right\vert }$ n ${\textstyle \sum$ \{ $n=1}^{nft}\vert\{n}\$ ret\rig $}\rivert}.$ null

순열은 단순히 양의 정수 집합에서 그 자체로 치우친 것이다.즉, $\sigma$ $\sigma$ 이( $\sigma (a)=b.$ ) 순열인 $\sigma$ 경우 $,$ 모든 $b,$ 의 정수 b, ${\$ $displaystyle$ $b$ $}$ 에 $\sigma (a)=b.$ ( $\sigma (a)=b.$ ) $\sigma (a)=b.$ = $\sigma (a)=b.$ ${\displaystyle \sigma (a)=b$ 와 같은 $a$ 양의 정수가 정확히 하나 있다는 $b,$ 것을 의미한다 $.$ $}$ 특히 $\sigma (a)=b.$ x $x\neq y$ y ${\displaystyle x\neq$ y $}$ 이면 $x\neq y$ $\sigma (x)\neq \sigma (y)$ ( $\sigma (x)\neq \sigma (y)$ ) $\sigma (x)\neq \sigma (y)$ ( $\sigma (x)\neq \sigma (y)$ ) ${\displaystyle \sigma (x)\neq \sigma (y$

정리명세서

$(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ , $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ 2, $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ a $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ , … ) ${\displaystyle$ ( $a_{1},a_{2},a_{$ 3},\ $ldots$ )}이(가) 실수의 시퀀스이고 $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ , ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\$ 가) 조건부 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 수렴이라고 가정하자. $M$ $M$ 을(를) 실제 숫자로 표시하십시오 $M$ .그런 $\sigma$ 다음 다음과 같은 순열 $\sigma$ ${\displaystyle \sigma$ }이(가) 존재한다.

\sum _{n=1}^{\nft }a_{\sigma(n)}=M.

다음과 같은 $\sigma$ 순열 $\sigma$ 도 존재한다.

\sum _{n=1}^{\infully }a_{\infulma(n)}=\infuly .

합계는 또한 - $-\infty$ ${\displaystyle$ - $\infully$ }로 분산되거나 $-\infty$ 제한치(한계 또는 무한정)에 근접하지 못하도록 재배열할 수 있다.null

교류 고조파 시리즈

합계 변경

교류 고조파 시리즈는 조건부 수렴 시리즈의 고전적인 예다.

\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {(-1)^{n+1}:{n}}

수렴성인 반면

\sum \{n=1}^{\inflac }왼쪽 {\frac{n1}1}:{n+1}:{n+1}:{n+1}:{n+1}}}\right =\sum _{n=1}^{n1}{n}}}}}}}}

일반적인 고조파 시리즈로, 분산되어 있다.표준 프레젠테이션에서 교류 고조파 시리즈는

ln(

2)로 수렴되지만

,

그 조건은 어떤 숫자로 수렴하거나 심지어 분산되도록 배열될 수 있다.이것의 한 예는 다음과 같다.보통 순서대로 쓰여진 시리즈로 시작해,

1-{\frac {1}{1}:{2}}+{\frac {1}{3}-{\frac {1}{4}+\cdots }

그리고 용어 재정렬:

1-{\frac {1}{1}:{2}}-{\frac {1}{1}:{4}+{3}-{1}{6}-{\frac {1}{1}{8}}-{\frac {1}{10}-{12+}}cdots

여기서 패턴: 처음 두 항은 1과 -1/2이고 합계는 1/2이다.다음 학기는 -1/4이다.다음 두 항은 1/3과 -1/6으로 합계는 1/6이다.다음 학기는 -1/8이다.다음 두 용어는 1/5과 -1/10이며, 합계는 1/10이다.일반적으로 합은 다음 3개의 블록으로 구성된다.

{\frac {1}{2k-1}-{\frac {1}{2k-1)}-{{\frac {1}{4k},\property k=1,2,\property .

