외부 대수 원소
다변형 대수에서 클리포드 수라고 불리기도 하는 멀티플렉터 는 벡터 공간 V 의 외부 대수 Ⅱ(V ) 의 요소다.[1] 이 대수학은 등급 이 매겨지고, 연관 되고, 교대 로 이루어지며, 형태의 단순 한 k-벡터[2] 분해 가능한 k-벡터[3] k-blade 라고도 한다)의 선형 결합 으로 구성된다.
v 1 ∧ ⋯ ∧ v k , {\displaystyle v_{1}\cdots \cdots \cdots v_{k}} 여기서 v 1 k {\ displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}} V 에 있다
k-벡터 는 도 k 의 동질적 인 선형 결합이다(모든 항은 동일한 k 에 대한 k-blade이다 저자에 따라, "다중 벡터"는 k-벡터k [4]
미분 기하학 에서 k-벡터는접선 벡터 공간 의 외부 대수에서 벡터, 즉 일부 정수 k 0 에 대해 k 접선 벡터 의 외부 생산물 을 선형 결합하여 얻은 대칭 텐서 다. 미분 k-폼 은 접선 공간의 이중 의 외부 대수에서 k-벡터다또한 접선 공간의 외부 대수학의 이중이다.
k 0, 1, 2 , 3 의 경우 k-벡터를스칼라 벡터 이벡터 삼베커 라고 부른다. 각각 0-폼, 1-폼, 2-폼 , 3-폼 으로 이중화한다.[5] [6]
외부 제품 다중 벡터를 구성하는 데 사용되는 외부 제품(웨지 제품이라고도 함)은 다중선(각 입력에서 선형), 연관성 및 교대성이다. 이는 벡터 공간 V 의 벡터 u , v 및 w 와 스칼라 α , β 의 경우 외부 제품의 속성은 다음과 같다.
Linear in an input: u ∧ ( α v + β w ) = α u ∧ v + β u ∧ w ; {\displaystyle \mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ;} 연관: ( u ∧v ∧ w u ∧ ( v ∧ w ); {\displaystyle (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v}\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge \mathbf {w};};} 교대: u ∧ u 0. {\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {u} . } k 벡터의 외부 제품 또는 그러한 제품의 합(단일 k 의 경우)을 등급 k 멀티플렉터 또는 k-벡터라고 한다. 멀티플렉터의 최대 등급은 벡터 공간 V 의 치수다.
두 입력의 선형성은 교대 속성과 함께 다른 입력의 선형성을 의미한다. 외관 제품의 다층성은 V 의 기본 벡터의 외관 제품의 선형 결합으로 표현될 수 있도록 한다. V 의 k 기본 벡터 외부 제품은 n차원 벡터 공간의 외부 대수에서 치수() n k [2]
면적 및 부피 n차원 공간의 k 별도 벡터 외부 제품에서 얻은 k-벡터에는 벡터에 의해 확장된 k-병렬로도 의 투사(k - 1) 볼륨을 정의하는 구성요소가 있다. 이들 성분의 제곱합에 대한 제곱근은 k-병렬로계의 체적을 정의한다.[2] [7]
다음의 예들은 2차원의 이벡터가 평행사변형의 면적을 측정하고, 3차원의 이벡터의 크기 또한 평행사변형의 면적을 측정한다는 것을 보여준다. 마찬가지로 3차원의 3벡터는 평행입자의 부피를 측정한다.
4차원에서 3벡터의 크기가 이들 벡터에 의해 확장되는 병렬형 벡터의 부피를 측정하는지 쉽게 확인할 수 있다.
다중 벡터(R2 ) 다중 벡터의 특성은 2차원 R 2 고려함으로써 알 수 있다. 기본 벡터는 e 와1 e 가2 되도록 두므로 u 와 v 는 다음과 같이 주어진다.
u = u 1 e 1 + u 2 e 2 , v = v 1 e 1 + v 2 e 2 , {\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}{2}\mathbf {e} _{2},\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}, _{1}+v_{2}\mathbf {e}, _{2},},} 그리고 멀티플렉터 u v
u ∧ v = u 1 v 1 u 2 v 2 ( e 1 ∧ e 2 ) . {\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} \ =\\\\\\1}{1}&v_{2}\end{vmatrix}}\(\mathbf {e} _{1}\mathbf {e}\mathbf {e} _{2} _{2}). } 수직 막대는 벡터 u 와 v 에 의해 확장되는 평행사변형 영역인 행렬의 결정 인자를 나타낸다. u v V 에는 차원 2가 있기 때문에 기본 바이벡터 1 e 2 e는 vV에서 유일한 멀티플렉터라는 점에 유의하십시오.
다단계의 크기와 벡터에 의해 확장되는 면적이나 부피 사이의 관계는 모든 차원에서 중요한 특징이다. 더욱이, 이 볼륨을 계산하는 멀티플렉터의 선형 기능 버전은 미분 형태라고 알려져 있다.
