표현 텐서 제품

수학에서 표현에 대한 텐서 산물은 표현에 기초하는 벡터 공간의 텐서 산물이며, 제품에 대한 인자-현상 그룹 작용과 함께 그 기초가 된다.이 구조는 클렙슈-고단 절차와 함께 이미 몇 가지 알고 있는 경우, 추가적인 수정 불가능한 표현을 생성하는 데 사용될 수 있다.

정의

그룹 표현

If $V_{1},V_{2}$ are linear representations of a group $G$ , then their tensor product is the tensor product of vector spaces $V_{1}\otimes V_{2}$ with the linear action of $G$ uniquely determined by the condition that

g\cdot(v_{1}\otimes v_{2})=(g\cdot v_{1}}\otimes(g\cdot v_{2})

^[1]^[2]

for all $v_{1}\in V_{1}$ and $v_{2}\in V_{2}$ . Although not every element of $V_{1}\otimes V_{2}$ is expressible in the form $v_{1}\otimes v_{2}$ , the universal property of the tensor product 작동은 이 동작이 잘 정의되어 있음을 보장한다.

동형체 언어에서, $V_{1}$ 1 $V_{1}$ {\ $displaystyle V_{1$ }, $V_{2}$ $V_{2}$ {\ $displaystyle V_{2$ }}의 $G$ G{\ $displaystyle G$ }의 동작이 $V_{2}$ 동형체 $\Pi _{1}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{1})$ : $\Pi _{1}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{1})$ → $\Pi _{1}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{1})$ ( $\Pi _{1}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{1})$ 1 $){\displaystyle \Pi _{1}:$ $G\rightarrow \operatorname {GL}(V_{1})$ 및 $\Pi _{1}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{1})$ $\Pi _{2}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{2})$ $\Pi _{2}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{2})$ : G $\Pi _{2}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{2})$ → $\Pi _{2}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{2})$ $\Pi _{2}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{2})$ $\Pi _{2}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{2})$ $\Pi _{2}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{2})$ ) ${\displaystyle \Pi _{2}:$ $G\rightarrow \operatorname {GL}(V_{2})$ , 그러면 텐서 제품 표현은 동형성 $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{1}\otimes V_{2})$ $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{1}\otimes V_{2})$ ⊗ $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{1}\otimes V_{2})$ : G → $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{1}\otimes V_{2})$ (V $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{1}\otimes V_{2})$ $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{1}\otimes V_{2})$ V $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{1}\otimes V_{2})$ ) ${\displaysty \Pi _{1}\otimes$ }: $G\rightarrow \operatorname {GL$ }(V_ ${1}\otimes V_{2})$ 에 $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}:G\rightarrow \operatorname {GL} (V_{1}\otimes V_{2})$ 의해 제공됨

\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}(g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)

\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}(g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)

\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}(g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)

⊗

\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}(g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)

2

\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}(g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)

(

\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}(g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)

)

\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}(g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)

= ⊗

\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}(g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)

(

\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}(g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)

)

\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}(g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)

⊗

\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}(g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)

(

\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}(g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)

)

{

\ \ \ \ \ \

\pi \1}\otimes \Pi \{2}(g)=\Pi

\{1

}(g

)\

otimes \Pi \{2}(g)

,

여기서 $\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)$ $\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)$ ( $\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)$ ) $\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)$ ⊗ $\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)$ $\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)$ 2 ( $\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)$ ) ${\displaystyle \Pi _{1$ }(g $)\otimes \Pi \{2}(g)}$ 는 $\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)$ 선형 지도의 텐서 곱이다.^[3]

사람들은 텐서 제품의 개념을 한정된 수의 표현으로 확장할 수 있다.V가 그룹 G의 선형 표현인 경우, 위의 선형 작용으로 텐서 $T(V)$ T $){\디스플레이$ 스타일 $T(V)}$ 는 G의 대수적 표현이다 $T(V)$ . 즉, G의 각 요소는 대수 자동형으로서 작용한다.

