해석(모델 이론)

모델 이론에서, 다른 구조 N (일반적으로 다른 서명의)에서 구조 M의 해석은 N 내부의 M을 나타내는 아이디어에 근접한 기술적 개념이다.예를 들어, 구조물의 모든 환원 또는 정의 팽창은 N에 해석된다.

많은 모형-이론적 특성은 해석 가능성 하에서 보존된다.예를 들어 N의 이론이 안정적이고 N에서 M의 해석이 가능하다면 M의 이론도 안정적이다.

정의

Nn의 서브넷에서 M는 f{\displaystyle f}-preimage(를 좀 더 정밀하게 fk{\displaystyle f^{k}}-pr에 MN의 매개 변수에 관한 해석을(또는 없이 매개 변수, 각각)이 n은 자연수와 f{\displaystyle f}한쌍(n, f){\displaystyle(n,f)}은 위로의. 지도.eimage) 매개변수 없는 1차 공식에 의해 M에서 정의 가능한 모든 X ⊆ M의^k 모든 집합은 매개변수(또는 매개변수 없음)를 포함한 1차 공식에 의해 정의된다(N).해석$({\displaystyle n}$, f$){\displaystyle (n,f)}$에 대한 n의 값은 흔히 맥락에서 명확하기 때문에$$ 지도 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 그 자체를$$ 해석이라고도 한다.

M에 설정된 모든 정의 가능한(매개변수 없음)의 사전 이미지가 N(매개변수 포함 또는 제외)에서 정의 가능한지 확인하려면 다음과 같은 정의 가능한 세트의 사전 이미지를 확인하는 것으로 충분하다.

• M의 영역;
• M의² 대각선;
• M 서명의 모든 관계
• M의 서명에 있는 모든 함수의 그래프

모델 이론에서 정의 가능한 용어는 종종 매개변수로 정의 가능한 것을 가리킨다. 이 규칙을 사용할 경우 매개변수가 없는 정의 가능은 정의 가능한 용어로 표현된다.마찬가지로 매개변수가 있는 해석을 단순한 해석이라고 할 수 있으며, 매개변수가 없는 해석을 0-해석이라고 할 수 있다.

바이해석성

L, M, N이 세 가지 구조, L이 M으로 해석되고 M이 N으로 해석되면 자연스럽게 L의 복합해석을 구성할 수 있다. 두 구조 M과 N이 서로 해석되면 두 가지 가능한 방법으로 해석을 결합함으로써 그 자체로 두 구조 각각에 대한 해석을 얻을 수 있다.이 관찰을 통해 위상학적 공간 간의 호모토피 동등성을 연상시키는 구조물 간의 동등성 관계를 정의할 수 있다.

두 구조물의 M과 N은 각각 M과 N에 대한 복합해석이 M과 N에 정의될 수 있도록 N에 M의 해석과 M의 N의 해석이 존재하는 경우(M과 N에 대한 연산으로 간주되는 복합해석) 양방향으로 해석할 수 있다.

예

y ≠ 0이 정수의 링 Z에 있는 합리적인 숫자의 필드 Q에 대한 해석을 제공하는 Z × Z에서 X/y까지 지도하는 Q까지의 부분 지도 f는 (정확히, 해석은 (2, f)이다.사실, 이러한 특정한 해석은 종종 합리적인 숫자를 정의하는데 사용된다.해석(매개 변수 없음)임을 확인하려면 Q에서 다음과 같은 정의 가능한 집합의 사전 이미지를 확인해야 한다.

• Q의 프리이미지는 ¬(x, y)이 by(y = 0)로 주어진 공식으로 정의된다.
• Q의 대각선 φ(x₁, y, x₂, y₂)은 x₁₂ × y = x₂ × y로₁ 주어진 공식 φ(x, y₁, x, y)으로 정의된다.
• 0과 1의 사전은 x = 0과 x = y로 주어진 φ(x, y) 공식으로 정의된다.
• 덧셈₁ 그래프의 프리이미지는 x××y₃ + x₂×y₂₁ = x₃×y₁×y로₃₂ 주어진 φ(x₁, y₁, x₂, x₂, y₃₃) 공식으로 정의된다.
• 곱셈 그래프의 프리이미지는 x₁××y₂₃ = x××y로₃₁₂ 주어진 given(x₁, y, x₁₂, x₂, y₃) 공식으로₃ 정의된다.

참조

• Ahlbrandt, Gisela; Ziegler, Martin (1986), "Quasi finitely axiomatizable totally categorical theories", Annals of Pure and Applied Logic, 30: 63–82, doi:10.1016/0168-0072(86)90037-0^{[데드링크]}
• Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6 (제4.3절)
• Poizat, Bruno (2000), A Course in Model Theory, Springer, ISBN 978-0-387-98655-5 (제9.4절)