다중 벡터(R3 ) 3차원 벡터 공간 V R 3 고려함으로써 다중 벡터의 더 많은 특징을 볼 수 있다. 이 경우 기본 벡터는 e 1 , e, e 가2 3 되도록 두므로 u , v , w 는 다음과 같이 주어진다.
u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 , v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 , w = w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 , {\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3} }\mathbf {e} _{3},\mathbf \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3} }\mathbf {e} _{3},\mathbf \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}, {1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}, {3},},} 그리고 바이벡터 u v
u ∧ v = u 2 v 2 u 3 v 3 ( e 2 ∧ e 3 ) + u 1 v 1 u 3 v 3 ( e 1 ∧ e 3 ) + u 1 v 1 u 2 v 2 ( e 1 ∧ e 2 ) . {\displaystyle \mathbf{너}, v_{2}\\u_{3}&, v_{3}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{2}\wedge{e}_{3}\mathbf)+{\begin{vmatrix}u_{1}&, v_{1}\\u_{3}&, v_{3}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{1}\wedge{e}_{3}\mathbf)+{\begin{vmatrix}u_{1}&, v_{1}\\u_{2}&, v_{2}\end{vmatrix}}\(\mathbf{e}_{1}\wedge \mathbf{v})=\{\begin{vmatrix}u_{2}& \wedge.\mathbf{e}_{2}cm이다. } 이 바이브레이터의 구성 요소는 교차 제품의 구성 요소와 동일하다. 이 이벡터의 크기는 그 성분들의 제곱합에 대한 제곱근이다.
이는 이벡터 u ∧ v 3차원 벡터 u와 v 에 의해 확장되는 평행그램의 영역임을 보여준다. 이벡터의 구성 요소는 3개의 좌표면 각각에 평행도의 투영된 영역이다.
V 에는 차원 3이 있기 때문에 vV에는 하나의 기본 3 벡터가 있다는 점에 유의하십시오. 3벡터 계산
u ∧ v ∧ w = u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) . {\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}). }
show 트리플 아우터 제품의 파생
u ∧ v ∧ w = ( u ∧ v ) ∧ w = ( u 2 v 2 u 3 v 3 ( e 2 ∧ e 3 ) + u 1 v 1 u 3 v 3 ( e 1 ∧ e 3 ) + u 1 v 1 u 2 v 2 ( e 1 ∧ e 2 ) ) ∧ ( w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 ) = u 2 v 2 u 3 v 3 ( e 2 ∧ e 3 ) ∧ ( w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 ) + u 1 v 1 u 3 v 3 ( e 1 ∧ e 3 ) ∧ ( w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 ) + u 1 v 1 u 2 v 2 ( e 1 ∧ e 2 ) ∧ ( w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 ) = u 2 v 2 u 3 v 3 ( e 2 ∧ e 3 ) ∧ w 1 e 1 + u 2 v 2 u 3 v 3 ( e 2 ∧ e 3 ) ∧ w 2 e 2 + u 2 v 2 u 3 v 3 ( e 2 ∧ e 3 ) ∧ w 3 e 3 e 2 ∧ e 2 = 0 ; e 3 ∧ e 3 = 0 + u 1 v 1 u 3 v 3 ( e 1 ∧ e 3 ) ∧ w 1 e 1 + u 1 v 1 u 3 v 3 ( e 1 ∧ e 3 ) ∧ w 2 e 2 + u 1 v 1 u 3 v 3 ( e 1 ∧ e 3 ) ∧ w 3 e 3 e 1 ∧ e 1 = 0 ; e 3 ∧ e 3 = 0 + u 1 v 1 u 2 v 2 ( e 1 ∧ e 2 ) ∧ w 1 e 1 + u 1 v 1 u 2 v 2 ( e 1 ∧ e 2 ) ∧ w 2 e 2 + u 1 v 1 u 2 v 2 ( e 1 ∧ e 2 ) ∧ w 3 e 3 e 1 ∧ e 1 = 0 ; e 2 ∧ e 2 = 0 = u 2 v 2 u 3 v 3 ( e 2 ∧ e 3 ) ∧ w 1 e 1 + u 1 v 1 u 3 v 3 ( e 1 ∧ e 3 ) ∧ w 2 e 2 + u 1 v 1 u 2 v 2 ( e 1 ∧ e 2 ) ∧ w 3 e 3 = − w 1 u 2 v 2 u 3 v 3 ( e 2 ∧ e 1 ∧ e 3 ) − w 2 u 1 v 1 u 3 v 3 ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) + w 3 u 1 v 1 u 2 v 2 ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) = w 1 u 2 v 2 u 3 v 3 ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) − w 2 u 1 v 1 u 3 v 3 ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) + w 3 u 1 v 1 u 2 v 2 ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) = ( w 1 u 2 v 2 u 3 v 3 − w 2 u 1 v 1 u 3 v 3 + w 3 u 1 v 1 u 2 v 2 ) ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) = u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) {\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}\wedge \mathbf{w}및;=\left({\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\(\mathbf{e}_{2}\wedge{e}\mathbf_{3})+{\begin{vmatrix}u_{1}& \mathbf{w}\\& =(\mathbf{너}\wedge{v\mathbf})\wedge, v_{1}\\u_{3}&, v_{3}\end{vmatrix}}\(\mathbf{e}_{1}\wedge \ma.thbf{e}_{3})+{\begin{v 매트릭스}u_{1}&, v_{1}\\u_{2}&, v_{2}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{1}\wedge{e}_{2}\mathbf)\right)\wedge(w_{1}\mathbf{e}_{1}+w_{2}\mathbf{e}_{2}+w_{3}\mathbf{e}_{3})\\&, ={\begin{vmatrix}u_{2}&, v_{2}\\u_{3}&, v_{3}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{2}\wedge{e}_{3}\mathbf)\wedge(w_{1}\mathbf{e}_{1}+w_{2}\mathbf{e}_{2}+w_{3}\ma.thbf{e}_{3})\\&, \qu 광고 +{\begin{vmatrix}u_{1}&, v_{1}\\u_{3}&, v_{3}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{1}\wedge{e}_{3}\mathbf)\wedge(w_{1}\mathbf{e}_{1}+w_{2}\mathbf{e}_{2}+w_{3}\mathbf{e}_{3})\\&,\quad +{\begin{vmatrix}u_{1}&, v_{1}\\u_{2}&, v_{2}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{1}\wedge{e}_{2}\mathbf)\wedge(w_{1}\mathbf{e}_{1}+w_{2}\mathbf{e}.