리 대수적 표현

If $(V_{1},\pi _{1})$ and $(V_{2},\pi _{2})$ are representations of a Lie algebra ${\mathfrak {g}}$ , then the tensor product of these representations is the map ${\displayst$ $yle \pi _{1}\otimes \pi _{2}:{$ 2}}\ $mathfrak {g}\오른쪽$ 화살표 $\operatorname$ {End $}(V_{1$ }\ $otimes V_{2}})$ 이 $\pi _{1}\otimes \pi _{2}:{\mathfrak {g}}\rightarrow \operatorname {End} (V_{1}\otimes V_{2})$ ^[4](가) 제공함

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

2

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

(

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

X ) =

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

( X )

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

+

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

I

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

π

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

{

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

{ { {

\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)

2 \\

displaystyle

\

pi _{1}\notimes \pi _{1}(X)=\1

}\

pi

\

\

\ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ \ \ \ \ \ \

여기서 $I$ $I$ 은 $I$ (는) 정체성 내형성이다.The motivation for this definition comes from the case in which $\pi _{1}$ and $\pi _{2}$ come from representations $\Pi _{1}$ and $\Pi _{2}$ of a Lie group $G$ . In that case, a simple computation shows th $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}$ $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}$ $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}$ ⊗ $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}$ 2 ${\$ }와 연관된 Lie 대수표현에서 앞의 공식으로 주어진다 $\Pi _{1}\otimes \Pi _{2}$ .^[5]

선형 지도에서 수행

If $(V_{1},\Pi _{1})$ and $(V_{2},\Pi _{2})$ are representations of a group $G$ , let $\operatorname {Hom} (V_{1},V_{2})$ denote the space of all linear maps from ${\displaysty$ Le $V_$ {1 $}:{$ 1 $}~$ $V_{2}$ 2 ${\$ 그러면 $\operatorname {Hom} (V_{1},V_{2})$ $\operatorname {Hom} (V_{1},V_{2})$ $\operatorname {Hom} (V_{1},V_{2})$ , $\operatorname {Hom} (V_{1},V_{2})$ 2) ${\displaystyle \operatorname {Hom}(V_{1},V_{2$ })을 정의하여 표현 구조를 지정할 수 있다 $\operatorname {Hom} (V_{1},V_{2})$ .

g\cdot A=\Pi _{2}(g)A\Pi _{1}(g)^{-1

모든 $A\in \operatorname {Hom} (V,W)$ $A\in \operatorname {Hom} (V,W)$ $A\in \operatorname {Hom} (V,W)$ $A\in \operatorname {Hom} (V,W)$ $A\in \operatorname {Hom} (V,W)$ , W $A\in \operatorname {Hom} (V,W)$ ) $A\in \operatorname {Hom} (V,W)$ 에 대해 $A\in \operatorname {Hom} (V,W)$ 이제 자연 이형성이 존재한다.

\operatorname {Hom}(V,W)\cong V^{*}\otimes W

벡터 공간으로서;^[2] 이 벡터 공간 이형성은 사실 표현의 이형성이다.^[6]

사소한 하위 표현 $\operatorname {Hom} (V,W)^{G}$ $\operatorname {Hom} (V,W)^{G}$ ( $\operatorname {Hom} (V,W)^{G}$ , $\operatorname {Hom} (V,W)^{G}$ ) G ${\$ 는 G-선형 지도로 구성된다 $\operatorname {Hom} (V,W)^{G}$ .

\operatorname {Hom} _{G}(V,W)=\operatorname {Hom}(V,W)^{G}.

Let $E=\operatorname {End} (V)$ = $E=\operatorname {End} (V)$ $E=\operatorname {End} (V)$ ( $E=\operatorname {End} (V)$ ) $E=\operatorname {End}(V)$ 은 V의 내형성 대수학을 나타내며 $E=\operatorname {End} (V)$ A는 대칭 텐셔너로 $E^{\otimes m}$ $E^{\otimes m}$ 된 E $E^{\otimes m}$ m $E^{\otimes m}$ {\ $displaystyle$ E $^{\otimes$ m $}$ 의 하위격자를 나타낸다.불변 이론의 주요 정리는 A는 기지장의 특성이 0일 때 반실행한다고 명시하고 있다.

