리 수페르게브라

수학에서, Lie superalgebra는 Z-grade를₂ 포함하기 위해 Lie 대수학을 일반화한 것이다. 거짓말 슈퍼걸브라는 초대칭의 수학을 설명하기 위해 사용되는 이론 물리학에서 중요하다. 이러한 이론의 대부분에서 초거대칭의 짝수 원소는 보손과 페르미온에 대응한다(그러나 이것이 항상 사실인 것은 아니다, 예를 들어 BRST 초대칭은 그 반대다).

정의

형식적으로, Lie superalgebra는 Rei superbracket 또는 supercommutator라고 불리는 [·, ·] 제품이 두 가지 조건(일반적으로 R 또는 C)을 만족하는 비관련 Z-graded 대수학₂, 즉 슈퍼대회지브라이다.

초대칭 스큐 대칭:

${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{ x y }[y,x].\ }$

초자코비 아이덴티티:^[1]

${\displaystyle(-1)^{x z }[y,z]+(-1)^{y x }[y,z,x]+(-1)^{ z }[z,[x,y]=0,}$

여기서 x, y 및 z는 Z-grading에서₂ 순수하다. 여기서 x는 x의 정도(0 또는 1)를 나타낸다. [x,y]의 정도는 x와 y modulo 2의 정도의 합이다.

또한 x = 0에 대한$$ 공리${\displaystyle }$[${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [x,x]=0},$ x = 0에 대한 공리 [x,x]=0},${\displaystyle }$x = 1에$$ 대해${\displaystyle }[{\displaystyle x,x]}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [[x,x]=0}$을 추가하기도 한다(3이러한 경우 자동으로 이 공리가 뒤따른다). 접지 링이 정수일 때 또는 리 슈퍼걸브라가 자유 모듈일 때, 이러한 조건은 푸앵카레-비르호프-위트 정리가 보유하고 있는 조건과 동등하다(그리고 일반적으로 그것들은 정리가 보유하는 데 필요한 조건이다).

리 알헤브라의 경우와 마찬가지로 리 슈퍼알제브라의 보편적 포락 대수학에도 홉프 대수학 구조가 주어질 수 있다.

등급이 매겨진 Lie 대수(예: Z 또는 N으로 채점)와 등급이 매겨진 의미에서의 자코비(Jacobi)도 $Z2$ {\displaystyle $Z_{2$}}등급$$(대수를 "롤업"하여 홀수 및 짝수부분으로 채점)을 가지지만 "슈퍼"라고 부르지 않는다. 자세한 내용은 등급이 매겨진 Lie 대수학에서 참고하십시오.

특성.

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$= ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ g ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\${g$}={\mathfrak {g}}{0}\plus${\$mathfrak{g}_{$1}}을 Lee superalgebra로 한다$$. 자코비 정체성을 점검해 보면 논쟁이 짝수냐 홀수냐에 따라 8가지 사례가 있다고 본다. 홀수 요소의 수에 의해 지수화된 네 가지 등급으로 분류된다.^[2]

1. 이상한 요소 없음. $그{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ 진술은 g ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$이(가) 보통의 Lie 대수일 뿐이다$$.
2. 한 가지 이상한 요소. Then ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$ is a ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$-module for the action ${\displaystyle \mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}}$$$.
3. 두 가지 이상한 원소. 자코비 아이덴티티에 의하면 브래킷 g ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ g ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$→ g ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$는 대칭 g ${\$} -mathfrap$$.
4. 세 가지 이상한 원소. 모든 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\$${\displaystyle }$[${\displaystyle b}$,${\displaystyle }$b${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [b,[b,b]]=0}$.

따라서 Lie superalgebra의 짝수$$ 하위격인 ${\displaystyle g_{\mathrm{}}}$ 0 ${\$$_{0}$는 모든 기호가 사라지면서 (정상) Lie 대수를 형성하고, superbracket은 정상적인 Lie 괄호가 되는 반면 $g{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ $1$은$$g ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$ {$g$$}$의 선형 표현이다$.$$}_{0}}$, and there exists a symmetric ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$-equivariant linear map ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$ such that,

${\displaystyle [\\x,y\right\}z]+[\좌측\{y,z\right\}x]+[\좌측\{z,x\right\}}y]=0,\mathfak {g}_{1}.}$

조건 (1)–(3)은 선형이며, 모두 일반적인 리 알헤브라의 관점에서 이해할 수 있다. 조건 (4)은 비선형이며, 일반적인 Lie 대수(${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$와 표현(${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\${\$mathfrak {g}_{1}})$에서 시작하는 Lie 슈퍼algebra를 구성할 때 가장 확인하기 어려운 조건이다.$$

비자발적

Lie superalgebra는 Z 등급을₂ 존중하고 Lie superalgebra의 모든 x와 y에 대해 [x,y]^* = [y^*,x^*]를 만족시키는 비자발적 반선형 지도가 자체에서 자체로 장착된 복잡한 Lie superalgebra이다. (일부 저자들은 두 개의 규약 사이의 [x,y]^{* x y} = (-x^*,y^*)[-*로 변경) 그것의 보편적인 포괄 대수학은 평범한 -알제브라일 것이다.