{2}+w_{3}\mathbf{e} _{3})\\&, ={\begin{vmatrix}u_{2}&, v_{2}\\u_{3}&, v_{3}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{2}\wedge{e}_{3}\mathbf)\wedge w_{1}\mathbf{e}_{1}+{\cancel{{\begin{vmatrix}u_{2}&, v_{2}\\u_{3}&, v_{3}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{2}\wedge{e}_{3}\mathbf)\wedge w_{2}\mathbf{e}_{2}}}+{\cancel{{\begin{vmatrix}u_{2}&, v_{2}\\u_{3}&, v_{3.}\end{vmatrix}}\(\mathbf{ E})\wedge,&\mathbf{e}\mathbf{e}_{2}=0 _{2}\wedge, \mathbf{e}\mathbf{e}_{3}=0\\&,\quad +{\cancel{{\begin{vmatrix}u_{1}&, v_{1}\\u_{3}& _{3}\wedge, v_{3}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{1}\wedge{e}_{3}\mathbf)\wedge w_{1}\mathbf{e}_{1}}}+{\begin{vmatrix}u_{1}&, v_{1}\\u_{\mathbf{e}_{3}w_{3}\mathbf{e}_{3}}}및 _{2}\wedge.3}&v_{3}\end{vmatrix}}) (\mathbf{e}_{1}\wedge{e}_{3}\mathbf)\wedge w_{2}\mathbf{e}_{2}+{\cancel{{\begin{vmatrix}u_{1}&, v_{1}\\u_{3}&, v_{3}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{1}\wedge{e}_{3}\mathbf)\wedge w_{3}\mathbf{e}_{3}}}&&\mathbf{e}, \mathbf{e}\mathbf{e}_{3}=0\\& _{3}\wedge\mathbf{e}_{1}=0 _{1}\wedge,\quad +{\cancel{{\begin{vmatrix}u_.{1}&, v_{1}\\u_{2}&, v_{ 2}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{1}\wedge{e}_{2}\mathbf)\wedge w_{1}\mathbf{e}_{1}}}+{\cancel{{\begin{vmatrix}u_{1}&, v_{1}\\u_{2}&, v_{2}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{1}\wedge{e}_{2}\mathbf)\wedge w_{2}\mathbf{e}_{2}}}+{\begin{vmatrix}u_{1}&, v_{1}\\u_{2}&, v_{2}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{1}\wedge{e}_{2}\mathbf)\wedge w_.{3}\mathbf{e}_ {3}&,&\mathbf{e}\mathbf{e}_{1}=0 _{1}\wedge, \mathbf{e}\mathbf{e}_{2}=0\\& _{2}\wedge, ={\begin{vmatrix}u_{2}&, v_{2}\\u_{3}&, v_{3}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{2}\wedge{e}_{3}\mathbf)\wedge w_{1}\mathbf{e}_{1}+{\begin{vmatrix}u_{1}&, v_{1}\\u_{3}&, v_{3}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{1}\wedge{e}_{3}\mathbf)\wedge. w_{2}\mathbf{e}_{2}+{\begi N{vmatrix}u_{1}&, v_{1}\\u_{2}&, v_{2}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{1}\wedge{e}_{2}\mathbf)\wedge w_{3}\mathbf{e}_{3}\\&, =-w_{1}{\begin{vmatrix}u_{2}&, v_{2}\\u_{3}&, v_{3}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{2}\wedge{e}_{1}\wedge\mathbf{e}_{3}\mathbf)-w_{2}{\begin{vmatrix}u_{1}&, v_{1}\\u_{3}&, v_{3}\end{vmatrix}}\(\mathbf{e.}_{2\mathbf{e}_{1}\wedge };v_{1}\\u_{2}&, v_{2}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{1}\wedge{e}_{2}\wedge\mathbf{e}_{3}\mathbf)\\&, =w_{1}{\begin{vmatrix}u_{2}&, v_{2}\\u_{3}&, v_{3}\end{vmatrix}})(\mathbf{e}_{1}\wedge{e}_{2}\wedge\mathbf{e}_{3}\mathbf)-w_{2}{\begin{vmatrix}u_{1}&, v_{1}\\u_{3}&, v.\mathbf{e}_{3})+w_{3}{\begin{vmatrix}u_{1}& \wedge_{3}\end{vmatrix}}\(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+w_{3}{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})\\&=\left(w_{1}{\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}-w_{2}{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}+w_{3 }{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\right)\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})\\&={\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})\\\end{aligned}}}
이것은 3 벡터 u v w u , v 및 w 에 의해 확장된 병렬 처리된 부피임을 보여준다.
