불완전한 LU 인자화

수치 선형대수에서 행렬의 불완전한 LU 인자화(약칭 ILU)는 전제조건으로 자주 사용되는 LU 인자화의 희박한 근사값이다.null

소개

희박한 선형 시스템 $Ax=b$ $Ax=b$ = $Ax=b$ $Ax=b$ 을(를) 고려하십시오 $Ax=b$ 이러한 것들은 종종 $A=LU$ A = $A=LU$ U ${\displaystyle A=$ 를 계산하여 해결된다.L 하부 단위 삼각형 및 U 상부 삼각형 포함 $LU$ $Ly=b$ 행렬이 $Ly=b$ 삼각형이기 때문에 $Ly=b$ 으로 할 수 $있는$ L y = b $Ly=b$ $=b$ }, U x = y {\displaystyle $Ux=y}$ 가 해결된다 $Ux=y$ null

일반적인 희소성 행렬의 경우, LU 인자는 원래 행렬보다 훨씬 희소성이 적을 수 있는데, 이는 채우기라고 불리는 현상이다.그러면 다이렉트 솔버를 사용하기 위한 메모리 요구 사항은 선형 시스템을 해결하는 데 있어 병목 현상이 될 수 있다.최소도 알고리즘과 같은 매트릭스의 미지의 채우기 순서를 줄임으로써 이 문제와 싸울 수 있다.null

An incomplete factorization instead seeks triangular matrices L, U such that $A\approx LU$ rather than $A=LU$ . Solving for $LUx=b$ can be done quickly but does not yield the exact solution to $Ax=b$ . So, we instead use the matrix $M=LU$ = L $M=LU$ $M=LU$ 은(는) 결합 그라데이션 방법이나 GMRES와 같은 또 다른 반복적 솔루션 알고리즘의 전제조건이다 $M=LU$ .

정의

주어진 행렬 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ ${\$ 에 대해 그래프 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $G(A)$ ( A $G(A)$ ) $G(A)$ 을 다음과 $G(A)$ 같이 정의한다.

[\displaystyle G(A):=\\left\lbrace (i,j)\in \mathb {N} ^{2}:A_{ij}\neq 0\right\rbrace \...}

이는 $S$ {\ $displaystyle S$ }이(가) 충족해야 $S$ 하는 조건을 정의하는 데 사용된다.

\displaystyle S\lbrace 1, n\dots,n\right\rbrace ^{2}\lbrace \leq i\leq n\right\rbrace \subset S\...\quad G(A)\subset S\,}

$A=LU-R$ = $A=LU-R$ $A=LU-R$ - $A=LU-R$ $A=LU-R$ 형식의 분해. 여기서 $A=LU-R$ 다음은

$L\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $L\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $L\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $L\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ × $L\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ {\ $displaystyle L\in \mathb {R}$ ^{ $n\times$ n $}}$ 은 $L\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ (는) $낮은$ 단위사각형 행렬이다.
$U\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $U\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $U\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $U\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $U\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $U\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ ${\$ ^{ $n\timesn}}$ 은 $U\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 삼각 행렬의 위쪽이다.
$L_{ij}=U_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\notin S$ , $U$ $L,U$ 은 $L,U$ (는) 스페어리티 패턴 외부: $L_{ij}=U_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\notin S$ $L_{ij}=U_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\notin S$ = $L_{ij}=U_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\notin S$ j $L_{ij}=U_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\notin S$ = $L_{ij}=U_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\notin S$ $L_{ij}=U_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\notin S$ $L_{ij}=U_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\notin S$ ) $L_{ij}=U_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\notin S$ S ${\displaystyle L_{ij}=$ $U_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\notin S}$
$R\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $R\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $R\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $R\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $R\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ n ${\$ n $}}$ 은(는) sparsity 패턴 내에서 0이다 $R\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ : $R_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\in S$ $R_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\in S$ = $R_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\in S$ $R_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\in S$ ( i $R_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\in S$ , $R_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\in S$ ) $R_{ij}=0\quad \forall \;(i,j)\in S$ $R_{ij}=0\quad \all \i,j)\in S$