이것은 실제로 교대 고조파 계열의 재배열이다. 모든 홀수 정수는 한 번 양적으로 발생하며 짝수 정수는 한 번 음적으로 발생한다. (이들 중 절반은 4의 배수로, 나머지 절반은 두 배의 홀수 정수로 발생함).이후

{\frac {1}{2k-1}-{\frac {1}{2k-1)}={\frac {1}{2k-1},

이 시리즈는 사실 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}+\cdots +{\frac {1}{2(2k-1)}}-{\frac {1}{2(2k)}}+\cdots \\={}&{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2)\end{aligned}}

보통 금액의 반이다.null

임의의 합을

이전 절의 결과를 복구하고 일반화하는 효율적인 방법은 다음과 같은 사실을 이용하는 것이다.

1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over n}=\cdots +{1 \over n}=\ln+o(1),

여기서 γ은 오일러-마스케로니 상수이며, o(1) 표기법이 현재 변수에 따라 달라지는 수량을 나타내는 경우(여기서, 변수는 n) 변수가 무한대로 경향이 있을 때 이 수량이 0으로 가도록 한다.null

q 짝수 항의 합계가 충족되는 것으로 뒤따른다.

{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 6}+\cdots +{1 \over 2}={1 \over 2}\,\cdots +{1 \over 2}\ln q+o(1),

그리고 그 차이를 취함으로써, 사람들은 p 홀수의 합이 만족한다고 본다.

{1}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+\cdots +{1 \over 2p-1}={1 \over 2}\,\cdn +{1 \over 2}\ln p+\ln 2+o(1)

두 개의 양수 a와 b가 주어진다고 가정하고, 교대조화 계열의 재배열은 교대조화 계열에서 양수 항을 취하여 b 음수 항을 따르며 무한대로 이 패턴을 반복함으로써 형성된다고 가정한다(교대계열 자체는 a = b = 1에 해당하며, 예전의 예시).딩 섹션은 a = 1, b = 2에 해당한다.

{1}+{1 \over 3}+\cdots +{1 \over 2a-1}-{1 \over 2a-1-\cdots -{1 \over 4a-1}++\cdots +{1 \over 4a-1}-{1 \over 2b+}-2}-cdots}}

그 다음, 이 재배열된 시리즈의 부분적인 순서 합계(a+b)n은 p = 양의 홀수 항과 q = bn 음의 짝수 항을 포함하므로

S_{(a+b)n}={1 \over 2}\ln p+\ln 2-{1 \over 2}\ln q+(1)={1 \over 2}\ln(a/b)+\ln 2+o(1)={1 \over 2}

이 재배열된 시리즈의 합은 다음과 같다.

{1 \over 2}\ln(a/b)+\ln 2=\ln \left(2{\sqrt {a/b}\오른쪽)

이제 보다 일반적으로, 교대조화 계열의 재배열된 시리즈가 부분 순서의 n에서 양의 항과 음의 항 수 사이의_n p/q의_n 비율이 양의 한계 r을 나타내는 경향이 있는 방식으로 구성된다고 가정하자.그러면 그런 재배치의 합이 될 것이다.

\ln \left(2{\sqrt {r}\오른쪽),

그리고 이는 교대조화 계열의 재배열된 시리즈의 합으로 어떤 실수 x를 얻을 수 있다는 것을 설명한다. 즉, 한계 r이^2x e/ 4와 동일한 재배열로 충분하다.

증명

임의의 양의 실제 M을 합한 재배치의 존재

간단히 말해서, 이 증거는 우선 n마다 0의 값을_n 갖는다고 가정한다.일반적인 경우는 아래와 같이 간단한 수정이 필요하다.조건부로 수렴되는 실제 용어들의 시리즈는 무한히 많은 부정적인 용어들과 무한히 많은 양의 긍정적인 용어들을 가지고 있다는 것을 기억하라.먼저 $a_{n}^{+}$ + ${\$ 와 $a_n^+$ $a_{n}^{-}$ - ${\$ 의 $a_n^-$ 두 수량을 다음과 같이 정의하십시오.

a_{n}^{n}+{\frac {a_{n}+ a_{n}{{n}}{2}},\reas a_{n}^{-}={\frac {a_{n}- a_{n}}{2}.