고차원 공간에서 구성 요소 3-벡터는 좌표 3-스페이스에 평행하게 배치된 부피의 투영이며, 3-벡터의 크기는 고차원 공간에 위치하면서 평행하게 된 부피의 투영이다.
그라스만 좌표 이 절에서는 투사 공간 P 의n 그래스만 좌표 라고 하는 점의 균일한 좌표와 유사한 특성을 갖는 선, 평면 및 하이퍼플레인에 편리한 좌표 세트를 제공한다.[8]
실제 투사 공간 P 의n R 의n +1 예를 들어 투영 평면 P 는2 R 의3 원점을 통과하는 선의 집합이다. 따라서 R 에n +1P 에n
는 편리한 방법 씨.에 multivector를 볼 씨.의 라인의 Rn+1의 원점을 H 같은 선택한 초평면,는 교차로 상관 요소:xn+1에 검토해 볼)1. 행은 R3의 원점을:z1만을 위한 점이 부족한 사영 평면 화면의 상관 버전 정의할 비행기 E환승할 수 있다.는 z = 0 , 무한대의 점이라고 함.
P 의2 다중 벡터아핀 성분 E: z 지점 에는 좌표 x =x ,. 두 점 p =p 1 ,p 2 ,q =q 1 , q 2 , p 와 q 를 결합하는 선에서 E를 교차하는 R 의3 평면을 정의한다. 멀티플렉터 p q R 에3 평행그램을 정의한다.
p ∧ q = ( p 2 − q 2 ) ( e 2 ∧ e 3 ) + ( p 1 − q 1 ) ( e 1 ∧ e 3 ) + ( p 1 q 2 − q 1 p 2 ) ( e 1 ∧ e 2 ) . {\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}). } p 에 대한 αp βq 따라서 p q R 의3 원점을 통과하는 평면에 대한 균일한 좌표다.
p 와 q 를 통과하는 선의 x =x ,y , 점 집합 q E: z = 1 이다. 이 점들은 x p q 즉 ,
x ∧ p ∧ q = ( x e 1 + y e 2 + e 3 ) ∧ ( ( p 2 − q 2 ) ( e 2 ∧ e 3 ) + ( p 1 − q 1 ) ( e 1 ∧ e 3 ) + ( p 1 q 2 − q 1 p 2 ) ( e 1 ∧ e 2 ) ) = 0 , {\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\wedge {\big (}(p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}){\big )}=0,} 줄의 방정식으로 단순화된다.
λ : x ( p 2 − q 2 ) + y ( p 1 − q 1 ) + ( p 1 q 2 − q 1 p 2 ) = 0. {\displaystyle \poda :x(p_{2}-q_{2})+y(p_{1}-q_{1}{1}+(p_{1}q_{1}-q_{1}p_{2}=0). } 이 방정식은 α와 β의 실제 값에 대해 x αp βq
선 λ 을 정의하는 p q 그라스만 좌표 라고 한다. 세 개의 균일한 좌표가 점과 선을 모두 정의하기 때문에 점의 기하학은 투영 평면에서 선의 기하학에 이중적이라고 한다. 이를 이중성의 원리 라고 한다.
