퍼펙토이드 공간

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수학에서 perfectoid 공간은 특성 prime p의 잔여장이 있는 특성 0의 국지적 영역과 같이 "혼합 특성"의 문제를 연구하면서 발생하는 특수한 종류의 아딕 공간이다.

완전체장(Perfectoid field)은 프로베니우스 내형성 Ⅱ가 K°/p에서 강제적으로 수행되는 등 1위에 대한 비구체적 평가에 의해 위상이 유도되는 완전한 위상학적 필드 K이다.

퍼펙토이드 공간은 혼합 특성 상황과 순수하게 유한한 특성 상황을 비교하기 위해 사용될 수 있다.이것을 정밀하게 만드는 기술적 도구는 기울어지는 등가성 및 거의 순도 정리다.이 개념들은 2012년 피터 숄즈에 의해 소개되었다.^[1]

틸팅 등가성

모든 퍼펙토이드 필드 K에는 유한 특성 p의 퍼펙토이드 필드인 틸트 K가^♭ 있다.집합으로서, 그것은 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle K^{\flat }=\varprojlim _{x\mapsto x^{p}K.}$

명시적으로 K의^♭ 원소는 x_i = x와^p
_i+1 같은 K의 원소의 무한 시퀀스₀(x₁, x, x₂, ...)이다.K의^♭ 곱셈은 용어로 정의되는 반면, 덧셈은 더 복잡하다.If K has finite characteristic, then K ≅ K^♭. If K is the p-adic completion of ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(p^{1/p^{\infty }})}$, then K^♭ is the t-adic completion of ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))(t^{1/p^{\infty }})}$.

퍼펙토이드 알헤브라와 퍼펙토이드 필드 K 위에 퍼펙토이드 알헤브라의 개념과 퍼펙토이드 공간이 있으며, 대략 일치 알헤브라와 필드 위에 있는 계략과 유사하다.기울기 작업은 이러한 물체까지 확장된다.만약 X가 완벽한 필드 K 위에 있는 완벽한 공간이라면, 그 중 하나는 완벽한^♭ 공간인 K 위에 X를^♭ 형성할 수 있다.기울기 등가성은 기울기 펑터(-)^♭가 K 위의 완전체 공간과 K의^♭ 완전체 공간 사이에 범주의 등가성을 유도하는 정리다.유한한 특성의 완전체 장에는 여러 개의 비이성형 "경계"가 있을 수 있지만, 그 위에 있는 완전체 공간의 범주는 모두 동등할 것이라는 점에 유의한다.

거의 순도 정리

이러한 범주의 등가성은 형태론의 일부 추가 특성을 존중한다.체계 형태론의 많은 특성들은 아딕 공간의 형태와 유사하다.완벽에 가까운 공간에 대한 거의 순도 정리는 유한한 에테일 형태와 관련이 있다.p-adic Hodge 이론에서 팔팅스의 거의 순도 정리를 일반화한 것이다.그 이름은 거의 수학을 암시하고 있는데, 그것은 증거에 사용되며, 가지 위치의 순도에 관한 먼 옛날과 관련된 고전적인 정리를 가리킨다.^[2]

그 진술은 두 부분으로 되어 있다.K를 완벽한 필드가 되게 하라.

• X → Y가 K 위에 있는 아딕 공간의 유한한 엣테일 형태론이고 Y가 완전형이라면 X도 완전형이다.
• K 위에 있는 완전체 공간의 형태론 X → Y는 기울기 X^♭ → Y가^♭ K^♭ 위에 유한한 경우에만 유한한 étale이다.

필드로의 유한 에테일 맵은 정확히 유한 분리 가능한 필드 확장이기 때문에, 거의 순도 정리는 어떤 완벽한 필드 K의 경우 K와 K의^♭ 절대 갈루아 집단이 이형체라는 것을 암시한다.

참고 항목

• 퍼펙트 필드

참조

외부 링크

• Bhatt, Bhargav. "What is a ... Perfectoid Space?" (PDF). Bulletin of the AMS. Retrieved 2 January 2020.
• "What are "perfectoid spaces"?". MathOverflow.
• 매튜 모로(Matthew Morrow)의 퍼펙토이드 공간 기초
• 기울어진 완벽한 공간.린 정리 프로베라에서 공식화된 퍼펙토이드 공간의 정의