정연한 순서

정류 대수학에서, 규칙적인 순서는 정밀한 의미에서 가능한 한 독립된 정류 링의 원소들의 순서다.이것은 완전한 교차점의 기하학적 개념의 대수적 아날로그다.

정의들

정류 링 R과 R-모듈 M의 경우, r m = 0이 m의 m = 0을 의미하면 R의 원소 r을 M의 비제로-divisor라고 부른다.M-정기 시퀀스는 시퀀스

r₁, ..., r_d in R

그러한 r은_i i = 1, ..., d에 대한 M/(r₁, ..., r_i-1)M에 대한 영분할이 아니다.^[1] 일부 저자는 또한 M/(r₁, ..., r_d)M이 0이 아니라고 요구한다.직감적으로 r₁, ..., r이_d M-정기서열이라고 하는 것은, M에서 M/(r₁)M, M/(r₁)M, M/(r₂)M 등으로 연속적으로 통과할 때, 이러한 요소들이 가능한 한 "M을 잘라낸다"는 것을 의미한다.

R-정기 시퀀스는 단순히 정규 시퀀스라고 불린다.즉, r₁₁, ..., r은_d R에서 비제로-divisor이고, r은₂ 링 R/(r₁)에서 비제로-divisor인 경우 정규 시퀀스다.기하학 언어에서 X가 어음 체계이고 r₁, ..., r이_d X의 정규 함수 링에서 규칙적인 순서라면, 우리는 닫힌 하위 체임 {r₁=0, ..., r_d=0} ⊂ X가 X의 완전한 교차 하위 체임이라고 말한다.

규칙적인 순서가 되는 것은 원소의 순서에 따라 달라질 수 있다.예를 들어 x, y(1-x), z(1-x)는 다항 링 C[x, y, z]의 정규 시퀀스인 반면 y(1-x), z(1-x), x는 정규 시퀀스가 아니다.그러나 R이 노메테리아 지방 링이고 원소 r이_i 최대 이상에 있거나, R이 등급이 매겨진 링이고 r이_i 양도의 동질인 경우, 규칙적인 순서의 순열은 일정한 순서가 된다.

R은 노메테리아 링이 되고, 나는 R에서 이상적이며, M은 미세하게 생성된 R-모듈이 되게 하라.M에 대한 I의 깊이, 서면 깊이_R(I, M) 또는 정의 깊이(I, M)는 I의 모든 요소 M-정규적 시퀀스의 길이에 대한 우월성이다.R이 노메테리아 로컬 링이고 M이 미세하게 생성된 R-모듈일 때, M의 깊이, 문자 깊이_R(M) 또는 단지 깊이(M)를 의미하며, 즉_R R의 최대 이상적 M에서 모든 M-정렬 시퀀스의 길이의 우월성이 된다.특히 노에테리아 지방 링 R의 깊이는 R-모듈로서의 R의 깊이를 의미한다.즉, R의 깊이는 최대 이상에서 정규 시퀀스의 최대 길이인 것이다.

노메테리아 로컬 링 R의 경우, 0 모듈의 깊이는 ∞^[2]인 반면, 0이 아닌 미세하게 생성된 R-모듈 M의 깊이는 기껏해야 M의 Krull 치수(M의 지지 치수라고도 함)^[3]이다.

예

• 통합 도메인 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ R$}$에 0이 아닌 f${\displaystyle f}$ R {\$displaystyle f\in R}$이(가) 규칙적인 시퀀스를 제공한다.
• 소수 p의 경우, 국소 링 Z는_(p) 분모가 p의 배수가 아닌 분수로 구성된 합리적인 수의 하위 문자열이다.원소 p는 Z에서_(p) 비제로-divisor이며, p에 의해 생성되는 이상에 의해 Z의_(p) 몫 링은 필드 Z/(p)이다.따라서 p는 최대 이상(p)에서 더 긴 정규 시퀀스로 확장할 수 없으며, 사실 국소 링 Z는_(p) 깊이 1을 가지고 있다.
• 모든 필드 k에 대해 다항 링 A = k[x₁, ..., x_n]의 x₁, ..., x_n 요소는 정규 시퀀스를 형성한다.최대 이상 m = (x₁, ..., x_n)에서 A의 국소화 R은 최소한 n의 깊이를 가진다.사실, R은 n과 같은 깊이를 가지고 있다; 즉, n보다 큰 길이의 최대 이상에는 규칙적인 순서가 없다.
• 보다 일반적으로 R은 최대 이상 m을 가진 일반 국부 링이 되도록 한다.그런 다음, R/m-벡터 공간으로 m/m의² 기초에 매핑되는 r, ...r의₁ 모든 요소가_d 규칙적인 시퀀스를 형성한다.