클렙슈-고단 이론

일반적인 문제

그룹 또는 Lie 대수 $V_{1},V_{2}$ 1, $V_{1},V_{2}$ $V_{1},V_{2}$ ${\$ 의 두 가지 수정 불가능한 표현들의 텐서 제품은 보통 수정 불가능한 것이 아니다.따라서 $V_{1}\otimes V_{2}$ $V_{1}\otimes V_{2}$ $V_{1}\otimes V_{2}$ $V_{1}\otimes V_{2}$ $V_{1}\otimes V_{2}$ ${\$ }}개를 복구할 수 없는 조각으로 $V_{1}\otimes V_{2}$ 분해하려고 시도하는 것이 흥미롭다.이 분해 문제는 클렙슈-고단 문제로 알려져 있다.

SU(2) 케이스

이 문제의 원형적인 예는 회전 그룹 SO(3) 또는 그것의 이중 커버인 특수 단일 그룹 SU(2)의 경우다.수정 불가능한 SU(2)의 표현은 가능한 값이 다음과 같은 매개 변수 $\ell$ $\ell$ 에 의해 설명된다 $\ell$

\ell =0,1/2,1,3/2,\ldots .

(그 다음 표현 치수는 $2\ell +1$ $2\ell +1$ + $2\ell +1$ ${\displaystyle 2\ell +$ 1} 입니다 $.)$ $\ell \geq m$ {\ $displaystyle \ell }$ 과 $\ell$ $m$ ( $와$ $)$ m {\ $displaystyle \ell \geq m}$ 두 개의 매개 변수를 사용합시다 $\ell \geq m$ 그런 다음 텐서 제품 $V_{\ell }\otimes V_{m}$ V $V_{\ell }\otimes V_{m}$ $V_{\ell }\otimes V_{m}$ $V_{\ell }\otimes V_{m}$ $V_{\ell }\otimes V_{m}$ ${\$ 이 $V_{\ell }\otimes V_{m}$ (가) 분해된다.^[7]

V_{\ell }\otimes V_{m}\cong V_{\ell +m}\oplus V_{\n1}\oplus V_{\ell+1}\cdots \oplus V_{\ell -m+1}\oplus V_{\lus -m}.

예를 들어 $V_{3/2}$ 표현 $V_{3/2}$ $V_{3/2}$ / 2 ${\$ 의 $V_{3/2}$ 텐서 제품 및 3차원 표현 $V_{1}$ ${\$ 1}를 예로 들어보자 $V_{1}$ 텐서 제품 표현 $V_{3/2}\otimes V_{1}$ $V_{3/2}\otimes V_{1}$ / $V_{3/2}\otimes V_{1}$ $V_{3/2}\otimes V_{1}$ $V_{3/2}\otimes V_{1}$ $V_{3/2}\otimes V_{1}$ ${\$ }는 치수 12를 가지며 $V_{3/2}\otimes V_{1}$ 분해된다.

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

/

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

⊗ V

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

/

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

/

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

/ 2 { V 1

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

/

V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}

{\

2}\

cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}},

, , ,

우측의 표시는 각각 치수 6, 4, 2를 가진다.우리는 이 결과를 산술적으로 $4\times 3=6+4+2$ $4\times 3=6+4+2$ 3 $4\times 3=6+4+2$ = $4\times 3=6+4+2$ + $4\times 3=6+4+2$ + $4\times 3=6+4+2$ $[\displaystyle 4\times 3=6+4+2}$ 로 요약할 수 있다 $4\times 3=6+4+2$