예

연관된 수퍼알제브라 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 지정하면 다음을 통해 동종 원소에 슈퍼커머터를 정의할 수 있다.

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{ x y }yx\ }$

선형성에 의해 모든 원소로 확장된다. 대수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 슈퍼커머레이터와 함께$$ Lie 슈퍼걸브라가 된다. 이 절차의 가장 간단한 예는 아마도 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 슈퍼 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 모든 선형 함수 ${\displaystyle \mathbf{En}}$ d${\displaystyle }$(${\displaystyle V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathbf {End}(V)$의 공간일$$$$ 것이다. When ${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{p q}}$, this space is denoted by ${\displaystyle M^{p q}}$ or ${\displaystyle M(p q)}$.^[3] With the Lie bracket per above, the space is denoted ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(p q)}$.^[4]

호모토피 그룹의 화이트헤드 제품은 정수 위에 리 슈퍼알제브라들의 많은 예를 보여준다.

분류

단순 복합 유한차원 리 슈퍼알제브라는 빅터 칵에 의해 분류되었다.

기본 클래식 콤팩트 Lie superalgebras (Lie Algebras가 아닌)는 [1]이다.

SU(m/n) 불변성을 가진 슈퍼 유니터리 리알헤브라스:

$(\displaystyle z).{\overline{z}}+iw.{\overline{w}}$

이렇게 하면 m z 변수와 n w 변수를 비확정적(non-commutive)으로 하고 실제 부분과 가상 부분을 취하면 두 개의 직교합체(아래 참조) 불변성이 주어진다. 그러므로, 우리는

$[\displaystyle SU(m/n)=OSp(2m/2n)\cap OSp(2n/2m)}$

SU(n/n)/U(1) 대수학을 단순화하기 위해 U(1) 발전기 하나를 제거하는 슈퍼 유니터리 리알헤브라의 특수한 경우.

OSp(m/2n) 이들은 직교성 집단이다. 다음과 같은 방법으로 제공된 불변제를 가지고 있다.

$(\displaystyle x.x+y.z-z)y}$

m 정류 변수(x) 및 n 쌍의 반 커밋 변수(y,z)의 경우 그것들은 초중력 이론에서 중요한 대칭이다.

D(2/1; ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$) 변수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 의해 매개된 초알레브라의 집합이며 차원 17을 가지고 있으며 OSp(9 8)의 하위알레브라이다$.$ 그룹의 짝수 부분은 O(3)×O(3)×O(3)×O(3)이다. 따라서 불변성은 다음과 같다.

${\displaystyle A_{\mu }A_{\mu }+B_{\mu }B_{\mu }+C_{\mu }C_{\mu }+\psi ^{\alpha \beta \gamma }\psi ^{\alpha '\beta '\gamma '}\varepsilon _{\alpha \alpha '}\varepsilon _{\beta \beta '}\varepsilon _{\gamma \gamma '}}$

${\displaystyle A_{\{1}A_{2}A_{3\}}+B_{{1}B_{2}B_{3\}}+C_{1}C_{1}C_{2}C_{3\}}}+A_{\mu }\Gamma _{\mu }^{\alpha \alpha '}\psi \psi +B_{\mu }\Gamma _{\mu }^{\beta \beta '}\psi \psi +C_{\mu }\Gamma _{\mu }^{\gamma \gamma '}\psi \psi }$

특정 상수 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma \}$에 대해$.$

F(4) 이 예외적인 Lie Superalgebra는 차원 40을 가지며 OSp(24 16)의 하위 알람이다. 그룹의 짝수 부분은 O(3)xSO(7)이므로 세 가지 불변제는 다음과 같다.

${\displaystyle B_{\mu \nu \nu \nu \nu \mu }=0}$

${\displaystyle A_{\mu }A_{\mu }+B_{\mu \nu }{\nu }+\psi _{\1}^{\1}^{\alpha _{2\}}\psi }}}}}}}{2\alpha }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\alpha.$

${\displaystyle A_{\{1}A_{2}A_{3\}+B_{\{\mu \nu }B_{\nu \tau }B_{\tau \mu \}}+B_{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }^{\alpha \beta }\psi _{k}^{\alpha }\psi _{k}^{\beta }+A_{\mu }\Gamma _{\mu }^{\alpha \beta }\psi _{\alpha }^{k}\psi _{\beta }^{k}+({\text{sym.}})}$

이 그룹은 16개의 성분 스피너를 두 개의 성분 옥토니언 스피너로 간주하고 상위 지수에 작용하는 감마 매트릭스를 단위 옥토니언으로 간주하여 옥토니언과 관련이 있다. 그러면 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ μ ν τ${\displaystyle {}_{}{\mu }_{}}$ μ μ μ μ μ μ$$μ μ { { { { $\mu \nu \tau$}\$sigma _{\nu \nu \tau }\equiv$ \$gamma$ _${\mu$ }}}}}}}}}}}}}}}}} 여기서$$ f는 옥토니언 곱의 구조 상수이다.