P 의3 다중 벡터3차원 투사 공간, P 는3 R 의4 원점을 통과하는 모든 선으로 구성된다. 3차원 하이퍼플레인 H: w 1 을 x =x ,y ,z , . 멀티플렉터 p q r R 에서4 평행한 위치를 정의한다.
p ∧ q ∧ r = p 2 q 2 r 2 p 3 q 3 r 3 1 1 1 e 2 ∧ e 3 ∧ e 4 + p 1 q 1 r 1 p 3 q 3 r 3 1 1 1 e 1 ∧ e 3 ∧ e 4 + p 1 q 1 r 1 p 2 q 2 r 2 1 1 1 e 1 ∧ e 2 ∧ e 4 + p 1 q 1 r 1 p 2 q 2 r 2 p 3 q 3 r 3 e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 . {\displaystyle \mathbf{p}\wedge \mathbf{q}, 1\end{vmatrix}}\mathbf{e}_{2}\wedge \mathbf{e}\mathbf{e}_{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&, q_{1}&, r_{1}\\p_{3}&, q_{3}&, r_{3}\\1&, 1& _{3}\wedge, 1\end{vmatrix}}\mathbf{e}_{1}\wedge \mat\mathbf{r}={\begin{vmatrix}p_{2}&, q_{2}&, r_{2}\\p_{3}&, q_{3}&, r_{3}\\1&, 1& \wedge.Hbf \mathbf{e}_{4}+{\begin{vmat _{3}\wedge{e}. rix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}. } p 에 대한 αp + βq + γr 의 치환으로 이 멀티플렉터가 상수로 곱된다는 점에 유의하십시오. 따라서 p q r R 의4 원점을 통과하는 3-공간에 대한 균일한 좌표다.
아핀 성분 H: w = 1 의 평면은 p q r 있는 = (x ,y ,z , ) 점들의 집합이다. 이 점들은 x p q r 즉 ,
x ∧ p ∧ q ∧ r = ( x e 1 + y e 2 + z e 3 + e 4 ) ∧ p ∧ q ∧ r = 0 , {\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+z\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =0,} 평면의 방정식으로 단순화된다.
λ : x p 2 q 2 r 2 p 3 q 3 r 3 1 1 1 + y p 1 q 1 r 1 p 3 q 3 r 3 1 1 1 + z p 1 q 1 r 1 p 2 q 2 r 2 1 1 1 + p 1 q 1 r 1 p 2 q 2 r 2 p 3 q 3 r 3 = 0. {\displaystyle \lambda:x{\begin{vmatrix}p_{2}&, q_{2}&, r_{2}\\p_{3}&, q_{3}&, r_{3}\\1&, 1&, 1\end{vmatrix}}+y{\begin{vmatrix}p_{1}&, q_{1}&, r_{1}\\p_{3}&, q_{3}&, r_{3}\\1&, 1&, 1\end{vmatrix}}+z{\begin{vmatrix}p_{1}&, q_{1}&, r_{1}\\p_{2}&, q_{2}&, r_{2}\\1&, 1&, 1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}p_{1}&, q_{1}&r_{1}\\p_{2}&, q_{2}&, r_{2}\\p_{3}&, q_{3}&, r_{3}\end{vmatrix}}=0. } 이 방정식은 α , β , β 의 실제 값에 대해 x αp βq γr
평면 λ 을 정의하는 p q r 그라스만 좌표 라고 한다. 4개의 균일한 좌표가 투사 공간에서 점 및 평면을 모두 정의하기 때문에 점의 기하학은 평면의 기하학에 이중적이다.
두 점의 결합을 나타내는 선: 투사 공간에서 λ 에서 p 와 q 까지의 선은 평면 4 x = αp R H: w = 1 의 교차점으로 볼 수 있다. 멀티플렉터 p q
λ : p ∧ q = ( p 1 e 1 + p 2 e 2 + p 3 e 3 + e 4 ) ∧ ( q 1 e 1 + q 2 e 2 + q 3 e 3 + e 4 ) , = p 1 q 1 1 1 e 1 ∧ e 4 + p 2 q 2 1 1 e 2 ∧ e 4 + p 3 q 3 1 1 e 3 ∧ e 4 + p 2 q 2 p 3 q 3 e 2 ∧ e 3 + p 3 q 3 p 1 q 1 e 3 ∧ e 1 + p 1 q 1 p 2 q 2 e 1 ∧ e 2 . {\displaystyle {\regated}\mathbf {p} \mathbf {q} &=(p_{1}\mathbf {e} _{1}+p_{2}\mathbf {e} _{2}+p_{3} }\mathbf{e}_{3}+\mathbf{e}_{4})\wedge(q_{1}\mathbf{e}_{1}+q_{2}\mathbf{e}_{2}+q_{3}\mathbf{e}_{3}+\mathbf{e}_{4}),\\&, ={\begin{vmatrix}p_{1}&, q_{1}\\1&, 1\end{vmatrix}}\mathbf{e}\mathbf{e}_{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}& _{1}\wedge, q_{2}\\1&, 1\end{vmatrix}}\mathbf{e}\mathbf{e}_{4}+{\begin{vmatrix}p_{3}& _{2}\wedge, q._{3}\\1&, 1\end{vmatrix}}) mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\p_{3}&q_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\p_{1}&q_{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}. \end{정렬}}} 이것들은 라인의 플뤼커 좌표 로 알려져 있지만, 그라스만 좌표의 예시이기도 하다.