SU(3) 케이스

그룹 SU(3)의 경우, 다음과 같이 표준 3차원 표현과 그 이중에서 모든 취소할 수 없는 표현을 생성할 수 있다.라벨 $(m_{1},m_{2})$ $(m_{1},m_{2})$ , $(m_{1},m_{2})$ $(m_{1},m_{2})$ ) $(m_{1},m_{2}}$ 을 $(m_{1},m_{2})$ 를) 사용하여 표현을 생성하려면 표준 $m_{1}$ 에 $m_{1}$ $m_{1}$ m 1 $m_{1}$ {\ $displaystyle$ m_{ $1}}$ 의 텐서 제품과 표준 표현 이중의 $m_{2}$ $m_{2}$ ${\$ }}개의 복사본을 $m_{2}$ 가져온 다음 불변형 아공간 생성물을 취한다.최고 중량 벡터의 텐서 곱에 의해 유도된다.^[8]

SU(2)의 상황과 대조적으로, SU(3)의 Clebsch-Gordan 분해에서는 $U\otimes V$ $U\otimes V$ $U\otimes V$ $U\otimes V$ 분해에서 주어진 불가해한 $표현$ W $W$ 이(가) 두 번 이상 발생할 수 있다 $W$ $U\otimes V$

텐서 파워

벡터 공간과 마찬가지로 표현력의 텐서력을 정의할 수 있다. V $V^{\otimes k}$ 에 주어진 동작으로 $V^{\otimes k}$ 벡터 공간 $V^{\otimes k}$ $V^{\otimes k}$ k ${\$ 이 된다.

대칭 및 교대 사각형

특성 0의 영역에 걸쳐 대칭과 교대 사각형은 두 번째 텐서 파워의 하위 표현이다.이들은 주어진 불분명한 캐릭터가 진짜인지, 복잡한지, 또는 양수인지를 나타내는 프로베니우스-슈르 지표를 정의하는 데 사용될 수 있다.그것들은 슈르 펑커스의 예들이다.그것들은 다음과 같이 정의된다.

내버려두다V벡터 공간이다내형성 정의(자기 지도)T $V\otimes V$ 과 $V\otimes V$ $V\otimes V$ V $V\otimes V$ { $V\otimes V$ V {\ $displaystyle V\otimes$ V $}$ 의 V of V {\displaystyle V}:

{\reasoned}정렬}}T:V\otimes V&\longrightarrow V\times V\\v\times w.\longmapsto w&\times v.\end}정렬}}

^[9]

그것은 비자발적(그 자체의 역)이며, $V\otimes V$ $V\otimes V$ $V\otimes V$ $V\otimes V$ 의 자동형성(자체 이형성)도 마찬가지다 $V\otimes V$

두 번째 텐서 파워의 하위 세트 두 개 정의V,

{\begin{aligned}\operatorname {Sym} ^{2}(V)&:=\{v\in V\otimes V\mid T(v)=v\}\\\operatorname {Alt} ^{2}(V)&:=\{v\in V\otimes V\mid T(v)=-v\}\end{aligned}}

각각 , V $V\odot V$ $V\odot V$ ${\displaystyle V\odot V$ 의 대칭 제곱과 , $V\wedge V$ $V\wedge V$ $V\wedge V$ ${\displaystyle$ V $\wedge V}$ 의 교대 제곱이다 $V\wedge V$ ^[10]대칭과 교대칭 정사각형은 텐서 제품의 대칭 부분과 대칭 부분이라고도 한다.^[11]

특성.

선형 표현에서 두 번째 텐서 검정력V집단의G대칭 제곱과 교대 제곱의 직접 합으로 분해된다.

V^{\otimes 2}=V\cong \operatorname {Sym} ^{2}(V)\oplus \operatorname {Alt} ^{2}(V)

대표로서특히 두 가지 모두 두 번째 텐서 파워의 하위 표현이다.그룹 링 위의 모듈 언어에서 대칭 및 교대 $\mathbb {C} [G]$ 은 V $\mathbb {C} [G]$ V ${\$ $displaystyle \mathb {C} [G]}$ -submodules $\mathbb {C} [G]$ of $V\otimes V$ $V\otimes V$ $V\otimes V$ {\ $displaystyle V\otimes$ V $}$ 이다 $V\otimes V$ ^[12]

