모얄 브라켓

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양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial t}{\psi(t)\rangele ={\hat {H} \psi(t)\rangele }}$ 슈뢰딩거 방정식
소개 용어집 역사
배경 고전역학 구양자론 브라-켓 표기법 해밀턴어 간섭
기초 상보성 탈착성 얽힘 에너지 레벨 측정 비균등성 양자수 주 중첩 대칭 튜닝링 불확실성 파동함수 무너지다
실험 벨의 부등식 다비슨-제르머 더블 슬릿 엘리추르 바이드만 프랑크-헤르츠 레게트-가그 부등식 마하-젠더 포퍼 양자 지우개 지연선택 슈뢰딩거의 고양이 스턴-제라흐 휠러의 지연 선택
공식화 개요 하이젠베르크 상호작용 매트릭스 위상공간 슈뢰딩거 누적 이력(경로 적분)
방정식 디락 클라인-고든 파울리 뤼드베르크 슈뢰딩거
해석 개요 베이시안 일관된 이력 코펜하겐 드 브로글리-봄 앙상블 숨겨진 변수 국부적 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계성 트랜잭션
고급 주제 상대론적 양자역학 양자장 이론 양자정보과학 양자 컴퓨팅 양자 혼돈 밀도 행렬 산란 이론 양자통계역학 양자기계학습
과학자들 아하로노프 벨 베테 블랙켓 블로흐 봄 보어 태어난 보스 드 브로글리 콤프턴 디락 다비송 데비예 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 포크 페르미 파인만 글라우버 구츠윌러 하이젠베르크 힐베르트 조던 크레이머스 파울리 양고기 란다우 라우에 모즐리 밀리칸 오네스 플랑크 라비 라만 뤼드베르크 슈뢰딩거 시몬스 소머펠트 폰 노이만 바일 빈 위그너 지만 질링거
v t

물리학에서 모얄 브래킷은 위상공간 항성생물의 적절한 정규화된 대칭이다.

모얄계급은 1940년경 호세 엔리케 모얄에 의해 개발되었으나 모얄은 폴 디락과의 오랜 논쟁 끝에 1949년에야 자신의 작품을 출판하는 데 성공했다.^[1][2]그러는 동안 이 생각은 1946년 힙 그로네월드에 의해 독자적으로 도입되었다.^[3]

개요

모얄 브래킷은 양자역학의 위상공간 형성에 있어 관측가능성이 위상공간에서 함수로 설명될 때 관측가능성의 정류자를 설명하는 방법이다.양자 관측 가능성과 함께 위상 공간에 대한 함수를 식별하는 계획에 의존하는데, 이 계획들 중 가장 유명한 것이 위그너-이다.바일 변신.하이젠베르크의 양자 운동 방정식의 등가 공식인 모얄의 동적 방정식의 기초가 되어 해밀턴 방정식의 양자 일반화를 제공한다.

수학적으로 위상공간 포아송 브래킷(본질적으로 그것의 확장)의 변형이며, 변형 매개변수는 축소된 플랑크 상수 ħ이다.따라서 그룹 수축 ħ→0은 포아송 괄호 리 대수학을 산출한다.

형식적 등가성까지 모얄 브래킷은 포아송 브래킷의 고유한 1-모수 Li-algebraic 변형이다.그것의 대수적 이형성부터 정류자의 대수까지의 이형성은 그로네월드-반 호브 정리의 부정적인 결과를 우회하는데, 이것은 디락이 1926년 박사학위 논문인 ^[4]"정량화를 위한 고전적 유추의 방법"에서 암묵적으로 제기하는 질문인 포아송계층에 대한 그러한 이형성을 배제한다.^[5]

예를 들어, 2차원 평면 위상 공간과 Weyl-map 통신의 경우 Moyal 괄호는 다음과 같이 읽는다.

${\displaystyle{\begin}\{f,g\}\}\\\stackrel {\def}}{}}}}{}}}{{i\hbar}}}}}(f\star g-g\star f)\&=\f,g\(\hbar ^{2}),\ended}}}}}$

여기서 ★은 위상공간(cf)의 별제품 연산자다.Moyal product), f와 g는 상공간 함수가 다른 반면, {f, g}은 그들의 포아송 괄호다.^[6]

좀 더 구체적으로 말하면, 운용 미적분학 언어에서 이것은 동등하다.