G(3) 이 예외적인 Lie Superalgebra는 차원 31을 가지며 OSp(17 14)의 하위 알람이다. 그룹의 짝수 부분은 O(3)×G2이다. 불변은 위(F(4)의 아발지브라임)와 비슷하므로 첫 번째 불변은 다음과 같다.

${\displaystyle A_{\mu }A_{\mu }+C_{\\alpha }^{\c_{\c_{\mu }^{1}+\psi _{\mu }^{2\}\psi }}}}}{{2\psi }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

p(n)와 q(n)로 불리는 이른바 이상한 시리즈도 두 개 있다.

무한차원 단순 선형 콤팩트 리 슈퍼알제브라 분류

The classification consists of the 10 series W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, m) (m ≥ 3), KO(m, m + 1), SKO(m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3) and the five exceptional algebras:

E(1, 6), E(5, 10), E(4, 4), E(3, 6), E(3, 8)

마지막 두 가지는 0레벨 대수학으로서 표준 모델 게이지 그룹 SU(3)×SU(2)×U(1)를 가지고 있기 때문에 특히 (Kac에 따르면) 흥미롭다. 무한차원(Affine) 리 슈퍼알제브라는 슈퍼스트링 이론에서 중요한 대칭이다. 구체적으로 $N{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 초대칭이$$ 있는 Virasoro 알헤브라는 K($,$ ${\displaystyle N}$){\$displaystyle$ K$(1,{\mathcal{N$$})$이며, $최대$ N${\displaystyle }$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystystyle {\n}$까지 중앙 확장만 있다$.$^[5]

범주-이론적 정의

카테고리 이론에서, Lie superalgebra는 제품이 만족하는 비 연관적 superalgebra로 정의될 수 있다.

• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circle({\operatorname {id}+\tau _{A,A}=0}$
• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\messages ([\cdot ,\cdot ]\otimes[\cdname {id}}\ma }+\cdma ^{2}=0})$

여기서 σ은 순환 순열 브레이딩$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle {\tau }_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$, ${\displaystyle A_{}}$)${\displaystyle \circ }$ ( ) A${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle A_{}\mathrm{id}}$) ${\displaystyle({\operatorname {id} \otimes \tau _{A}\au _{A$}\$au$ _{A$,},$$A}\otimes {\operatorname {id$ 다이어그램 형식:

참고 항목

• 게르스텐하버 대수
• 애니오닉 리 대수
• 그라스만 대수
• Lie Superalgebra의 표현
• 초공간
• 슈퍼그룹
• 범용포락 대수

메모들

참조

• Cheng, S.-J.; Wang, W. (2012). Dualities and Representations of Lie Superalgebras. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 144. pp. 302pp. ISBN 978-0-8218-9118-6.
• Freund, P. G. O. (1983). Introduction to supersymmetry. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511564017. ISBN 978-0521-356-756.
• Grozman, P.; Leites, D.; Shchepochkina, I. (2005). "Lie Superalgebras of String Theories". Acta Mathematica Vietnamica. 26 (2005): 27–63. arXiv:hep-th/9702120. Bibcode:1997hep.th....2120G.
• Kac, V. G. (1977). "Lie superalgebras". Advances in Mathematics. 26 (1): 8–96. doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2.
• Kac, V. G. (2010). "Classification of Infinite-Dimensional Simple Groups of Supersymmetries and Quantum Field Theory". Visions in Mathematics: 162–183. arXiv:math/9912235. doi:10.1007/978-3-0346-0422-2_6. ISBN 978-3-0346-0421-5. S2CID 15597378.
• Manin, Y. I. (1997). Gauge Field Theory and Complex Geometry ((2nd ed.) ed.). Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-61378-7.
• Musson, I. M. (2012). Lie Superalgebras and Enveloping Algebras. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 131. pp. 488 pp. ISBN 978-0-8218-6867-6.
• Varadarajan, V. S. (2004). Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction. Courant Lecture Notes in Mathematics. Vol. 11. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3574-6.

역사적

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• Gerstenhaber, M. (1963). "The cohomology structure of an associative ring". Annals of Mathematics. 78 (2): 267–288. doi:10.2307/1970343. JSTOR 1970343.
• Gerstenhaber, M. (1964). "On the Deformation of Rings and Algebras". Annals of Mathematics. 79 (1): 59–103. doi:10.2307/1970484. JSTOR 1970484.
• Milnor, J. W.; Moore, J. C. (1965). "On the structure of Hopf algebras". Annals of Mathematics. 81 (2): 211–264. doi:10.2307/1970615. JSTOR 1970615.

외부 링크

• 어빙 카플란스키 + 리 수페랄게브라스