두 평면의 교차점으로서의 선: 투사 공간의 선 μ 는 등급 3 다단자에 의해 정의된 두 평면 의 교차점을 이루는 x 점 집합으로도 정의할 수 있으므로 x 점들은 선형 방정식에 대한 해법이다.
μ : x ∧ π = 0 , x ∧ ρ = 0. \displaystyle \mu :\mathbf {x} \pi =0,\mathbf {x} \mathbf \rho =0. } 선 μ 의 Pluker 좌표를 얻으려면 호지 항성 연산자 를 사용하여 다중 벡터 π 과 ρ 을 이중 점 좌표에 매핑한다.[2]
e 1 = ⋆ ( e 2 ∧ e 3 ∧ e 4 ) , − e 2 = ⋆ ( e 1 ∧ e 3 ∧ e 4 ) , e 3 = ⋆ ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 4 ) , − e 4 = ⋆ ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) , {\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\star }(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}),-\mathbf {e} _{2}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}),\mathbf {e} _{3}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}),-\mathbf {e} _{4}={\star }(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{ {}\mathbf {e} _{3}),} 그때
⋆ π = π 1 e 1 + π 2 e 2 + π 3 e 3 + π 4 e 4 , ⋆ ρ = ρ 1 e 1 + ρ 2 e 2 + ρ 3 e 3 + ρ 4 e 4 . {\displaystyle {\star }\pi =\pi _{1}\mathbf {e} _{1}+\pi _{2}\mathbf {e} _{2}+\pi _{3}\mathbf {e} _{3}+\pi _{4}\mathbf {e} _{4},\quad {\star }\rho =\rho _{1}\mathbf {e} _{1}+\rho _{2}\mathbf {e} _{2}+\rho _{3}\mathbf {e} _{3}+\rho _{4}\mathbf {e} _{4}. } 그래서 선 μ 의 플뤼커 좌표는 다음과 같이 주어진다.
μ : ( ⋆ π ) ∧ ( ⋆ ρ ) = π 1 ρ 1 π 4 ρ 4 e 1 ∧ e 4 + π 2 ρ 2 π 4 ρ 4 e 2 ∧ e 4 + π 3 ρ 3 π 4 ρ 4 e 3 ∧ e 4 + π 2 ρ 2 π 3 ρ 3 e 2 ∧ e 3 + π 3 ρ 3 π 1 ρ 1 e 3 ∧ e 1 + π 1 ρ 1 π 2 ρ 2 e 1 ∧ e 2 . {\displaystyle \mu:({\star}\pi)\wedge({\star}\rho)={\begin{vmatrix}\pi _{1}&,\rho _{1}\\\pi _{4}&, \rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf{e}\mathbf{e}_{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}& _{1}\wedge,\rho _{2}\\\pi _{4}&, \rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf{e}\mathbf{e}_{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}& _{2}\wedge,\rho _{3}\\\pi _{4}&, \rho_{4.}\end{vmatrix}}\mathbf{ E};\rho _{3}\end{vmatrix}}\mathbf{e},\rho _{3}\\\pi _{1}&\mathbf{e}_{3}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}& _{2}\wedge, \rho _{1}\end{vmatrix}}\mathbf{e}\mathbf{e}_{1}+{\begin{vmatrix}\pi _{1}&,\rho _{1}\\\pi _{2}& _{3}\wedge, \rho _{2}\end{vmatrix}}\mathbf{e}\mathbf{e}_{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&,\rho _{2}\\\pi _{3}& _{3}\wedge._{1}\wedge \mathbf{e} _{2}.} 한 선의 6개의 균일한 좌표는 두 점의 결합이나 두 평면의 교차점으로부터 얻을 수 있기 때문에, 그 선은 투영 공간에서는 스스로 이중이라고 한다.
클리포드 제품 W. K. Clifford 는 일반적인 복잡한 숫자와 해밀턴 의 쿼터를 포함하는 하이퍼 복합적인 숫자에 대한 일반적인 구조를 얻기 위해 벡터 공간 에 정의된 내부 제품 과 멀티플렉터를 결합했다.[9] [10]
두 벡터 u 와 v 의 Clifford 제품은 외부 제품처럼 이린과 연관성이 있으며, Clifford의 관계에 의해 멀티플렉터 u 가 내부 제품 u v
u v + v u = 2 u ⋅ v . {\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathbf {u} =2\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .} 클리포드의 관계는 수직 벡터에 대한 방공 속성을 유지한다. 이는 상호 직교 단위 벡터 e i i ..., n R n
e i e j + e j e i = 2 e i ⋅ e j = δ i , j , {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}=2\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\i,j}}}}}}} 그 기본은 상호 모순을 초래하고
e i e j = − e j e i , i ≠ j = 1 , … , n . {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}\neq j=1,\ldots,n.} 외부 제품과 대조적으로, 그 자체로 벡터의 클리포드 제품은 0이 아니다. 이를 확인하려면 제품을 계산하십시오.