That is, the series ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{+}}$ includes all a_n positive, with all negative terms replaced by zeroes, and the series ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{-}}$ includes all a_n negative, with all positive terms replaced by zeroes. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ = ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 에 n ${\$ 는 조건상 수렴성이며 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ , 양수 영상 시리즈와 음수 영상 시리즈가 모두 갈라진다.M을 긍정적인 실제 숫자가 되게 하라. $a_{n}^{+}$ + ${\$ 의 합계가 M을 초과하도록 충분한 $a_{n}^{+}$ 양의 항만 순서대로 취하십시오.p 조건이 필요하다고 가정해 보자. 그러면 다음 문장이 참이다.

\sum \sum \{n=1}^{p-1a_{n}^{n}^{n}}}\leq M<\sum _{n=1}^{n}a_{n}^{n}^{n}^}}.

$a_{n}^{+}$ 는 n $a_{n}^{+}$ + ${\$ 의 부분 합계가 + $+\infty$ $+\flotty$ 을(를) 경향이 $a_{n}^{+}$ 있기 때문에 모든 M > 0에 대해 가능하다 $+\infty$

\sum _{n=1}^{p}a_{n1}^{+}=a_{\cdots +a_{\cdma(m_{1})0,\\{\cdma(1)\\\cdma(1)\\cdma(m_{1}=p)=p.

$a_{n}^{-}$ n - ${\$ 결과 합계가 M보다 작도록 그 $a_{n}^{-}$ q라고 말할 정도의 부정적인 용어만 추가한다. $a_{n}^{-}$ - ${\$ 의 부분 합계가 - $-\infty$ ${\displaystyle -\inflit$ }인 $a_{n}^{-}$ 경향이 있기 때문에 항상 가능한 일이다 $-\infty$ 이제 다음이 있다.

\sum \sum \sum \sum _{n=1}a_{n}^{n1}a_{n}^{n}}}}{n\q=1}a_{n}^{n}+}+\sum _{n=1}a_{n}-}-}.

다시 한 번 말하지만

\sum _{n=1}^{p}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{q}a_{n}^{-}=a_{\sigma (1)}+\cdots +a_{\sigma (m_{1})}+a_{\sigma (m_{1}+1)}+\cdots +a_{\sigma (n_{1})},

와 함께

\sigma(m_{1}+1)<\pair <\sigma(n_{1}=q.

지도 σ은 주입식이며, 1은 1의 영상(a > 0) 또는₁ m + 1의 영상(< 0인 경우)으로 <의₁₁ 범위에 속한다.이제 n = p + 1로 시작하여 M을 초과할 정도의 양의 항만 추가한 다음, M보다 작은 양의 음의 항만 추가하는 과정을 반복하고, n = q + 1. 지금까지 선택한 모든 항을 포함하기 위해 주입식으로 σ을 확장하고, 현재 또는 이전에 a를₂ 선택해야 하므로 2가 범위에 속함을 관찰하십시오.이 연장의그 과정은 그러한 "방향의 변화"를 무한히 많이 가질 것이다.하나는 결국 재정비 σa를 얻는다._σ(n)첫 번째 방향 변경 후, aa의 각 부분 합은 $a_{p_{j}}^{+}$ j + $a_{p_{j}}^{+}$ {\ $displaystyle a_{p_}^{j$ }+} $a_{p_{j}}^{+}$ $|a_{q_{j}}^{-}|$ - $displaystyle a_{q_}}^{-}}}$ 의 절대값으로 $|a_{q_{j}}^{-}|$ M과 차이가 난다_σ(n).그러나 σa는 수렴하기 때문에 $a_{p_{j}}^{+}$ 이 무한의 경향이 있으므로 $a_{p_{j}}^{+}$ p $a_{p_{j}}^{+}$ + ${\$ }+}와 $a_{p_{j}}^{+}$ $a_{q_{j}}^{-}$ $a_{q_{j}}^{-}$ - ${\$ 는 0으로 간다 $a_{q_{j}}^{-}$ .따라서 σa의 부분 합은 M에 치우치는 경향이_σ(n) 있으므로 다음과 같은 것이 사실이다.

