등방성선

2차 형태 기하학에서, 등방성 선 또는 null 선은 그 점들 쌍 사이의 변위 벡터에 적용되는 2차 형태가 0인 선이다. 등방성 선은 등방성 2차 형태에서만 발생하며, 절대 확실한 2차 형태에서는 발생하지 않는다.

복잡한 지오메트리를 사용하여 에드몽 라구에르(Edmond Laguerre)는 먼저 가상 단위 i에 의존하는 점(α, β)을 통해 두 개의 등방성 선의 존재를 제안했다.^[1]

첫 번째 시스템:${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$ -${\displaystyle \beta }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ -${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle (y-\beta )=(x-\alpha )i,}$

두 번째 시스템:${\displaystyle }$( y -${\displaystyle \beta }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle i}$( x -${\displaystyle \alpha }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (y-\beta )=-i(x-\alpha)$ .$}$

그 후 라그에르는 이러한 선을 지오디컬로 해석했다.

등방성 선의 본질적 특성은 다음과 같다. 평면에서 유한한 거리에 위치한 등방성 선의 두 점 사이의 거리는 0이다. 다른 용어로, 이 선들은 미분 방정식 ds² = 0을 만족한다. 임의의 표면에서 이 미분 방정식을 만족시키는 곡선을 연구할 수 있다. 이러한 곡선은 표면의 지오데틱 선이며, 우리는 그것들을 등방성 선이라고도 부른다.^{[1]: 90}

복합 투영 평면에서 점들은 균일한 좌표$({\displaystyle {}_{}{}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{$${\displaystyle {}_{}}$$})$로 표시되며$$, 동질 좌표$({\displaystyle }$ 1, ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{3\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (a_{1$},$a_{2},a_{3}}})$로 표시된다$.$ 복합 투영면의 동위원소 선은 방정식을 만족한다.^[2]

${\displaystyle a_{3}(x_{2}\pm ix_{1}=(a_{2}\pm ia_{1}x_{2}).}$

아핀 하위 공간 x₃ = 1의 관점에서 원점을 통과하는 등방성 선은

${\displaystyle x_{2}=\pm ix_{1}.}$

투영 기하학에서 등방성 선은 무한대의 원형 지점을 통과하는 선이다.

Emil Artin의 실제 직교 기하학에서 등방성 선은 쌍으로 발생한다.

등방성 벡터를 포함하는 비성면(non-singular plane)을 쌍곡면이라고 해야 한다. N ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}^{}}$= ${\displaystyle {M\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle \text{0}\mathrm{},}$ ${\displaystyle \text{N}\mathrm{}}$ M${\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ N$^{2}\\\\\\\\\0,\quad NM\$ =$1\}$을(를) 충족하는 벡터의 N, M 쌍으로 항상 확장할 수 있다.

우리는 그러한 주문된 쌍 N, M을 쌍곡선 쌍이라고 부를 것이다. V가 직교 지오메트리를 가진 비성형 평면이고 N ≠ 0이 V의 등방성 벡터인 경우, V에는 정확히 하나의 M이 존재하여 N, M은 쌍곡선 쌍이다. 벡터 x N과 y M은 V의 유일한 등방성 벡터가 된다.^[3]

상대성

등방성 선은 빛을 운반하기 위해 우주론적 글에서 사용되어 왔다. 예를 들어 수학적 백과사전에서 빛은 광자로 구성된다: "0 정지 질량의 월드라인(광자와 질량 0의 다른 기본 입자의 비퀀텀 모델 등)은 등방성 선이다.^[4] 원점을 통과하는 등방성 선의 경우 특정 점은 null 벡터로서, 그러한 모든 등방성 선의 집합은 원점에서 라이트 콘을 형성한다.

엘리 카탄은 그의 스피너에 관한 책에서 동위원소 라인의 개념을 3차원으로 확장시켰다.^[5]

참조

• Pete L. Clark, Quadratic은 제1장: 플로리다 코랄 게이블스에 있는 마이애미 대학의 Witts 이론이다.
• O. Timothy O'Meara(1963,2000) 2차 형태 소개, 94페이지