비약속성토루스

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수학, 그리고 보다 구체적으로 C*-알게브라의 이론에서 in의 비합리적인 가치에 대한 비합리적인 회전 알헤브라로도 알려진 비협치적 토리 A는_θ 2-토러스에서 연속함수의 대수학을 일반화하는 비협치적 C*-알게브라의 집단을 형성한다.고전 2토루스의 많은 위상학적, 기하학적 특성들은 비협정적 토리의 대수학적 유사성을 가지고 있으며, 이와 같이 그것들은 알랭 콘의 의미에서 비협정적 공간의 근본적인 예들이다.

정의

For any real number θ, the noncommutative torus ${\displaystyle A_{\theta }}$ is the C*-subalgebra of ${\displaystyle B(L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} ))}$, the algebra of bounded linear operators of square-integrable functions on the unit circle ${\displaystyle S^{1}\subset \mat$$hbb {C}$}, 두 개의 유니터리 $연산자{\displaystyle }$ U${\displaystyle }$, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle$ U$,V}$에 의해 생성됨

${\displaystyle {\begin}U(f)(z)&=e^{2\pi it}f(z)\\V(f)(z)&=f(z-\theta )\ended}}}}}$

여기서 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle t^{}}${\$displaystyle e$$^{$$2\pi$ it$}}$은(는$)$ C {\$displaystyle \mathb$${R}$ /\$mathb$ {Z$}}$의 $원{\displaystyle \mathbb{}}$R$/$의 매개변수화$$. 빠른 계산 결과 VU = eUV가^{−2π i θ} 나타난다$.$^[1]

대체 특성화

• 범용 속성: A는_θ VU = eUV의^{2π i θ} 관계를 만족하는 두 개의 단일 요소 U와 V에 의해 생성되는 범용 C*-알지브라로 정의할 수 있다.^[1]이 정의는 θ이 이성적인 경우에까지 확장된다.특히 θ = 0일 때 A는_θ 겔판드 변환에 의해 2토러스에서 연속적인 기능에 대해 이형성이 있다.
• 비합리적인 회전 대수학: 무한순환군 Z가 각 2θiθ에 의한 회전 작용에 의해 원 S에¹ 작용하도록 한다.이는 연속함수 C(S¹)의 대수에서 자동화에 의한 Z의 작용을 유도한다.결과 C*크로스드 제품 C(S¹) z Z는 A와_θ 이형성이 있다.발생유닛산은 그룹 Z의 발생기와 원 z : S → C의¹ 식별기능이다.^[1]
• 트위스트 그룹 대수:함수 σ : Z² × Z² → C; σ(m,n), (p,q) = e는^2πinpθ Z에² 있는 그룹 2-코사이클이며, 해당 트위스트 그룹 대수 C*(Z², σ)는 A에_θ 대해 이형성이다.

특성.

• 모든 비합리적인 회전_θ 대수 A는 간단하다$.{\displaystyle }$ 즉, {$}$ {\$displaystyle$\{$0\}}$ 및$$ 그 자체 이외의 적절한 폐쇄적인 양면 이상을 포함하고 있지 않다.^[1]
• 모든 비합리적인 회전 대수학에는 독특한 삼분법 상태가 있다.^[1]
• 비합리적인 회전 알헤브라는 핵이다.

분류와 K이론

A의_θ K 이론은 짝수 치수와 홀수 차원 모두에서 Z이므로² 비합리적인 회전 알헤브라를 구별하지 못한다.그러나 주문된 그룹으로서₀ K z Z + zZ.따라서 θ + η 또는 θ - η 중 하나가 정수인 경우에만 두 개의 비확정 토리 A와_θ A가_η 이형이다.^[1][2]

두 개의 불합리한 회전 알헤브라스 A와_θ A는_η 부분 선형 변환에 의해 on과 sl이 R에 대한 SL(2, Z)의 작용 궤도에 있는 경우에만 강력한 모리타 등가물이다.특히 θ rerial을 가진 비협정적 토리는 고전적 토루스(classic torus)에 해당하는 모리타(Morita)이다.반면에 비이성적인 비협조적인 토리는 단순한 C*알제브라다.^[2]

참조