인벌루트

포물선의 두 개의 인볼루트(빨간색)

수학에서, 인볼루트(involute)는 다른 형태나 곡선에 의존하는 특정한 형태의 곡선을 말한다.곡선의 인볼루트는 끈이 ^[1]곡선에서 풀리거나 곡선에 감길 때 팽팽한 끈 조각 위의 점의 궤적입니다.

이것은 곡선의 룰렛 계열에 속하는 곡선의 클래스입니다.

인볼루트의 에볼루트는 원래 곡선이다.

곡선의 인볼루트와 에볼루트의 개념은 Christian Huygens에 의해 그의 작품인 Horologium Opradulorum sive de motu pendulorum ad horologia aptato demplicationes geometicalae (1673년)^[2]에서 소개되었다.

모수 곡선의 인볼루트

c ${\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ ( ${\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ ) , ${\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ 、 t ${\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ [ ${\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ , ${\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ $]{$ $displaystyle$ { $c$ } ( t ) , \ ; $t\$ $in$ [ $t_{$ 1} , $t_{2}$ } be ${\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ $a\in (t_{1},t_{2})$ a 、 a $a\in (t_{1},t_{2})$ $t1$ , $t_{2$ } $a\in (t_{1},t_{2})$ ） $a\in (t_{1},t_{2})$ a a a 、 let let let $ricricricricricricricric$ let let let let let let in in let\ in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in

${\vec {C}_{a}(t)=vec {c}(t)}-{\frac {\vec {c}}(t)}}\;\int _{a}^{{c}'(w)\frac}$

는 지정된 곡선의 인볼루트입니다.


증명 문자열은 곡선 ${\vec {c}}(t)$ ${\vec {c}}(t)$ ( ${\vec {c}}(t)$ ) { $displaystyle {c}}(t$ 에 대한 접선 역할을 합니다. 문자열의 길이는 감기 또는 풀릴 때 교차하는 호 길이만큼 변경됩니다. $[a,t]$ , $]$ \ $displaystyle [ a$ , t $[a,t]$ ] { displaystyle [ a , $t$ } } 에서의 곡선의 호 길이는 다음과 같습니다. $\displaystyle \int _{a}^{t}{vec {c}}'(w) \;timeout}$ $a$ 서 $\displaystyle$ a는 $a$ 호 길이를 측정하는 시작점입니다.탄젠트 벡터는 여기서 taut 스트링을 나타내므로 스트링 벡터는 다음과 같이 구합니다. ${{\vec {c}}(t)}{{vec {c}}(t)}}\;\int _{a}^{t}{vec {c}}'(w) \;param}$ 문자열의 끝점에 해당하는 벡터( ${\vec {C}}_{a}(t)$ ${\vec {C}}_{a}(t)$ ( \ $displaystyle$ \ $vec$ { $C$ } $_$ { $a$ } ${\vec {C}}_{a}(t)$ )는 벡터 덧셈을 사용하여 쉽게 계산할 수 있으며, 1은 ${\vec {C}_{a}(t)=vec {c}(t)}-{\frac {\vec {c}}(t)}}\;\int _{a}^{{c}'(w)\frac}$

$적분$ ${\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}$ $l_{0}$ a ${\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}$ ${\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}$ ${\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}$ ( ${\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}$ ) ${\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}$ ${\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}$ $display$ style { $Bigl$ ( ${\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}$ \ $int _$ {a $}^{t$ } { $vec$ { c } （ ${\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}$ w ）\ $vec$ { $c$ ${\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}$ } （ w ） \ $）$ ( l l l 0 the l l l l 0 adding $l_{0}$ l l l l l l l l l l l l l l l $_$ dw 。 $Bigr)}}:$ $({$ 연장된 끈에 대응하는 인볼루트가 생성됩니다(풀리기 전에 실이 어느 정도 늘어져 있는 공처럼).따라서 인볼루트는 $상수$ a $(\displaystyle$ a $)$ 및 $a$ /또는 적분에 숫자를 추가함으로써 변경할 수 있습니다(반입방 포물선의 인볼루트 참조).