만약Vhas a basis $\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ , then the symmetric square has a basis $\{v_{i}\otimes v_{j}+v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i\leq j\leq n\}$ and the alternating square has a basis $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ ∣ $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ < $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$ ${\displaystyle \{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq$ n $\}$ 따라서 $\{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}$

{\begin{aligned}\dim \operatorname {Sym} ^{2}(V)&={\frac {\dim V(\dim V+1)}{2}},\\\dim \operatorname {Alt} ^{2}(V)&={\frac {\dim V(\dim V-1)}{2}}.\end{정렬}}

^[13]^[10]

$\chi :G\to \mathbb {C}$ : $\chi :G\to \mathbb {C}$ → $\chi :G\to \mathbb {C}$ ${\$ 를) $V$ $V$ 의 $\chi :G\to \mathbb {C}$ 문자로 한다 $V$ 그러면 대칭과 교대 제곱의 문자를 다음과 같이 계산할 수 있다.g에G,

{\begin{aligned}\chi _{\operatorname {Sym} ^{2}(V)}(g)&={\frac {1}{2}}(\chi (g)^{2}+\chi (g^{2})),\\\chi _{\operatorname {Alt} ^{2}(V)}(g)&={\frac {1}{2}}(\chi (g)^{2}-\chi (g^{2})).\end{정렬}}

^[14]

대칭 및 외부 파워

다행 대수에서와 같이, 특성 0의 영역에 걸쳐, 보다 일반적으로 정의 할 수 있다.k ^th대칭 $\operatorname {Sym} ^{n}(V)$ 전력 $\operatorname {Sym} ^{n}(V)$ $\operatorname {Sym} ^{n}(V)$ $\operatorname {Sym} ^{n}(V)$ ( $\operatorname {Sym} ^{n}(V)$ ) $\operatorname {Sym} ^{n}(V)$ 및k ^th외부 전원 $\Lambda ^{n}(V)$ ( $\Lambda ^{n}(V)$ ) ${\displaystyle \Lambda ^{n}(V$ )}의 하위 공간인 $\Lambda ^{n}(V)$ \displaystyle \Lambda ^{n}(V $)}$ k^th 텐서 또는 파워(이 구조에 대한 자세한 내용은 이 페이지를 참조하십시오).그것들은 또한 하위 표현들이지만, 더 높은 텐서 파워들은 더 이상 그들의 직접 총액으로 분해되지 않는다.

슈르-와일 이중성은 일반 선형 그룹 $G=\operatorname {GL} (V)$ = $G=\operatorname {GL} (V)$ $G=\operatorname {GL} (V)$ $G=\operatorname {GL} (V)$ $G=\operatorname {GL} (V)$ ${\displaystyle$ G $=\operatorname {GL}}$ 의 표현력 텐서러 파워로 발생하는 불가해한 표현을 계산한다 $G=\operatorname {GL} (V)$ 정확히는 $S_{n}\times G$ $S_{n}\times G$ $S_{n}\times G$ $S_{n}\times G$ -module로 $S_{n}\times G$ 한다.

V^{\otimes n}\simeq \bigoplus _{\lambda }{\lambda }\otimes S^{\lambda }(V)

어디에

$M_{\lambda }$ ${\$ $lambda$ $}}}}}$ 은(는) n의 $\lambda$ 파티션 $\lambda$ {\ $displaystyle$ $S_{n$ $}}$ 에 $S_{n}$ 해당하는 대칭 $S_{n}$ S ${$ $}$ 을(가) 수정할 수 없는 표현이다 $M_{\lambda }$ .
$S^{\lambda }(V)$ $S^{\lambda }(V)$ ( $S^{\lambda }(V)$ ) ${\displaystyle$ S $^{\lambda }(V)}}$ 은 $S^{\lambda }(V)$ (는 $c_{\lambda }:V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}$ 영 대칭저 $c_{\lambda }:V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}$ : $c_{\lambda }:V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}$ $c_{\lambda }:V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}$ → V $c_{\lambda }:V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}$ {\ $displaystyle c_$ {\lambda $}::$ $V^{\othesn}\to$ V $^{\othesn$

매핑 $V\mapsto S^{\lambda }(V)$ $V\mapsto S^{\lambda }(V)$ $V\mapsto S^{\lambda }(V)$ $V\mapsto S^{\lambda }(V)$ ( $V\mapsto S^{\lambda }(V)$ ) $V\mapsto S^{\lambda }(V)$ 는 $V\mapsto S^{\lambda }(V)$ Schur functor라고 하는 펑터다.대칭 및 외부 전력의 구조를 일반화한다.