중요한 경우는 국부 링 R의 깊이가 크롤 치수와 같을 때: R을 코헨-매컬레이라고 한다.표시된 세 가지 예는 모두 코헨-매컬레이 링이다.마찬가지로 미세하게 생성된 R-모듈 M은 깊이가 치수와 같으면 코헨-매컬레이라고 한다.

비예시

정규 시퀀스의 단순한 비예제는 이후$$$C{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle x}$,${\displaystyle }$${\displaystyle x}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle(xy,x^{2$})의 요소$$ 시퀀스$({\displaystyle }$$xy,x^{2$$})$에 의해 주어진다$.$

${\displaystyle \cdot x^{2}:{\frac {C}[x,y]}{(xy)}}\\to {\frac {\mathb {C}[x,y]}{(xy)}}}}{xy)}}}$

이상$({\displaystyle y}$) ${\displaystyle C\mathbb{}}$[ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$/ (${\displaystyle }$x ${\displaystyle y}$ ) / ( ${\displaystyle x}$ y$)$ {\$displaystyle (y)\subset {c}[$x,y]/(xy$)}.$ 복수의 구성요소를 가진 환원 가능한 계획에서 생성된 이상에 대한 최소 생성기를 살펴보고 구성요소의 하위 체를 취함으로써 유사한 예를 찾을 수 있다.$$

적용들

• r₁, ..., r이_d 링 R의 정규 시퀀스인 경우, 코스줄 콤플렉스는 R-모듈로서 R/(r₁, ..., r_d)의 명시적인 자유 분해능이다.

${\displaystyle 0\binom {d}{d}}\오른쪽 화살표 \cdots \오른쪽 화살표 \오른쪽 화살표 R^{d}{d}}\오른쪽 화살표 R/(r_{1}},\ldots ,r_{d}\오른쪽 화살표 0}$

R이 다항 링 k[r₁, ..., r_d]인 특별한 경우, 이것은 R-모듈로서 k의 분해능을 제공한다.

• 링 R에서 규칙적인 시퀀스에 의해 생성되는 이상이라면 관련 등급이 지정된 링

${\displaystyle \oplus _{j\geq 0}I^{j}/I^{j+1}}$

다항 링(R/I)[x₁, ..., x_d]에 이형성이 있다.기하학적 용어로, 국소 전체 교차점 X의 Y는 단수적일 수 있지만 벡터 번들인 정규 번들을 가지고 있다.

참고 항목

• 교차로 반지 완성
• 코스줄 콤플렉스
• 깊이(링 이론)
• 코헨-매컬레이 링

메모들

참조

• Bourbaki, Nicolas (2006), Algèbre. Chapitre 10. Algèbre Homologique, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-34493-3, ISBN 978-3-540-34492-6, MR 2327161
• Bourbaki, Nicolas (2007), Algèbre Commutative. Chapitre 10, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-34395-0, ISBN 978-3-540-34394-3, MR 2333539
• 윈프리드 브런스; 위르겐 헤르조그, 코헨-맥컬레이가 울린다.케임브리지 고등 수학 연구 39세케임브리지 대학 출판부, 1993.xii+403 페이지ISBN 0-521-41068-1
• 데이비드 아이젠버드, 대수기하를 향한 관점을 가진 정류 대수학.Springer 대학원 수학, 150번.ISBN 0-387-94268-8
• Grothendieck, Alexander (1964), "Éléments de géometrie algébrique IV. Première partie", Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques, 20: 1–259, MR 0173675