\sum _{n=1}^{\nft }a_{\sigma(n)}=M.

M 음극 또는 0에 대한 수렴을 나타내는데 동일한 방법을 사용할 수 있다.null

이제 일반적으로 작용하는 재배열 σ에 대한 공식적인 귀납적 정의를 내릴 수 있다.모든 정수 k ≥ 0에 대해, 정수 A와 실수_k S의_k 유한 집합이 정의된다.유도는 매 k > 0에 대해 k(k) 값을 정의하며, 집합 A는_k j ≤ k에 대한 σ(j) 값으로 구성되며, S는_k 재배열된 계열의 부분합이다.그 정의는 다음과 같다.

k = 0의 경우 유도는 A가₀ 비어 있고₀ S = 0으로 시작한다.
모든 k ≥ 0에 대해, 두 가지 경우가 있는데, 만일 S_k ≤ M, 그렇다면 σ(k+1)은 n이 A와_k 0에_n 있지 않은 가장 작은 정수 n ≥ 1이고, 만일_k S > M이라면 σ(k+1)은 n이 A와_k < 0에_n 있지 않은 가장 작은 정수 n ≥ 1이다.두 경우 모두 하나가 설정됨 $A_{k+1}=A_{k}\cup \{\sigma(k+1)\}\,;\quad S_{k+1}=S_{k}+a_{\sigma(k+1)$

reason은 정수의 순열이며, 순열은 주어진 실수 M으로 수렴한다는 것을 상기 이유를 사용하여 증명할 수 있다.

무한대로 분산되는 재배치의 존재

${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ = ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ ${\$ 을(를) 조건부 수렴 시리즈로 한다 ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ .다음은 이 시리즈의 재배열이 존재한다는 증거로서 $\infty$ { $\infit$ 을(를) 경향이 있다( $\infty$ - $-\infty$ ${\displaystyle$ - $\infit }$ 도 얻을 수 있다는 $-\infty$ 것을 보여주기 위해 유사한 주장을 사용할 수 있다).null

지수의 p1<>p2<p3<⋯{\displaystyle p_{1}<, p_{2}<, p_{3}<, \cdots}이 순서가 각 나는}{\displaystyle a_{p_{나는}}는 긍정적이고, n은 1<>를 정의하고, n2<n3<⋯{\displaystyle n_{1}<, n_{2}<, n_{3}<, \cdots}가 되기는 인덱스가 각자.오빠 나는{\displaystyle $a_{n_{i}}$ 은 $a_{n_{i}}$ (는) 음수( $a_{i}$ ${\$ 이(가) 결코 0이 아니라고 $a_{i}$ 가정함)이다.각 $(p_{i})$ 자연수는 시퀀스 $(p_{i})$ $(p_{i})$ ) ${\displaystyle(p_{i})$ 및 $(n_{i}).$ ( $(n_{i}).$ $(n_{i}).$ ) $(n_{i}).$ . ${\displaystyle(n_{i})$ 중 정확히 한 개에 나타난다. $}$

$b_{1}$ $b_{1}$ ${\$ }를 다음과 같은 가장 작은 자연수가 되도록 $b_{1}$ 한다.

\sum _{i=1}^{b_{1}a_{p_{i}}\geq a_{n_1} +1.

이러한 값은 $(a_{p_{i}}),$ ( $(a_{p_{i}}),$ $(a_{p_{i}}),$ ) $(a_{p_{i}}),$ , $(a_{p_{i}),$ 의 양수 용어 $(a_{p_{i}}),$ $(a_{i}),$ ) $(a_{i}),$ , $(a_{i}),$ 이 $(a_{i}),$ (가) 분리되기 때문에 존재해야 한다.마찬가지로 b $b_{2}$ ${\$ }를 자연수 중에서 가장 작은 숫자로 하여 $b_{2}$ 다음과 같이 한다.

