정류대수의 동질적 추측

수학에서는 1960년대 초부터 호몰로지 추측이 역학대수학에서 연구 활동의 초점이 되어 왔다.그들은 특히 Krull 치수 및 깊이와 같은 내부 고리 구조와 관련된 여러 가지 상호 관련(때로는 놀랍게도) 추측을 다룬다.

멜빈 호크스터가 제공한 다음 목록은 이 분야에 대한 확정적인 것으로 간주된다.In the sequel, $A,R$ , and $S$ refer to Noetherian commutative rings; $R$ will be a local ring with maximal ideal $m_{R}$ , and $M$ and $N$ are finitely generated $R$ -modules

제로 디비저 정리. $M\neq 0$ $M\neq 0$ $M\neq 0$ ${\displaystyle M\neq$ 0 $}$ 이(가) 유한 투영 치수를 가지고 $M\neq 0$ $r\in R$ r $r\in R$ r R $r\in R$ {\ $displaystyle$ r\ $in$ R}이 $r\in R$ (가) M{\ $displaystyle M}$ 에서 0 divisor가 아닌 경우 $M$ $r$ ${\displaystystyle r$ $}$ 은 R $}$ 에서 0 divor가 아니다 $r$ $R$
베이스의 질문. $M\neq 0$ $M\neq 0$ $M\neq 0$ $M\neq 0$ 이(가) 유한 주입 분해능을 갖는 $M\neq 0$ 경우 $R$ $R$ 은 $R$ (는) 코헨-매컬레이 링이다.
교차로 정리. $M\otimes _{R}N\neq 0$ $M\otimes _{R}N\neq 0$ $M\otimes _{R}N\neq 0$ $M\otimes _{R}N\neq 0$ $M\otimes _{R}N\neq 0$ 0 $M\otimes _{R}N\neq 0$ 의 $M\otimes _{R}N\neq 0$ 길이가 유한할 경우 N의 Krull 치수(즉, N의 섬멸기 R modulo 치수)는 최대 투영 치수 M이다.
새로운 교차로의 정리. $\bigoplus \nolimits _{i}H_{i}(G_{\bullet })$ $0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0$ → $0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0$ n $0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0$ → $0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0$ → $0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0$ $0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0$ → $0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0$ ${\displaystyle 0\to G_{n}\cdots \to$ $\bigoplus \nolimits _{i}H_{i}(G_{\bullet })$ ${0}\to$ 0 $}은$ 0 i Hi ( $\bigoplus \nolimits _{i}H_{i}(G_{\bullet })$ $\bigoplus \nolimits _{i}H_{i}(G_{\bullet })$ ) $\bigoplus \nolimits _{i$ 과 같은 자유 R-modules의 유한 콤플렉스를 나타낸다 $0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0$ . $H_{i}(G_{\bullet }})$ 의 길이는 $\bigoplus \nolimits _{i}H_{i}(G_{\bullet })$ 유한하지만 0은 아니다.그런 다음 (Krull 치수) $\dim R\leq n$ 한 $\dim R\leq n$ $\dim R\leq n$ n ${\displaystyle \dim R\leq$ n $\dim R\leq n$
개선된 새로운 교차로 추측.0→ Gn→ ⋯ → G 0→ 0{\displaystyle 0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0}일 경우 자유 R-modules가 Hi(G∙){\displaystyle H_{나는}(G_{\bullet})}에 나는입니다.;0{\displaystyle i>0}과 H0(G∙){\displaystyle H_{0}(G_{\bullet})}이 유한 길이가 작은 유한한 단지 의미한다자.gmalR의 최대 이상에 의한 힘에 의해 죽임을 당하는 에너제.그런 다음 $\dim R\leq n$ $\dim R\leq n$ $\dim R\leq n$ $\dim R\leq n$ $\dim R\leq n$ .
'직접 총수와 추측' $R\subseteq S$ $R\subseteq S$ $R\subseteq S$ $R\subseteq S$ 이(가) R 정규이 있는 모듈-핀라이트 링 확장인 경우 $R\subseteq S$ (여기서 R은 국소적일 필요는 없지만 문제는 국소 케이스로 한 번에 감소함) R은 R-모듈로서 S를 직접 합한 것이다.그 추측은 이브 안드레에 의해 완벽한 공간 이론을 사용하여 증명되었다.^[1]