e i e i + e i e i = 2 e i ⋅ e i = 2 , {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i}\cdot\mathbf {e} _{i}=2,}}} 어느 것이 생산되는가
e i e i = 1 , i = 1 , … , n . {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=1,\math i=1,\ldots,n.} 클리포드의 제품을 사용하여 구성된 다단자 집합은 클리포드 대수 라고 알려진 연관대수를 산출한다. 서로 다른 성질을 가진 내부 제품들은 다른 클리포드 알헤브라를 짓는데 사용될 수 있다.[11] [12]
기하 대수학 k-blade 라는 용어는 클리포드 대수에서 기하학적 미적분학 (1984)으로 사용되었다.[13]
다단자는 기하 대수라고 알려진 물리학의 수학적 공식화에서 중심적인 역할을 한다. 데이비드 헤스테네스 에 따르면
[비스칼라] k-벡터는 0-벡터(scalar)와는 대조적으로 "방향 속성"[14] k-blade 또는 단지 블레이드 라고 부르기도 한다. 2003년에는 [스칼라 및 벡터 세트]의 외부 제품으로 쓸 수 있는 다중 벡터용 블레이드 를 C에 의해 사용하였다. 도란과 A. 라센비. 여기서, "모든 멀티플렉터는 블레이드의 합으로 표현할 수 있다"라는 문장에 의해 스칼라는 암시적으로 0-블레이드로 정의된다.[15]
기하 대수학 에서 멀티플렉터는 스칼라 , 벡터 , 2벡터의 합과 같이 다른 등급의 k-블레이드 의 합으로 정의된다.[16] k-등급 성분만 합한 것을 k-벡터,[17] 동종 다량자라 한다.[18]
한 공간에서 가장 높은 등급의 원소를 가성비
주어진 원소가 등급 k의 동질인 경우, 그것은 k-벡터일 뿐 반드시 k-블레이드는 아니다. 이러한 요소는 k 벡터의 외부 제품으로 표현될 수 있을 때 k-blade이다. 4차원 벡터 공간에 의해 생성된 기하학적 대수학에서는 다음과 같은 예를 들어 점을 나타낸다. XY-평면에서 한 블레이드와 ZW-평면에서 다른 블레이드를 찍은 두 블레이드의 합은 2-블레이드가 아닌 2-벡터를 형성한다. 차원 2 또는 3의 벡터 공간에 의해 생성된 기하학적 대수에서, 2-블레이드의 모든 합은 단일 2-블레이드로 쓰여질 수 있다.
예 순서가 지정된 벡터 집합에 의해 정의된 방향.
방향이 반대로 바뀌면 외관 제품을 부정하는 것에 해당한다.
n 0 (서명 포인트 ), 1(직선 세그먼트 또는 벡터), 2(방향 평면 요소), 3(방향 볼륨)에 대한 실제 외부 대수에서 등급 n 요소의 기하학적 해석. 벡터 의 외부 제품은 어떤 n차원 형상(예: n-parallelotope , n-ellipsoid )으로 시각화할 수 있으며, 크기(하이퍼 볼륨 ) 및 방향 은 (n - [19] [20] 0-벡터는 스칼라이다. 1-벡터는 벡터, 2-벡터는 2-벡터 , (n - 1)-벡터는 유사벡터 , n-벡터는 유사수집 이다. 체적 형태 (예: 내적 제품과 방향)가 존재하는 경우, 벡터 및 스칼라로 가성자와 가성체를 식별할 수 있는데, 벡터 미적분학 에서는 일상적이지만 체적 형태가 없으면 임의의 선택을 하지 않고는 이것이 이루어질 수 없다.
물리적 공간의 대수 (유클리드 3공간의 기하학적 대수학, (3+1)-공간 시간의 모델로 사용됨)에서는 스칼라와 벡터의 합을 파라벡터 라고 하며, 스페이스 시간(벡터 공간, 스칼라 시간)의 점을 나타낸다.
이벡터 이벡터 는 자신과 접선 공간 의 비대칭 텐서 생성물 의 한 요소다.
기하 대수학 에서 또한 바이벡터 는 두 벡터의 쐐기 생산 에서 비롯되는 2등급 원소(2벡터)이므로 기하학적으로 지향적인 영역 이며, 벡터 가 지향적인 선 세그먼트인 것과 같은 방식으로 벡터도 같은 방향의 영역이다. a 와 b 가 두 벡터인 경우, bivector b는
에 의해 주어지는 그 영역 인 규범. ‖ a ∧ b ‖ = ‖ a ‖ ‖ b ‖ 죄를 짓다 ( ϕ a , b ) {\displaystyle \left\\mathbf {a} \mathbf {b} \right\ =\left\mathbf {a} \right\\\\\\mathbf {b} \right\ \,\sin(\phi _{a,b}) a 방향: 해당 영역이 놓여 있는 평면, 즉 a 와 b 에 의해 결정되는 평면, 선형으로 독립되어 있는 한, 원점 벡터를 곱하는 순서에 따라 결정되는 방향(2점 만점) 이벡터는 유사벡터들 과 연결되어 있으며 기하학적 대수학에서 회전을 나타내는 데 사용된다.
