하이퍼림플렉스

$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 표준 하이퍼바이저

${\displaystyle \Delta _{3,1}$ 하이퍼플레인: $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle \mathrm{z}}$= 1 ${\displaystyle x+y+z=1$}	${\displaystyle \Delta _{3,2}}$ 하이퍼플레인: $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle \mathrm{z}}$= 2 ${\displaystyle x+y+z=2$}

다면 결합체학에서 초심플렉스 ${\displaystyle {\Delta d}_{}}$, ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 심플렉스를 일반화하는 볼록 폴리토프다.두 정수 $d{\displaystyle }${\$displaystyle$d}$$$및$ k {\$displaystyle k}$에 의해 결정되며, $계수{\displaystyle }$ k ${\displaystyle$ k$}$와 d${\displaystyle }$- k ${\displaystyle d-k}$ 0으로$$ 구성된 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyd}$차원$$ 벡터의 볼록 선체로 정의된다.동등하게 ${\displaystyle {\Delta d}_{}}$, ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ d$${${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ d$$${\$$displaystyle [0,1]^{$${\displaystyle d_{}}$$}}$을 $식{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ +${\displaystyle +}$ +${\displaystyle {}_{}x}$ = k =$${\$displaysty x_{1}+cdots +x_${d$}}}}}}{d$}}}}}}}}}}}d}}}}d}d}d}d}d}d}d}d}을 자르면 얻을 수 있다$$.$}}=$$k$$}$ 및$$ 이러한 로0 < < d${\displaystyle }$< d < ${\displaystyle 1>}$${\displaystyle$($d-1)}$ -차원$$ 폴리토프 입니다^[1]

특성.

The number of vertices of ${\displaystyle \Delta _{d,k}}$ is ${\displaystyle {\tbinom {d}{k}}}$.^[1] The graph formed by the vertices and edges of the hypersimplex ${\displaystyle \Delta _{d,k}}$ is the Johnson graph ${\displaystyle J(d,k)}$.^[2]

대체 구성

대안적 구조($k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle d}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\$의 경우$)$는 ${\displaystyle \mathrm{k}}$- 1 ${\displaystyle k-1}$ 또는$$$$ ${\displaystyle k}$ $비$ 0 좌표가 있는 모든${\displaystyle }$($d$${\displaystyle }$- $1$$$k${\displaystyle \}}$- 벡터의$$ 볼록 선체를 취한다.이는 결과적인 폴리토페와 같은 차원인 공간에서 운용할 수 있다는 장점이 있지만, 결과적인 폴리토페가 만들어내는 단점은 덜 대칭적이다(다른 구성의 결과와 조합적으로 동일하지만).

초대칭 ${\displaystyle {\Delta d}_{}}$, ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 d$${\$displaystyle d}$ 요소와$$ $순위{\displaystyle }$ k$${\$displaysty k}$가 있는 균일한 매트로이드의 매트로이드 폴리토프이기도 하다$$$.$^[3]

예

초대칭 ${\displaystyle {\Delta d}_{}}$, 1 ${\$}은$$ a${\displaystyle }$( d${\displaystyle }$-${\displaystyle 1}$ )$${\$displaystyle (d-1)$-simplex$$($따라서{\displaystyle }$ d$${\$displaysty d}$정점$$)이다.초대형 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle 2_{}}$ ${\$은 옥타헤드론이고, 초대형 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle 2_{}}$ ${\$5,$2}}$은 정류형 5셀이다.

Generally, the hypersimplex, ${\displaystyle \Delta _{d,k}}$, corresponds to a uniform polytope, being the ${\displaystyle (k-1)}$-rectified ${\displaystyle (d-1)}$-dimensional simplex, with vertices positioned at the center of all the ${\displaystyle (k-1)}$-dimensional faces of a $$${\displaystyle (}$ ${\displaystyle d}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (d-1)}$ -차원$$ 심플렉스.

예제(d = 3...6)

이름	등각형 삼각형의	사면체 (3-630x)	팔면체	5세포 (4-980x)	수정됨 5세포	5와섹스	수정됨 5와섹스	양방향으로 5와섹스
Δd,k = (d,k) = (d,d -k)	(3,1) (3,2)	(4,1) (4,3)	(4,2)	(5,1) (5,4)	(5,2) (5,3)	(6,1) (6,5)	(6,2) (6,4)	(6,3)
정점 ${\displaystyle {\tbinom {d}{k}}}$	3	4	6	5	10	6	15	20
d-message	(0,0,1) (0,1,1)	(0,0,0,1) (0,1,1,1)	(0,0,1,1)	(0,0,0,0,1) (0,1,1,1,1)	(0,0,0,1,1) (0,0,1,1,1)	(0,0,0,0,0,1) (0,1,1,1,1,1)	(0,0,0,0,1,1) (0,0,1,1,1,1)	(0,0,0,1,1,1)
이미지
그래프	J(3,1) = K2	J(4,1) = K3	J(4,2) = T(6,3)	J(5,1) = K4	J(5,2)	J(6,1) = K5	J(6,2)	J(6,3)
콕시터 도표
슐레플리 기호	{3} = r{3}	{3,3} = 2r{3,3}	r{3,3} = {3,4}	{3,3,3} = 3r{3,3}	r{3,3,3} = 2r{3,3}	{3,3,3,3} = 4r{3,3,3}	r{3,3,3} = 3r{3,3,3}	2r{3,3,3}
면	{ }	{3}		{3,3}	{3,3}, {3,4}	{3,3,3}	{3,3,3}, r{3,3,3}	r{3,3,3}

역사

초임플레스는 가브리엘로프, 젤리팬드 & 로식(1975년)에 의해 특성 클래스(대수학적 위상에서의 중요한 주제)의 계산에서 먼저 연구되고 명명되었다.^[4][5]

참조

추가 읽기

• Hibi, Takayuki; Solus, Liam (2016), "Facets of the r-stable (n,k)-hypersimplex", Annals of Combinatorics, 20: 815–829, arXiv:1408.5932, Bibcode:2014arXiv1408.5932H, doi:10.1007/s00026-016-0325-x.