S^{(n)}(V)=\operatorname {Sym}^{n}V,\,\,\,S^{(1,1,\dots,1)}(V)=\wedge ^{n}V.

특히 G-모듈로서 위의 내용은 다음과 같이 단순화된다.

V^{\otimes n}\simeq \bigoplus _{\lambda }S^{\lambda }^{\oplus m_{\lambda }}}}}}

여기서 $m_{\lambda }=\dim M_{\lambda }$ $m_{\lambda }=\dim M_{\lambda }$ = $m_{\lambda }=\dim M_{\lambda }$ $m_{\lambda }=\dim M_{\lambda }$ $m_{\lambda }=\dim M_{\lambda }$ $m_{\lambda }=\dim M_{\lambda }$ ${\$ $m_{\lambda }=\dim M_{\lambda }$ 더욱이 다중성 $m_{\lambda }$ ${\$ 은 프로베니우스 공식(또는 후크 길이 공식)으로 계산할 수 있다 $m_{\lambda }$ .예를 들어 $n=3$ = $n=3$ $n=3$ 을(를) 선택하십시오 $n=3$ Then there are exactly three partitions: $3=3=2+1=1+1+1$ and, as it turns out, $m_{(3)}=m_{(1,1,1)}=1,\,m_{(2,1)}=2$ . Hence,

V^{\otimes 3}\simeq \operatorname {Sym}^{3}V\bigoplus \wedge ^{3}V\bigoplus S^{(2,1)}^{\oplus 2}.

슈르 펑커스 관련 텐서 제품

$S^{\lambda }$ S $\{\displaystyle$ S $^{\$ $lambda$ }}}은 칸막이에 따라 정의된 Schur functor를 $S^{\lambda }$ 나타내며 $\lambda$ 과 같이 분해된다 $\lambda$ ^[15]

S^{\lambda }V\otimes S^{\mu }V\simeq \bigoplus _{\nu }V)^{\oplus N_{\lambda \nu \nu \}}}}}}}

여기서 승수 $N_{\lambda \mu \nu }$ $N_{\lambda \mu \nu }$ $N_{\lambda \mu \nu }$ $N_{\lambda \mu \nu }$ μ ${$ ${\displaystyle$ N_{\lambda $\mu \nu }}}$ 은 리틀우드-리처드슨 규칙에 의해 주어진다 $N_{\lambda \mu \nu }$ .

유한차원 벡터 공간 V, W, Schur functor S는^λ 분해물을 제공한다.

\operatorname {Sym}(W^{*}\otimes V)\simeq \bigoplus _{\lambda }{}{\lambda }}}\otimes S^{\lambda }(V)

왼쪽은 홈(V, W)에서 다항식 함수의 링 k[Hom(V, W)] = k[V ⊗ W]로 식별할 수 있으며, 따라서 위는 k[Hom(V, W)]의 분해도 제공한다.

제품 그룹의 표현으로서 텐서 제품 표현

G, $(\pi ,V)$ 를 두 그룹으로 하고 ( $(\pi ,V)$ $(\rho ,W)$ $(\pi ,V)$ , V $(\pi ,V)$ ) $(\pi ,V)$ 과 $(\pi ,V)$ ( $(\rho ,W)$ , $(\rho ,W)$ ) ${\displaystyle$ (\ $rho ,W)}$ 을 각각 G와 H의 표현으로 $(\rho ,W)$ 한다.그러면 우리는 직거래 제품 그룹 $G\times H$ $G\times H$ $G\times H$ $G\time H$ 이(가) Tensor $V\otimes W$ 공간 $\$ W {\ $displaystyle V\otimes W}$ 에 대해 공식으로 $G\times H$ $V\otimes W$ 작업하도록 할 수 있다.