성론적 요소 추측.Let $x_{1},\ldots ,x_{d}$ be a system of parameters for R, let $F_{\bullet }$ be a free R-resolution of the residue field of R with $F_{0}=R$ , and let $K_{\bullet }$ denote the Koszul complex of R with respect to $x_{1},\ldots ,x_{d}$ $x_{1},\ldots ,x_{d}$ , $x_{1},\ldots ,x_{d}$ … $x_{1},\ldots ,x_{d}$ , $x_{1},\ldots ,x_{d}$ d $x_{1},\ldots ,x_{d}$ {\ $displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d$ $R=K_{0}\to F_{0}=R$ R $R=K_{0}\to F_{0}=R$ = $R=K_{0}\to F_{0}=R$ $R=K_{0}\to F_{0}=R$ → $R=K_{0}\to F_{0}=R$ $R=K_{0}\to F_{0}=R$ = $R=K_{0}\to F_{0}=R$ $R=K_{0}\F_{0}=R$ 을(를) 콤플렉스 맵으로 $R=K_{0}\to F_{0}=R$ 들어 올린다.그렇다면 파라미터의 시스템이나 리프팅의 어떤 선택을 하든, $R=K_{d}\to F_{d}$ = $R=K_{d}\to F_{d}$ d → $R=K_{d}\to F_{d}$ $R=K_{d}\to F_{d}$ ${\daystyle$ R=K_ ${d$ }\ $to$ F_{ $d}}}$ 의 마지막 맵은 0이 아니다 $R=K_{d}\to F_{d}$ .
Balance Big Cohen-Macually Big Cohen-Macuallay Modules Obsture.mW_R ≠ W와 R에 대한 모든 매개변수 시스템이 W의 정규 시퀀스인 (필요하게 생성되는 것은 아님) R-모듈 W가 존재한다.
코헨-맥컬라이어티 다이렉트 서밋즈 추측.R이 일반 링 S를 R-모듈로 직접 합친 것이라면 R은 코헨-매컬레이(R은 국소일 필요는 없지만 R이 국소일 경우에는 한 번에 감소한다)이다.
토르의 지도에 대한 사라져가는 추측. $A\subseteq R\to S$ $A\subseteq R\to S$ $A\subseteq R\to S$ → $A\subseteq R\to S$ $A\subseteq R\to S$ 을(를) 반드시 국부적이지 않은 동형체(단, 그 경우로 축소할 수 있음)로 $A\subseteq R\to S$ 하고 A, S 정규 및 R은 A-모듈로 미세하게 생성한다.W를 아무 A-모듈이 되게 하라.Then the map $\operatorname {Tor} _{i}^{A}(W,R)\to \operatorname {Tor} _{i}^{A}(W,S)$ is zero for all $i\geq 1$ .
강력한 직접적 종합과 추측. $R\subseteq S$ $R\subseteq S$ $R\subseteq S$ $R\subseteq S$ 을(를) 완전한 로컬 도메인의 지도가 되게 $R\subseteq S$ 하고, Q를 $x$ {\ $displaystyle xR}$ 위에 누운 S의 높이 하나의 기본 이상이 되게 한다 $xR$ 여기서 R과 $R/xR$ R ${\displaysty R/xR}$ 은 모두 정규적이다 $R/xR$ .그 다음 $x$ $R$ $xR$ 은 $xR$ (는) R-모듈로 간주되는 Q의 직접 합이다.
약하게 웃기는 빅 코헨-맥컬레이 알헤브라스 추측의 존재. $R\to S$ → $R\to S$ $R\to S$ 을(를) 완전한 로컬 도메인의 로컬 동형성이 되도록 $R\to S$ 하라.그 다음, R에 대한 Cohen-Maculay 대수학인 R-algebra_R B, S에 대한 Cohen-Maculay $B_{S}$ 인 $B_{S}$ $B_{S}$ B ${\$ 그리고 이러한 지도에 의해 주어지는 자연 사각형이 통용되는 동형 B_R → B가_S 있다.
세레의 다중성에 대한 추측. (cf.세레의 다중성 추측)R이 차원 $M\otimes _{R}N$ 의 정규이고 M $M\otimes _{R}N$ $M\otimes _{R}N$ N $M\otimes _{R}N$ 의 $M\otimes _{R}N$ 길이가 유한하다고 가정하자.그리고 χ(M, N){\displaystyle \chi(M,N)}, 토르 나는 R⁡(M, N){\displaystyle \operatorname{토르}_ᆮ^ᆯ(M,N)그 모듈의 길이의 교대의 합으로 정의된}은 0은 어둑하⁡ M+희미한 ⁡ N<>d{\displaystyle \dim M+\dim N<, d} 하고, 합 페니와 같은지 긍정적이다.(NB장 피에르 세르 번째 것을 증명했다.t에서그의 합계는 d를 초과할 수 없다.)
소형 코헨-매컬레이 모듈 추측.R이 완료되면, 정밀하게 생성된 R-모듈 $M\neq 0$ $M\neq 0$ 0 [\ $displaystyle M\neq 0]$ 이 존재하여 R에 $M\neq 0$ 대한 매개변수의 일부(동일하게 모든) 시스템이 M의 정규 시퀀스인 것이다.