반복된 이진 연산

수학에서 반복된 이진 연산이란 반복적 적용을 통해 S 원소의 유한 시퀀스에 대한 함수에 대해 세트 S에 대한 이진 연산을 확장한 것이다.^[1]일반적인 예로는 합산 연산에 대한 추가 연산의 연장, 곱셈 연산에 대한 곱셈 연산의 연장 등이 있다.정해진 이론적 운영 조합과 교차로와 같은 다른 운영도 종종 반복되지만, 반복에는 별도의 이름이 부여되지 않는다.인쇄에서 합계 및 제품은 특수 기호로 표시되지만, 다른 반복 연산자는 보통 2진법 연산자를 위한 더 큰 변형 기호로 표시된다.따라서 위에서 언급한 네 가지 작업의 반복은 다음과 같다.

\sum ,\ \prod ,\ \bigcup ,

,

\sum ,\ \prod ,\ \bigcup ,

,

\sum ,\ \prod ,\ \bigcup ,

,

{

, {\

displaystyle \sum

,\prod ,\ bigcup ,},

\bigcap

{\displaystyle \bigcap

\bigcap

More generally, iteration of a binary function is generally denoted by a slash: iteration of $f$ over the sequence $(a_{1},a_{2}\ldots ,a_{n})$ is denoted by $f/(a_{1},a_{2}\ldots ,a_{n})$ , following the nota버드-메르텐스 형식주의 축소론

일반적으로, 운영자가 연관성이 있는지, 그리고 운영자가 ID 요소를 가지고 있는지에 따라 유한한 시퀀스에 따라 작동하도록 이항연산을 확장하는 방법이 하나 이상 있다.

정의

a로_j,k, j 0 0과 k j j로, s 원소의 길이 k - j의 유한 염기서열, 멤버 (a_i)로, j ≤ i < k를 가리킨다.k = j일 경우 시퀀스가 비어 있다는 점에 유의하십시오.

f : S × S의 경우, 다음과 같은 경우 S 원소의 유한 비빈 순서에 대해 새로운 함수 F를_l 정의한다.

F_{l}(\mathbf {a} _{0,k}}={\begin{case}a_{0},&k=1\\f(F_{l})(\mathbf {a} _{0,k-1}), a_{k-1}),&k>1).\end{case}}

마찬가지로, 정의

F_{r}(\mathbf {a} _{0,k}={\begin{case}a_{0},&k=1\\f(a_{0},F_{r})(\mathbf {a} _{1,k}),&k>1.\end{case}}

f가 고유한 왼쪽 ID e를 갖는 경우, 빈 시퀀스에 대한 F_l 값을 e로 정의하여 빈 시퀀스에 대해 작동하도록 F의_l 정의를 수정할 수 있다(1길이의 시퀀스에 대한 이전 베이스 케이스는 중복이 된다).마찬가지로 f가 고유한 올바른 정체성을 가지고 있다면 빈 시퀀스에서 작동하도록 F를_r 수정할 수 있다.

f가 연상이라면 F는 F와 같고_l_r, 우리는 간단히 F를 쓸 수 있다.더욱이, ID 요소 e가 존재한다면, 그것은 독특하다(모노이드 참조).

f가 정류적이고 연관성이 있는 경우, F는 멀티셋의 임의 열거에 적용하여 비어 있지 않은 유한한 멀티셋에서 작동할 수 있다.f에 ID 요소 e가 있는 경우, 빈 멀티셋에서 F 값으로 정의된다.f가 idempotent인 경우, 위의 정의는 유한 집합으로 확장될 수 있다.