\sum _{i=b_{1}+1}^{b_{2}}a_{p_{i}}\geq a_{n_{2}},

등등.이것은 순열로 이어진다.

(\sigma (1),\sigma (2),\sigma (3),\ldots )=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{b_{1}},n_{1},p_{b_{1}+1},p_{b_{1}+2},\ldots ,p_{b_{2}},n_{2},\ldots ).

그리고 재배열된 ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)},}$ 인 ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)},}$ i ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)},}$ = ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)},}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)},}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)},}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)},}$ ( ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)},}$ i ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)},}$ ) , {\ $textstyle \sum$ \ $sum _{i$ =1}^{\ $inft a_{\sigma (i)}}}}},$ 그리고 나서 ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)},}$ $\infty$ ${\displaysty \infty }$ 로 전환된다 $\infty$

$b_{i}$ $b_{i}$ ${\$ 를 선택한 $b_{i}$ 방법에서, 재배열된 시리즈의 첫 $b_{1}+1$ b $b_{1}+1$ + $b_{1}+1$ ${\displaystyle b_{1}+1} 항의$ 합계가 최소 1이고, 이 그룹의 부분 합이 0보다 작지 않은 것을 따른다.마찬가지로 다음 $b_{2}-b_{1}+1$ $b_{2}-b_{1}+1$ - $b_{2}-b_{1}+1$ $b_{2}-b_{1}+1$ + $b_{2}-b_{1}+1$ ${\displaystyle b_{2}-b_{1}+1} 항의$ 합도 최소 1이며, 이 그룹의 부분 합도 0보다 작지 않다.계속, 이 정도면 이 재배열된 합계가 실제로 $∞.{\displaystyle\infit.}$ 의 경향이 있다는 것을 증명할 수 있다.

유한 또는 무한의 한계에 접근하지 못하는 재배치의 존재

실제로 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ = ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\$ 이(가) 조건상 수렴인 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 경우, 재배열된 영상 시리즈의 부분 $\mathbb {R} .$ 이 R $\mathbb {R} .$ . $\mathb {R$ 의 밀도 하위 집합을 형성하도록 재배열이 있다.

일반화

시에르피에스키 정리

Riemann의 정리에서는 $\mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$ $\mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$ , $\mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$ - $\mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$ $\mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$ ${\displaystyle \mathb {R} \cupt;{\inflt \cupt$ \cupt $\}}}$ 에서 주어진 값을 얻기 위해 조건상 수렴 영상 시리즈를 재배열하는 데 사용되는 순열은 임의의 많은 비고정 포인트를 가질 수 있다 $\mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$ .조건부로 수렴되는 연속이 임의로 선택한 실수에 수렴하거나 (양수 또는 음수) 무한대로 전환되도록 더 작은 집합의 지수만 재정렬할 수 있는지 물어볼 수 있다.이 질문의 답은 예스지만 더 작은 값에만 해당된다.시에르피에스키는 오직 긍정적인 조건만을 재배열하면 원래 시리즈의 합보다 작거나 같은 어떤 규정된 값으로 수렴할 수 있지만 일반적으로 더 큰 값은 얻을 수 없다는 것을 증명했다.^[1]^[2]^[3]이 질문은 또한 이상 개념을 사용하여 탐구되었다. 예를 들어 윌치즈키는 비고정 지수의 집합이 점증 밀도 0의 이상(즉, 점증 밀도 0의 일련의 지수를 재배열하는 것으로 충분하다는 것을 증명했다.^[4]Filipow와 Szuca는 다른 이상들도 이러한 속성을 가지고 있다는 것을 증명했다.^[5]null

슈타이니츠의 정리

복잡한 숫자의 수렴 시리즈 σa를 고려할 때, 해당 시리즈의 조건을 재배열(상습)하여 얻은 모든 시리즈 σa에 대해 가능한 합계의 집합을 고려할 때 다음과 같은 몇 가지 사례가 발생할 수 있다.