벡터 공간 λV2 (여기서 V 는 딤 n 내부 제품 을 정의하는 것이 타당하다. 먼저 λV의2 기초(e i ∧ e)1 ≤ i < j ≤ n 의j 관점 anyV 를2 다음과 같이 쓴다.
F = F a b e a ∧ e b ( 1 ≤ a < b ≤ n ) , {\displaystyle F=F^{ab}\mathbf {e} _{a}\wedge \mathbf {e} _{b}\quad(1\leq a<b\leq n),} 아인슈타인 종합 규칙 이 사용되는 곳.
이제 다음과 같이 주장하여 지도 G : λV2 × λV2 → R
G ( F , H ) := G a b c d F a b H c d , (\displaystyle G(F,H): =G_{abcd} F^{ab}H^{cd}} 여기서 G a c d {\ displaystyle G_{abcd}
적용들 예를 들어, 바이브릭터는 전자기장의 분류 에 있어서 물리학에 있어서 많은 중요한 역할을 한다.
참고 항목 참조 ^ 존 스니그(2012), 클리포드의 기하학 대수학 , Birkhauser, 페이지 5 §2.12를 이용한 미분형 기하학의 새로운 접근법 ^ Jump up to: a b c d 할리 플랜더스 (1989년)[1963년] 물리 과학에 응용한 차등 형태 , § 2.1 p-벡터의 공간, 5-7페이지, 도버 북스 ^ 웬델 플레밍 (1977) [1965] 여러 변수의 함수 , 섹션 7.5 멀티벡터, 295페이지, ISBN 978-1-4684-9461-7 ^ 일리 카탄, 스피너 이론 , 페이지 16은 "다중 벡터"(집합적으로) 또는 p-벡터(특정적으로)라고 언급하면서, 특히 단순한 벡터만을 고려한다. ^ William M Pezzaglia Jr. (1992). "Clifford algebra derivation of the characteristic hypersurfaces of Maxwell's equations". In Julian Ławrynowicz (ed.). Deformations of mathematical structures II ff . ISBN 0-7923-2576-1 Hence in 3D we associate the alternate terms of pseudovector for bivector , and pseudoscalar for the trivector ^ Baylis (1994). Theoretical methods in the physical sciences: an introduction to problem solving using Maple V ISBN 0-8176-3715-X ^ G. E. 샤일로프, 선형 대수 , (트랜스) R. A. 실버맨), 도버 출판사, 1977. ^ W. V. D. 호지랑 D. Pedoe, Methods of 대수 기하학, 제1권, Cambridge Univ. 1947년 언론 ^ W. K. 클리포드, "양분자의 예비 스케치," 프락. 런던 수학. Soc. 제4권(18733) 페이지 381–395 ^ W. K. 클리포드, 수학 논문 (ed. R. 터커, 런던: 맥밀런, 1882년 ^ J. M. 매카시, 이론 운동학 소개 , 페이지 62–5, MIT 프레스 1990. ^ O. 보테마와 B. 로스, 이론 운동학 , 노스 홀랜드 푸블리츠 1979년 주식회사 ^ 데이비드 헤스테네스 & 가렛 솝지크(1984) 클리포드 대수 에서 기하학 미적분학 까지, 페이지 4, D. 레이델 ISBN 90-277-1673-0 ^ 데이비드 헤스테네스 (1999년)[1986년] 고전역학 을 위한 새로운 재단 , 34페이지, 레이델 ISBN 90-277-2090-8 ^ C.도란과 A. Lasenby(2003) 물리학 기하학 대수학, 87페이지, 케임브리지 대학 출판부 ISBN 9780511807497 ^ Marcos A. Rodrigues (2000). "§1.2 Geometric algebra: an outline". Invariants for pattern recognition and classification ff . ISBN 981-02-4278-6 ^ R Wareham, J Cameron & J Lasenby (2005). "Applications of conformal geometric algebra in computer vision and graphics". In Hongbo Li; Peter J. Olver ; Gerald Sommer (eds.). Computer algebra and geometric algebra with applications ISBN 3-540-26296-2 ^ Eduardo Bayro-Corrochano (2004). "Clifford geometric algebra: A promising framework for computer vision, robotics and learning". In Alberto Sanfeliu; José Francisco Martínez Trinidad; Jesús Ariel Carrasco Ochoa (eds.). Progress in pattern recognition, image analysis and applications ISBN 3-540-23527-2 ^ R. Penrose (2007). The Road to Reality ISBN 0-679-77631-1 ^ J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation . W.H. Freeman & Co. p. 83. ISBN 0-7167-0344-0 