${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$ $→$ ( ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$ ) ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$ ( ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$ ( ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$ ) , ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$ ( ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$ ) ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$ {\ $displaystyle$ { $c}}(t$ )=( $x(t), y(t)^{$ $T$ 누군가 획득하다

{begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)^{2}+y'(t)}}\int _{a}^{t}{\t}{\trt {x'(w)+y'(w)},y=d\y(t)\end { aligned}

인볼류트 속성

Involute: 속성.묘사된 각도는 90도이다.

정규 곡선의 특성을 도출하기 위해서는 호 $s$ 를 $s$ 주어진 곡선의 매개 변수로 가정하는 것이 유리하며, 이를 $\;|{\vec {c}}'(s)|=1\;$ c $\;|{\vec {c}}'(s)|=1\;$ $\;|{\vec {c}}'(s)|=1\;$ ( s ) $=$ $\;|{\vec {c}}'(s)|=1\;$ ( \ $displaystyle$ \ ; \ $vec$ { $c$ }' ( $\;|{\vec {c}}'(s)|=1\;$ $\;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;$ ) $\;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;$ $\;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;$ $\;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;$ ( $\;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;$ ) $\;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;$ s $\;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;$ d ) ( $\;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;$ ) $isplaystyle \;{\vec {c}}'(s$ )=\ $kappa(s){\$ $vec$ ${\vec {n}}$ ${n$ $}}\;},$ 곡률 $\kappa$ $\kappa$ $→$ { $displaystyle\vec$ { $n}}$ 단위 ${\vec {n}}$ 정규값.인볼루트에는 다음과 같은 것이 있습니다.

C

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\

(

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\

s )

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\

(

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\

) -

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\

(

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\

)

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\

- a

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\

）

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\

（

displaystyle { c

}

_

{ a

} =

sec

vec

{

c

} - { \

vec

{

c

} （ s ） \ vec { c }' (

s

- a

{\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\

)

}

。

{C}_{a}(s)=-{\vec {c}'(s)=-\kappa(s){\vec {n}(s)\;

다음 문구를 참조하십시오.

${\vec {C}}_{a}(a)$ ${\vec {C}}_{a}(a)$ $(\displaystyle {C}}_{a}(a)}$ 지점에서 ${\vec {C}}_{a}(a)$ 인볼루트는 규칙적이지 않습니다(C $|{\vec {C}}_{a}'(a)|=0$ $|{\vec {C}}_{a}'(a)|=0$ → a $|{\vec {C}}_{a}'(a)|=0$ ( $|{\vec {C}}_{a}'(a)|=0$ ) $|{\vec {C}}_{a}'(a)|=0$ (\ $displaystyle {C}_{a}'(a)$ = $0}$ 이므로).

$\;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;$ $\;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;$ $\;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;$ $\;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;$ ( $\;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;$ ) $\;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;$ c $\;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;$ $\;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;$ ( $\;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;$ ) $\;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;$ $\;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;$ { $displaystyle$ \ ; { \ $vec$ { C $}$ （ $s$ ） \ $cdot$ { $c$ } = $0$ \ ; } $\;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;$ 。

${\vec {C}}_{a}(s)$ ${\vec {C}}_{a}(s)$ ${\vec {C}}_{a}(s)$ ${\vec {C}}_{a}(s)$ ( ${\vec {C}}_{a}(s)$ s $){displaystyle {C}_{a}(s)}$ _ ${\vec {C}}_{a}(s)$ {displaystyle {c $}($ s)}{displaystyle $}{vec {$ c}( $s$ 에서 인볼루트의 법선은 점 ${\vec {c}}(s)$ ${\vec {c}}(s)$ ( $)$ 에서 주어진 곡선의 접선입니다.
인볼루트는 C ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ ( ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ s ) ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ ( ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ ) + ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ $→$ ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ ( ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ $){$ $displaystyle$ { $vec { C }$ $_$ { $a$ } $_$ { 0 } ( $s$ ) + $a$ { \ $vec$ { $c$ } ( $s$ ) ${\vec {c}}'(s)$ c style ( ${\vec {c}}'(s)$ )으로 ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ 평행한 곡선이 됩니다 ${\vec {c}}'(s)$ $s$

