비이성 회전

역학계의 수학적 이론에서 비합리적인 회전은 지도다.

${\displaystyle T_{\theta }:[0,1]\오른쪽 화살표 [0,1],\quad T_{\theta }(x)\triangleq x+\theta \mod 1}$

여기서 θ은 비이성적인 숫자다. R/Z로 원을 식별하거나 경계점이 붙어 있는 구간[0, 1]에서 이 지도는 전체 회전 비율 θ에 의한 원의 회전이 된다(즉, 2㎛ 라디안의 각도). θ은 비이성적이기 때문에 순환은 원군에서 무한한 순서가 있고 지도 T는_θ 주기적인 궤도가 없다.

또는 지도를 도입하여 비합리적인 회전을 위한 승법 표기법을 사용할 수 있다.

${\displaystyle T_{\theta }:S^{1}\to S^{1},\quad \quad \quad T_{\\theta}=xe^{2\pi i\theta}}}$

가법적 개념과 승법적 개념 사이의 관계는 집단 이형성이다.

${\displaystyle \phi }$:${\displaystyle }$(${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1],}$+${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle ({S\mathrm{}}^{}}$ 1,${\displaystyle {}^{}\cdot }$) ${\displaystyle \phi }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ i ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\$ : $([0,1],+)\to (S^{1},\cdot )\quad \varphi (x)=xe^{2\pi\te\ta$

그것이 등위법이라는 것을 알 수 있다.

동그라미 회전에는 이성적인지 비이성적인지에 따라 강한 구분이 있다. Rational rotations are less interesting examples of dynamical systems because if ${\displaystyle \theta ={\frac {a}{b}}}$ and ${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$, then ${\displaystyle T_{\theta }^{b}(x)=x}$ when ${\displaystyle x\in [0,1]}$. It can also be shown thatt T ${\displaystyle {}_{}^{}}$i ( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle x}$ x $≠$ x {\$displaystyle T_{\theta }^{i}(x)\neq x$}. i<$b<\displaystyle 1\leq i$

의의

비합리적인 회전은 역동적인 시스템 이론의 근본적인 예를 형성한다. 덴조이 정리에 따르면, 비합리적인 회전수를 가진 원의 모든 방향성 보존-차이형성은 위상학적으로 결합된다.비합리적인 회전은 측정보존적인 에고다이컬 변환이지만, 섞이지 않고 있다. 각도가 있는 토러스 위의 크로네커 엽과 관련된 역동적인 시스템에 대한 푸앵카레 지도는 비이성적인 회전에 의한 비이성적인 회전에 의한 것이다. 비이성적인 회전에 의한 C*-알게브라는 비이성적인 회전에 의해 널리 연구되어 왔다.

특성.

• 비합리적인 경우, 회전하에서의 [0,1] 원소의 궤도는 [0,1]에 밀도가 있다. 그러므로 비합리적인 회전은 위상적으로 전이적이다.
• 비합리적인 (그리고 이성적인) 회전은 위상학적으로 혼합되지 않는다.
• 비합리적인 회전은 독특하게 에르고데, 르베그 측정치가 고유한 불변 확률 측정치 역할을 한다.
• [,]ab ⊂ [0,1]이라고 가정한다. 에르고딕적이기 때문에
  ${\displaystyle {\text{lim}}_{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}\chi _{[a,b)}(T_{\theta }^{n}(t))=b-a}$.

일반화

• 원 회전은 그룹 번역의 예다.
• For a general orientation preserving homomorphism f of S¹ to itself we call a homeomorphism ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ a lift of f if ${\displaystyle \pi \circ F=f\circ \pi }$ where ${\displaystyle \pi (t)=t{\bmod {1}}}$.^[1]
• 원 회전은 원을 두 부분으로 나눈 다음 서로 교환하는 것으로 생각할 수 있다. 둘 이상의 부분으로 분할된 것을 1-another로 순열하는 것을 간격 교환 변환이라고 한다.
• 콤팩트 그룹의 경직된 회전은 효과적으로 원 회전과 같이 작용한다. 불변적인 측정은 하르 측정이다.

적용들

• 원의 회전 위에 제품을 스큐: 1969년^[2] 윌리엄 A. Veech는 다음과 같은 최소 및 고유하지 않은 에고다이내믹 시스템의 예를 구성했다: "단위 원 2부를 가져다가 각 단자에 끝점을 0으로 하여 시계 반대 방향으로 길이 2의πα 세그먼트를 표시한다. 이제 비이성적으로 받아들여 다음과 같은 역동적인 시스템을 고려해보자. 한 점으로 시작해서, 첫 번째 원으로 말해라. 궤도가 처음 착륙할 때까지 시계 반대 방향으로 2회πθ 회전한 다음, 두 번째 원의 해당 지점으로 전환하고, 점이 처음 착륙할 때까지 2회πθ 회전하며, 첫 번째 원 등으로 다시 전환한다. 비이성적이면 비이성적인 시스템이 존재한다는 것을 보여주었고, 르베그 측정이 독특하게 에고딕적이지 않다."^[3]

참고 항목

• 베르누이 지도
• 모듈식 산술
• 시겔 디스크
• 토플리츠 대수
• 위상 잠금(원 지도)

참조

추가 읽기

• C. E. 실바, 에르고딕 이론 초대장, 학생 수학 도서관, 제42권, 미국 수학 협회, 2008 ISBN 978-0-8218-4420-5