불완전한 LU 분해라고 불린다( $S$ 스패리티 패턴 $S$ ${\displaystyle S}).$ null

L과 U의 첨사성 패턴은 원래 행렬 A의 첨사성 패턴과 동일하게 선택되는 경우가 많다.기본 매트릭스 구조를 복사하는 대신 포인터가 참조할 수 있다면 L과 U의 입력에 필요한 추가 메모리만 있으면 된다. 이 전제조건을 ILU(0)라고 한다.null

안정성

ILU의 안정성에 관해서 다음과 같은 정리가 메이제링크와 반 데르 보르스트에 의해 증명되었다.^[1]null

$A$ ${\$ $displaystyle$ $A}$ 을(를) M-매트릭스로 하고 $A$ , $A={\hat {L}}{\hat {U}}$ = L $A={\hat {L}}{\hat {U}}$ $A={\hat {L}}{\hat {U}}$ $A={\hat {L}}{\hat {U}}$ ${\$ 에 의해 주어지는 (완전한) LU 분해로 하고 $A=LU-R$ $A=LU-R$ = $A=LU-R$ - R에 의한 $ILU-R}$ 을(를)로 한다 $A=LU-R$

L_{ij} \leq {\hat {L}_{ij} \quad \quad \for \;i,j

따라서 ILU는 최소한 (완전한) LU 분해만큼 안정적이다.null

일반화

인자를 어느 정도 추가 채움으로써 보다 정확한 전제조건을 얻을 수 있다.일반적인 선택은 A 대신 A의² 첨탑성 패턴을 사용하는 것이다. 이 행렬은 A보다 상당히 밀도가 높지만, 여전히 전체적으로 희박하다.이 전제조건을 ILU(1)라고 한다.그런 다음 이 절차를 일반화할 수 있다. 매트릭스 A의 ILU(k) 전제조건은 매트릭스 A의^k+1 스패리티 패턴이 있는 불완전한 LU 인자화다.null

보다 정확한 ILU 전제조건은 총 반복 횟수가 감소하더라도 알고리즘의 실행 시간이 증가할 정도로 더 많은 메모리를 요구한다.따라서 사용자가 해결해야 할 선형 시스템군에 따라 일반적으로 사례별로 평가해야 하는 비용/정확한 절충이 있다.null

ILU 인자화는 고정점 반복으로서 고도로 평행한 방법으로 수행될 수 있다.^[2]null

참고 항목

불완전한 숄스키 인자화

참조

Saad, Yousef (1996), Iterative methods for sparse linear systems (1st ed.), Boston: PWS, ISBN 978-0-534-94776-7. 섹션 10.3 및 그 이상을 참조하십시오.

^ Meijerink, J. A.; Vorst, Van Der; A, H. (1977). "An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is a symmetric 𝑀-matrix". Mathematics of Computation. 31 (137): 148–162. doi:10.1090/S0025-5718-1977-0438681-4. ISSN 0025-5718.
^ Chow, Edmond; Patel, Aftab (2015). "Fine-grained parallel incomplete LU factorization". SIAM Journal on Scientific Computing. 37 (2): C169-C193. doi:10.1137/140968896.

외부 링크

CFD Wiki의 불완전한 LU 인자화

이 응용 수학 관련 기사는 단조롭다.위키피디아를 확장하여 도울 수 있다.

[1] Meijerink, J. A.; Vorst, Van Der; A, H. (1977). "An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is a symmetric 𝑀-matrix". Mathematics of Computation. 31 (137): 148–162. doi:10.1090/S0025-5718-1977-0438681-4. ISSN 0025-5718.

[2] Chow, Edmond; Patel, Aftab (2015). "Fine-grained parallel incomplete LU factorization". SIAM Journal on Scientific Computing. 37 (2): C169-C193. doi:10.1137/140968896.

[1]

[2]

v t 수치 선형대수학
주요개념	부동소수점 수치안정성
문제	선형 방정식 체계 매트릭스 분해 행렬 곱하기(알고리즘) 행렬 분할 희소성 문제
하드웨어	CPU 캐시 TLB 캐시-관심 알고리즘 심드 다중 처리
소프트웨어	매트랩 기본 선형 대수 하위 프로그램(BLAS) 라팩 전문 라이브러리 범용 소프트웨어

Search

불완전한 LU 인자화

네임스페이스

더

목차

소개

정의

안정성

일반화

참고 항목

참조

외부 링크