예

원의 인볼류트

파라메트릭 표현 $(r\cos(t),r\sin(t))$ $(r\cos(t),r\sin(t))$ $(r\cos(t),r\sin(t))$ $(r\cos(t),r\sin(t))$ ( $(r\cos(t),r\sin(t))$ ) , $r$ sin $(r\cos(t),r\sin(t))$ ( $(r\cos(t),r\sin(t))$ ) $(r\cos(t),r\sin(t))$ { $displaystyle ( r$ \ $cos$ ( $(r\cos(t),r\sin(t))$ ${\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)$ $(r\cos(t),r\sin(t))$ ) ${\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)$ $(r\cos(t),r\sin(t))$ ${\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)$ ( - ${\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)$ sin ${\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)$ , ${\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)$ $cos$ 、 r ${\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)$ = $displaystyle$ \ $vec$ { $c}$ （ $t$ ） $=$ $|{\vec {c}}'(t)|=r$ $sin$ 、 $tos$ . $cos 。$ $r(t-a)$ $r(t-a)$ - $r(t-a)$ a $r(t-a)$ )({ $displaystyle$ r( $t-a$

위의 주어진 인볼루트 방정식을 평가하면, 다음을 얻을 수 있다.

{begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}

원 인볼루트의 파라메트릭 방정식을 구합니다.

$\displaystyle$ a $}$ $a$ 는 옵션이며, 원에서 곡선의 시작 위치를 설정하는 역할을 합니다.이 그림은 $a=-0.5$ - $a=-0.5$ .5 $($ $a=0$ ), $a=0$ $=$ $0$ $($ $a=0.5$ ), $a=0.5$ 0.5 $({디스플레이 스타일 a=0.5}($ 연청색) $a=1$ $a=1$ $=$ 1({ $디스플레이$ 스타일 $a=$ 1 $})($ 연청색)의 인볼루트를 보여줍니다.인볼루트는 아르키메데스의 나선처럼 보이지만 사실은 그렇지 않습니다.

인볼루트의 a $a=0$ $a=0$ ${\displaystyle$ a $=0}$ 및 $a=0$ $0\leq t\leq t_{2}$ t $0\leq t\leq t_{2}$ † $0\leq t\leq t_{2}$ {{ $displaystyle$ 0 $\leq t_{2}}$ 에 $0\leq t\leq t_{2}$ $a=0$ 호 길이는 다음과 같습니다.

L=syslogfrac {r}{2}}t_{2}^{2}.

반입방 포물선(파란색)의 인볼류트.빨간색 곡선만이 포물선입니다.

반입방 포물선의 인볼류트

파라메트릭 ${\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})$ c ${\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})$ ( ${\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})$ ) ${\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})$ ( ${\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})$ ${\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})$ , ${\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})$ ) { $displaystyle$ { $vec$ { $c$ } = $display$ \ $tfrac$ { $t^$ {3} $}, {\tfrac {t^{2}}$ { $2}}$ 은 ${\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})$ 반관상 포물선을 나타낸다. ${\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)$ ${\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)$ ${\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)$ ( ${\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)$ ) ${\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)$ ( ${\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)$ , $t$ ) { $displaystyle$ { $c$ } = ( $t$ $|{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}$ {2 $}$ $,$ t ) $|{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}$ $|{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}$ 2 + $|{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}$ { $displaystyle$ { $c$ } $=$ $\int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}$ { $c$ } + $\int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}$ ( $t$ ) = $displaystyle$ { $t^$ { t } + 1 w $\int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}$ } $|{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}$ $\int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}$ 1 w $\int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}$ 0 0 d d d d 1 $\int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}$ d d d d c c c c c c c c c1 from 1 $|{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}$ from1 、 t 、 t 、 t 、 t 、 t $|{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}$ $frac {1}$ { $3}}$ {\ $syslogrt$ {t $^{2$ }+ $1}}^{3}-{\frac {1}{$ 3 $\int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}$ $l_{0}={1 \over 3}$ 을 l $l_{0}={1 \over 3}$ $=$ $l_{0}={1 \over 3}$ 3 {\ $display l_{$ 0}= ${1$ \ $over$ 3)만큼 확장하면 추가 계산이 대폭 $l_{0}={1 \over 3}$ 간소화되어 1이 얻어집니다.

{begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}\Y(t)&=frac {t^{2}}{6}-{\frac {1}{3}}.\end { aligned}

t를 제거하면 Y $Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},$ $Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},$ $Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},$ $Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},$ 2 - $Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},$ 3 이 됩니다 $.$ {\ $displaystyle$ Y = $flac {3} {2}-{\frac {1}{3$

따라서 다른 인볼루트는 포물선의 평행 곡선이며, 6도 곡선이기 때문에 포물선이 아닙니다(평행 곡선 further 추가 예 참조).

현수막(파란색)의 빨간색 인볼루트는 트랙트릭스입니다.

현수막의 인볼루트

현수막 $(t,\cosh t)$ , $(t,\cosh t)$ ) { $displaystyle$ ( ${\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)$ $(t,\cosh t)$ , \ $cosh$ t ) $(t,\cosh t)$ ${\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)$ ( ${\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)$ , ${\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)$ $1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,$ ${\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)$ t ) $=$ ( t ) ${\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)$ $displaystyle$ ( 1 , \ $sinh$ t ${\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)$ ) $1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,$ ( $1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,$ , \ $1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,$ t ) $1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,$ $1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,$ $style$ ${\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)$ . $1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,$ 。 $tyle {vec {c}}'$ ( $t)$ = \ $cosh$ t $|{\vec {c}}'(t)|=\cosh t$ 。따라서 점 $(0,$ 1)으로부터의 호 길이는 $\textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.$ t $\textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.$ w $\textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.$ w $=$ $\textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.$ t . $\textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.$ { $displaystyle \textstyle \int$ _ ${0}^{t}\cosh$ w $,tx$ =\ $sinh$ t 입니다.

따라서 ( $0, 1$ )부터 시작하는 인볼루트는 다음과 같이 파라미터화된다.

(\displaystyle(t-\tanh t, 1/\cosh t),}

트랙트릭스입니다.

다른 인볼루트는 트랙트릭스의 평행 곡선이기 때문에 트랙트리스가 아닙니다.

사이클로이드의 인볼루트

사이클로이드(파란색):빨간 곡선만이 또 다른 사이클로이드입니다.

파라메트릭 ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$ c ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$ ( ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$ ) ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$ ( ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$ - ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$ t , ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$ - ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$ t ) ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$ { $display$ { $vec$ { $c$ } = ( t - \ $sin$ t , $1$ - $cos$ t ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$ } }는 ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$ 사이클로이드를 나타낸다. ${\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)$ ${\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)$ ${\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)$ ( ${\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)$ ) ${\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)$ ( ${\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)$ - ${\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)$ ${\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)$ , sin ${\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)$ t ${\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)$ ) { $displaystyle$ { $c$ } ' ( t ) → ( $1$ - \ $cos$ t , \ $sin$ t ) } ${\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)$ 에서는 (일부 삼각 공식 사용 후)를 얻을 수 있습니다.

{{displaystyle {c}}'(t) = 2\sin {frac {t}{2}}

그리고.

\int _{\pi }^{t}2\sin {frac {w}}, flac=-4\cos {t}{2}.

따라서 대응하는 인볼루트의 방정식은 다음과 같다.

X(t)=t+\sin t,

Y(t)=3+\cos t,

도표의 빨간색 사이클로이드가 이동했음을 나타냅니다.이런 이유로

사이클로이드의 $(t-\sin t,1-\cos t)$ ( $(t-\sin t,1-\cos t)$ - $(t-\sin t,1-\cos t)$ t , 1 - $cos$ t $){ displaystyle$ ( $t$ - $\ sin$ t , 1 - \ $cos$ t )는 $(t-\sin t,1-\cos t)$ 사이클로이드의 평행곡선입니다.

displaystyle (t+\sin t, 3+\cos t)}

(사이클로이드의 평행 곡선은 사이클로이드가 아닙니다.)