또한 S가 Hausdorff인 위상과 함께 미터법 또는 보다 일반적으로 장착되어 있어서 시퀀스 한계 개념이 S에 정의되어 있다면, S에서 계수 가능한 시퀀스에 대한 무한 반복은 유한 반복의 해당 시퀀스가 수렴될 때 정확히 정의된다.Thus, e.g., if a₀, a₁, a₂, a₃, … is an infinite sequence of real numbers, then the infinite product ${\textstyle \prod _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ is defined, and equal to ${\textstyle \lim \limits _{n\to \infty }\prod _{i=0}^{n}a_{i},}$ if and only if that limit exists.

비연관적 이항 연산

일반적인 비 연관적 이항 연산은 마그마에 의해 주어진다.비 연관적 이진 연산에 반복하는 행위는 이진 트리로 나타낼 수 있다.

표기법

반복된 이진 연산은 어떤 제약조건에 따라 집합에 걸쳐 반복될 연산을 나타내기 위해 사용된다.일반적으로 제한의 하한은 기호 밑에 쓰여지고, 상한은 기호 위에 쓰여지지만, 상한은 콤팩트한 표기법으로 위첨자와 첨자로 쓰여질 수도 있다.보간술은 하한에서 상한까지의 양의 정수에 대해 수행되며, 반복 연산을 위해 지수로 대체되는 세트(아래는 i로 표시됨)를 생산한다.집합의 어떤 요소를 사용해야 하는지를 암묵적으로 지정하기 위해 명시적 지수 대신 설정된 멤버쉽 또는 기타 논리적 제약조건을 지정할 수 있다.

일반적으로 큰 시그마(반복된 합계)와 큰 파이(반복된 제품) 표기 등이 있다.

\sum _{i=0}^{n-1}i=0+1+2+\cHB +(n-1)

{\displaystyle \prod _{i=0}^{n-1i=0\buffer 1\buffer 2\buffer \buffer \prod (n-1)

배타적 또는 세트 유니언을 포함하되 이에 국한되지 않는 바이너리 연산자를 사용할 수 있다.^[2]

S를 한 세트로 하자.

\bigcup _{s\in S}s_{i}=s_{1}\cup s_{2}\cup \dots \cup s_{N}}}

S를 논리적인 명제의^{[clarification needed]} 집합으로 하자.

\bigoplus _{s\in S}s_{i}=s_{1}\oplus s_{2}\oplus \dots \oplus s_{N}}}

S를 클리포드 대수/기하학 대수에서 다단자 집합으로 한다.

\bigwedge _{s\in S}s_{i}=s_{1}\wedge s_{2}\wedge \dots \wedge s_{N}}}

\prod _{s\in S}s_{i}=s_{1}s_{2}\dots s_{N}}

위의 항목에서 상한이 사용되지 않는 방법에 주목하십시오. 이는 $s_{i}$ 의 i ${\$ 가 설정된 S의 요소임을 $s_{i}$ 표현하기에 충분하기 때문이다.

또한 다음과 같은 예를 들어, 접속사(및)에 의해 결합되는 여러 제약조건이 주어진 경우 반복적인 연산을 생성한다.

\sum _{(i\in 2\mathb {N} )\wedge(i\leq n)}i=0+2+4+\dots +n,

이 또한 언급될 수 있다.

\sum _{\stackrel {i\in 2\mathb {N}{i\leq n}i=0+2+4+\dots +n.n.

참고 항목

참조

^ Saunders MacLane (1971). Categories for the Working Mathematician. New York: Springer-Verlag. p. 142. ISBN 0387900357.
^ Weisstein, Eric W. "Union". mathworld.wolfram.com. Wolfram Mathworld. Retrieved 30 January 2018.

외부 링크

[IBO1-1] Saunders MacLane (1971). Categories for the Working Mathematician. New York: Springer-Verlag. p. 142. ISBN 0387900357.

[2] Weisstein, Eric W. "Union". mathworld.wolfram.com. Wolfram Mathworld. Retrieved 30 January 2018.

[1]

[2]

Search

반복된 이진 연산

네임스페이스

더

목차

정의

비연관적 이항 연산

표기법

참고 항목

참조

외부 링크