[\displaystyle (g,h)\cdot (v\otimes w)=\pi (g)v\otimes \rho (h)w.}

$G=H$ = $G=H$ ${\displaystyle$ G $=H}$ 이 $G=H$ 가) 있더라도, $G$ $G$ 의 두 가지 표현에 대한 텐서 제품을 $G$ {\ $displaystyle$ G}의 표현으로 $G\times G$ 볼 수 있도록 $G$ 이 구성을 수행할 수 있다 $G$ 따라서 G $G$ 의 표현보다는 G $}$ 의 표현으로 볼 수 있다. c에 중요하다. $G$ ${\displaystyle$ $G$ $}$ 의 두 가지 표현에 대한 텐서 제품이 $G$ ${\displaystyle$ G $}$ 의 $G$ 표현으로 보여지는지 아니면 $G\times G$ $G\times G$ $G\times G$ $G\time G$ 의 표현으로 보여지는지 $G$ 여부를 유추한다 $G\times G$

위에서 논의한 Clebsch-Gordan 문제와 대조적으로, $G$ $G$ 의 두 가지 수정 불가능한 표현에 대한 텐서 제품은 $G\times G$ $G\times G$ $G\times G$ G $G\times G$ 의 표현으로 볼 때 수정할 수 없다 $G$ $G\times G$

참고 항목

메모들

^ 세레 1977, 페이지 8.
^ ^a ^b Fulton & Harris 1991, 페이지 4.
^ 홀 2015 섹션 4.3.2
^ 홀 2015 정의 4.19
^ 홀 2015 제안 4.18
^ 홀 2015 페이지 433-434
^ 홀 2015 정리 C.1
^ 홀 2015 제안서 6.17
^ Precisely, we have $V\times V\to V\otimes V,(v,w)\mapsto v\otimes w$ , which is bilinear and thus descends to the linear map $V\otimes V\to V\otimes V.$
^ ^a ^b 1977년, 페이지 9.
^ 제임스 2001 페이지 196.
^ 제임스 2001, 발의안 제19.12호
^ 제임스 2001, 발의안 제19.13호
^ 제임스 2001, 발의안 제19.14호
^ 풀턴-해리스, § 6.1. Corolay 6.6. harvnb 오류 직후: 대상 없음: CITREFFulton-해리스(도움말)

참조

Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
James, Gordon Douglas (2001). Representations and characters of groups. Liebeck, Martin W. (2nd ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0521003926. OCLC 52220683.
Claudio Processi(2007) Lie Groups: 불변과 표현을 통한 접근법, Springer, ISBN 9780387260402 .
Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90190-9. OCLC 2202385.

[FOOTNOTESerre19778-1] 세레 1977, 페이지 8.

[FOOTNOTEFultonHarris19914-2] Fulton & Harris 1991, 페이지 4.

[3] 홀 2015 섹션 4.3.2

[4] 홀 2015 정의 4.19

[5] 홀 2015 제안 4.18

[6] 홀 2015 페이지 433-434

[7] 홀 2015 정리 C.1

[8] 홀 2015 제안서 6.17

[9] Precisely, we have $V\times V\to V\otimes V,(v,w)\mapsto v\otimes w$ , which is bilinear and thus descends to the linear map $V\otimes V\to V\otimes V.$

[FOOTNOTESerre19779-10] 1977년, 페이지 9.

[FOOTNOTEJames2001196-11] 제임스 2001 페이지 196.

[FOOTNOTEJames2001Proposition_19.12-12] 제임스 2001, 발의안 제19.12호

[FOOTNOTEJames2001Proposition_19.13-13] 제임스 2001, 발의안 제19.13호

[FOOTNOTEJames2001Proposition_19.14-14] 제임스 2001, 발의안 제19.14호

[15] 풀턴-해리스, § 6.1. Corolay 6.6. harvnb 오류 직후: 대상 없음: CITREFFulton-해리스(도움말)

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