인벌루트 및 엑솔루트

특정 $c_{0}$ c $({$ 의 $c_{0}$ 에볼루트는 $c_{0}$ 0 $({$ 의 곡률 중심으로 구성됩니다.이들 사이에는 다음 문이 있습니다.

곡선은 그 인볼루트 중 어떤 것의 에볼루트이다.

인벌루트 및 엑솔루트

현수막의 인볼루트로서의 트랙트릭스(빨간색)
트랙트릭스의 퇴로는 현수막이다.

어플

인볼루트는 기어 업계에 매우 중요한 몇 가지 특성을 가지고 있습니다. 즉, 인터메쉬 기어 두 개가 인볼루트의 프로파일 형상을 가진 톱니를 가지고 있는 경우(예: 전통적인 삼각형 모양이 아닌), 인볼루트 기어 시스템을 형성합니다.치아가 맞물려 있는 동안 상대적인 회전 속도는 일정합니다.또한 기어는 항상 일정한 힘의 단일 라인을 따라 접촉합니다.다른 형태의 톱니에서는 연속된 톱니가 맞물리면서 상대적인 속도와 힘이 오르내리고 진동, 소음 및 과도한 마모가 발생합니다.이러한 이유로 거의 모든 최신 기어 톱니에는 인볼루트 ^[5]형상이 있습니다.

스크롤 압축기의 메커니즘

원의 인볼루트는 또한 가스 압축에서 중요한 형태인데, 이 형태를 기반으로 스크롤 압축기를 제작할 수 있기 때문입니다.스크롤 압축기는 기존 압축기보다 소리가 덜 나며 상당히 효율적인 것으로 입증되었습니다.

고유속 동위원소 원자로는 인볼루트 형태의 연료 원소를 사용한다. 왜냐하면 이들 원소는 냉각수를 위해 일정한 폭의 채널을 허용하기 때문이다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Rutter, J.W. (2000). Geometry of Curves. CRC Press. pp. 204. ISBN 9781584881667.
^ McCleary, John (2013). Geometry from a Differentiable Viewpoint. Cambridge University Press. pp. 89. ISBN 9780521116077.
^ K. 버그, H. 하프, F.윌, A.마이스터:벡터 분석: Springer-Verlag, 2012, Naturwissenschaftler und..., Höhere Mathemik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und...,ISBN 3834883468, S. 30.
^ R. Courant:Vorlesungen über Differential-und Integrechnung, 1. Band, Springer-Verlag, 1955, S. 267.
^ V. G. A. Goss(2013) "기어 톱니 모양에 해석 기하학 적용", 공진 18(9): 817~31 스프링어링크(서브스크립션 필요)

외부 링크

Math World에서의 인볼루트

[1] Rutter, J.W. (2000). Geometry of Curves. CRC Press. pp. 204. ISBN 9781584881667.

[2] McCleary, John (2013). Geometry from a Differentiable Viewpoint. Cambridge University Press. pp. 89. ISBN 9780521116077.

[3] K. 버그, H. 하프, F.윌, A.마이스터:벡터 분석: Springer-Verlag, 2012, Naturwissenschaftler und..., Höhere Mathemik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und...,ISBN 3834883468, S. 30.

[4] R. Courant:Vorlesungen über Differential-und Integrechnung, 1. Band, Springer-Verlag, 1955, S. 267.

[5] V. G. A. Goss(2013) "기어 톱니 모양에 해석 기하학 적용", 공진 18(9): 817~31 스프링어링크(서브스크립션 필요)

[1]

[2]

[5]

v t 평면 곡선의 미분 변환
단항 연산	에블루트 인벌루트 이중 곡선 역곡선 평행 곡선 등각선
점으로 정의된 단항 연산	페달 및 반전 곡선 음의 페달 곡선 추적 곡선 가성
2개의 포인트로 정의된 단항 연산	스트로포이드
점으로 정의된 이진 연산	룰렛 시소이드
곡선군에 대한 연산	봉투

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모수 곡선의 인볼루트

인볼류트 속성