시리즈 σa는 무조건 수렴할 수 있다. 그런 다음, 모든 재배열된 시리즈가 수렴하여 합이 같다. 재배열된 시리즈의 합계가 1점으로 감소한다.
시리즈 σa는 무조건 수렴하지 못할 수 있다; 만약 S가 수렴되는 배열된 시리즈들의 합계의 집합을 의미한다면, 세트 S는 형태의 복잡한 평면 C에서 선 L이다. $L=\{a+tb:t\in \mathb {R} \}},\quad a,b\in \mathb {C},\neq 0,$ 또는 집합 S는 전체 복합 평면 C이다.

보다 일반적으로 유한차원 실제 벡터 공간 E에서 벡터들의 수렴 시리즈를 감안할 때, 재배열된 직렬의 수렴 합계는 E의 아핀 하위 공간이다.

참고 항목

절대 수렴 § 재배열 및 무조건 수렴

참조

^ Sierpiński, Wacław (1910). "Contribution à la théorie des séries divergentes". Comptes rendus de l'Académie des Sciences Varsovie. 3: 89–93.
^ Sierpiński, Wacław (1910). "Remarque sur la théorème de Riemann relatif aux séries semi-convergentes". Prac. Mat. Fiz. XXI: 17–20.
^ Sierpiński, Wacław (1911). "Sur une propriété des séries qui ne sont pas absolument convergentes". Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie, Séries A. 149–158.
^ Wilczyński, Władysław (2007). "On Riemann derangement theorem". Słup. Pr. Mat.-Fiz. 4: 79–82.
^ Filipów, Rafał; Szuca, Piotr (February 2010). "Rearrangement of conditionally convergent series on a small set". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 362 (1): 64–71. doi:10.1016/j.jmaa.2009.07.029.

아포톨, 톰(1975)미적분, 제1권: 일변량 미적분학, 선형 대수에 대한 소개.
Banaszczyk, Wojciech (1991). "Chapter 3.10 The Lévy–Steinitz theorem". Additive subgroups of topological vector spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1466. Berlin: Springer-Verlag. pp. 93–109. ISBN 3-540-53917-4. MR 1119302.
Kadets, V. M.; Kadets, M. I. (1991). "Chapter 1.1 The Riemann theorem, Chapter 6 The Steinitz theorem and B-convexity". Rearrangements of series in Banach spaces. Translations of Mathematical Monographs. Vol. 86 (Translated by Harold H. McFaden from the Russian-language (Tartu) 1988 ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. pp. iv+123. ISBN 0-8218-4546-2. MR 1108619.
Kadets, Mikhail I.; Kadets, Vladimir M. (1997). "Chapter 1.1 The Riemann theorem, Chapter 2.1 Steinitz's theorem on the sum range of a series, Chapter 7 The Steinitz theorem and B-convexity". Series in Banach spaces: Conditional and unconditional convergence. Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 94. Translated by Andrei Iacob from the Russian-language. Basel: Birkhäuser Verlag. pp. viii+156. ISBN 3-7643-5401-1. MR 1442255.
와이스슈타인, 에릭(2005년).리만 시리즈 정리.2005년 5월 16일 회수.

[1] Sierpiński, Wacław (1910). "Contribution à la théorie des séries divergentes". Comptes rendus de l'Académie des Sciences Varsovie. 3: 89–93.

[2] Sierpiński, Wacław (1910). "Remarque sur la théorème de Riemann relatif aux séries semi-convergentes". Prac. Mat. Fiz. XXI: 17–20.

[3] Sierpiński, Wacław (1911). "Sur une propriété des séries qui ne sont pas absolument convergentes". Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie, Séries A. 149–158.

[4] Wilczyński, Władysław (2007). "On Riemann derangement theorem". Słup. Pr. Mat.-Fiz. 4: 79–82.

[5] Filipów, Rafał; Szuca, Piotr (February 2010). "Rearrangement of conditionally convergent series on a small set". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 362 (1): 64–71. doi:10.1016/j.jmaa.2009.07.029.

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