가성(수학)

미분 기하학에서 가성체는 다지관에 의해 반사되거나 굴절되는 광선의 외피다.기하학적 광학에서 가성학의 개념과 관련이 있다.광선의 선원은 무한대의 점(복사선이라고 함) 또는 평행선일 수 있으며, 이 경우 광선의 방향 벡터를 지정해야 한다.

More generally, especially as applied to symplectic geometry and singularity theory, a caustic is the critical value set of a Lagrangian mapping (π ○ i) : L ↪ M ↠ B; where i : L ↪ M is a Lagrangian immersion of a Lagrangian submanifold L into a symplectic manifold M, and π : M ↠ B is a Lagrangian fibration of the symplectic manifold M.가성( lag性)은 라그랑지안 진동의 기본 공간 B의 부분집합이다.^[1]

카타코스티크

카타코스티크는 반사 케이스다.

광택이 있으면 광택의 직교법이 없어지는 것이다.

평면, ${\displaystyle \mathrm{병렬}}$ 소스-선 사례: 방향 벡터가 ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle (a,b)}$이고, 미러 곡선이 (${\displaystyle u}$( )${\displaystyle }$, ${\displaystyle v}$( )$${\$displaystyle (u(t$),$v(t)}$ 로 파라메트릭화되었다고 가정합시다$.$한 점에서 정규 벡터는${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle(-v'(t),u'(t$ 방향 벡터의 반영은 (정상적으로는 특수 정규화가 필요하다)

${\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}}$

발견된 반사 벡터의 성분이 접선으로 처리되도록 함

${\displaystyle (x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2}=(y-v)=(v'^{2}-2bu'v'au'^{2}).}$

가장 간단한 봉투 양식 사용

${\displaystyle F(x,y,t)=(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2}-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}}}$

${\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2}-y(v'^{2}-2bu'v'^{2}b(uv'^{2}-u'u'u')+b(v'uv'u'u'u'^{2}+a'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v'v')-y'-y'v')$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u'-a'-'-'-b'-y'(u'v'+'-b'-'-'-'a'-'-'-'-'-'-'u''''-'-'-'u''''''''u'''''''''''''''''''''''''')}}}}}}}$

${\displaystyle +b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')}$

이는 미학일 수 있지만 $F{\displaystyle }$= F ${\displaystyle t_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F=F_{t}=0}$은$({\displaystyle }$는) 선형 시스템을 (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle }$y${\displaystyle }$)$${\$displaystyle (x,y)}$에 제공하므로$$$$ 카타코스트의 파라메트레이션을 얻는 것은 초보적인 일이다.크레이머의 규칙이 도움이 될 거야

예

방향 벡터는 (0,1)이고 거울은${\displaystyle }$(${\displaystyle t,}$ t ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (t,t^{2$})이 되도록 한다$.$${}$ 그러면$$

${\displaystyle u'=1}$ ${\displaystaystyle u'=0}$ ${\displaystyle v'=2t}$ ${\displaystyle v''=2}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1}$

및 $F{\displaystyle }$= ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F=F_{t}=0}$에는 솔루션$({\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ ${\displaystyle 4}$) ${\displaystyle(0,1/$4)이$$있다. 즉, 축에 평행한 포물선 거울로 들어오는 빛이 포커스를 통해 반사된다.

참고 항목

• 절단 로커스(리만 다지관)
• 자코비의 마지막 기하학적 진술
• 네포이드 가성체

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Caustic". MathWorld.