부분파생상품 위의 왼쪽과 오른쪽 화살표는 왼쪽과 오른쪽의 부분파생상품을 나타낸다.모얄 브래킷을 사인 브래킷이라고 부르기도 한다.

조지 베이커에^[7] 의해 소개된 인기 있는 (푸리에) 통합 표현은

${\displaystyle \{\{f,g\}\}(x,p)={2 \over \hbar ^{3}\pi ^{2}}\int dp'\,dp''\,dx'\,dx''f(x+x',p+p')g(x+x'',p+p'')\sin \left({\tfrac {2}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)~.}$

위상공간에서 힐버트공간에 이르는 각 대응지도는 특징적인 "모얄" 브라켓(Weyl map에 대해 여기에 설명된 것과 같은 것)을 유도한다.그러한 모든 모얄 괄호는 체계적 이론에 따라 그들끼리 공식적으로 동등하다.^[8]

모얄 브래킷은 eponymous 무한차원 리 대수학(finite-dension Lie 대수학)을 명시한다. f와 g 논거에서 대칭성이며 자코비 정체성을 만족한다.이에 대응하는 추상적 리 대수학은_f T f f by에 의해 실현되므로, 다음과 같다.

${\displaystyle [T_{f}~,T_{g}]=T_{i\hbar \{f,g\}\}}}.}$

주기 좌표 x와 p가 각각 [0,2π]에 있는 2-토러스 위상 공간 T , 그리고 기본 함수 exp(mx₁+mp₂)에 대한 정수 모드 지수 m ,에서_i 이 Lie 대수에는 다음과 같이 읽는다.^[9]

${\displaystyle [T_{m_{1},m_{2}}~,T_{n_{1},n_{2}}]=2i\sin \left({\tfrac {\hbar }}}}{2}}(n_{1}m_{2}-{1}m_{1}m_{1}\1}\}\}\오른쪽).T_{m_{1}+n_{1},m_{2}+n_{2}},~}$

정수 N의 경우 SU(N)로 감소한다. SU(N)는 변형 매개변수 1/N과 함께 SU(수)의 변형으로 나타난다.

2등급 제약조건이 있는 양자계통에 대한 모얄 브래킷의 일반화는 위상공간 내 기능의 동등성 등급에 대한 연산을 수반하는 것으로,^[10] 디락 브래킷의 양자변형으로 간주할 수 있다.

사인 브래킷 및 코사인 브래킷

논의된 사인 브라켓 옆에서 그로네월드는 베이커가 상세히 기술한 코사인 브라켓을 추가로 소개했다^[3].^[7][11]

${\displaystyle {\begin}\{\{f,g\}\}\}\\\stackrel {\mathrm {def}{}}}}}{{1}:{1}{1}{1}}(f\star g+g\g\star f)=fg+O(\hbar ^{2}).\\end{aigned}}$

여기서 다시 말하지만 ★은 위상공간에서 별제품 연산자로 f와 g는 상공간 기능이 다르고 fg는 보통제품이다.

사인 대칭 및 코사인 대칭 괄호는 각각 항대칭 및 항성생물의 결과물이다.따라서 사인 브라켓은 정류자의 위그너 맵이므로 코사인 브래킷은 표준 양자역학에서 안티코뮤터레이터의 위그너 영상이다.마찬가지로 모얄 브래킷은 포아송 브래킷과 ħ의 상위 오더까지 동일하므로, 코사인 브래킷은 일반 제품과 ħ의 상위 오더까지 동일하다.고전적인 한계에서 모얄 브래킷은 코사인 브래킷이 고전적인 해밀턴-자코비 방정식으로 이어지기 때문에 리우빌 방정식(포아송 브래킷의 관점에서 형성된)의 축소를 돕는다.^[12]

사인 대괄호와 코사인 대괄호도 양자역학의 순수 대수적 설명 방정식과 관련된다.^[12][13]

참조