해석역학

이론물리학과 수리물리학에서 해석역학 또는 이론역학은 고전역학의 밀접하게 연관된 대체 공식들의 집합이다.그것은 뉴턴 역학 이후 18세기 이후 많은 과학자들과 수학자들에 의해 개발되었다.뉴턴 역학은 시스템의 구성 요소들의 움직임의 벡터 양, 특히 가속, 모멘타, 힘을 고려하기 때문에, 뉴턴의 법칙과 오일러의 법칙에 의해 지배되는 역학의 다른 이름은 벡터 역학입니다.

이와는 대조적으로, 해석 역학은 개별 ^[1]입자에 대한 뉴턴의 벡터 힘이 아니라, 시스템 전체를 나타내는 운동의 스칼라 특성(일반적으로 총 운동 에너지와 위치 에너지)을 사용합니다.스칼라는 수량인 반면 벡터는 양과 방향으로 표현됩니다.운동 방정식은 스칼라의 변동에 대한 몇 가지 기본 원리에 의해 스칼라 양에서 도출됩니다.

분석 역학은 문제를 해결하기 위해 시스템의 제약을 활용합니다.구속조건은 시스템이 가질 수 있는 자유도를 제한하며, 모션에 필요한 좌표 수를 줄이는 데 사용할 수 있습니다.형식주의는 문맥상 일반화 좌표라고 알려진 임의의 좌표 선택에 매우 적합합니다.시스템의 운동 및 전위 에너지는 이러한 일반화 좌표 또는 모멘타를 사용하여 표현되며, 운동 방정식은 쉽게 설정될 수 있습니다. 따라서 해석 역학은 수많은 기계적 문제를 완전한 벡터 방법보다 더 효율적으로 해결할 수 있습니다.이것은 비보수적인 힘이나 마찰과 같은 소멸적인 힘에는 항상 작용하지 않으며, 이 경우 뉴턴 역학으로 되돌아갈 수 있습니다.

해석 역학의 두 가지 주요 분야는 라그랑지안 역학(구성 공간의 일반화 좌표와 그에 상응하는 일반화 속도를 사용)과 해밀턴 역학(위상 공간의 좌표와 그에 상응하는 모멘타를 사용)이다.두 공식 모두 일반화 좌표, 속도 및 모멘타에 대한 Legendre 변환에 의해 동등하므로, 두 공식 모두 시스템의 역학을 기술하기 위한 동일한 정보를 포함합니다.해밀턴-야코비 이론, 루시아 역학, 아펠 운동 방정식과 같은 다른 공식들이 있다.모든 형식주의에서 입자와 장에 대한 모든 운동 방정식은 최소 작용의 원리라고 불리는 널리 적용되는 결과로부터 도출될 수 있습니다.한 가지 결과는 보존 법칙과 관련된 대칭을 연결하는 진술인 노에터의 정리이다.

해석 역학은 새로운 물리학을 도입하지 않으며 뉴턴 역학보다 더 일반적이지 않다.오히려 그것은 광범위하게 적용되는 동등한 형식주의의 집합이다.사실 같은 원리와 형식이 상대론적 역학과 일반 상대성 이론, 그리고 약간의 수정, 양자역학 그리고 양자장 이론에서 사용될 수 있습니다.

해석 역학은 기초 물리학에서 응용 수학, 특히 카오스 이론까지 폭넓게 사용된다.

해석 역학의 방법은 각각 유한한 수의 자유도를 갖는 이산 입자에 적용됩니다.무한 자유도를 갖는 연속장 또는 유체를 설명하도록 수정할 수 있습니다.그 정의와 방정식은 역학의 그것과 매우 유사하다.

해석역학 과목

기계 이론의 가장 명백한 목표는 물리나 천문학에서 발생하는 기계 문제를 해결하는 것이다.메커니즘이나 별계 같은 물리적 개념에서 출발하여 수학적 개념 또는 모형을 미분 방정식 또는 방정식의 형태로 개발하여 그것들을 푸는 시도를 한다.

뉴턴에 의해 확립된 역학에 대한 벡터적 접근은 힘, 속도, 가속과 같은 벡터량의 도움으로 움직임을 설명하는 뉴턴의 법칙에 기초한다.이러한 양은 질량이 부착된 단일 점으로 이해되는 "질량점" 또는 "입자"로 이상화된 물체의 움직임을 특징짓는다.뉴턴의 방법은 성공적이었고 지구의 중력장에서의 입자의 움직임에서 시작하여 태양의 작용에 따른 행성의 움직임까지 광범위한 물리적 문제에 적용되었다.이 접근법에서, 뉴턴의 법칙은 운동을 미분 방정식으로 묘사하고, 그 문제는 그 방정식의 해법으로 환원된다.

입자가 자유롭게 움직이지 않고 서로 상호작용하는 고체나 유체와 같은 입자 시스템의 일부일 때, 뉴턴의 접근법은 각각의 단일 입자를 다른 입자들로부터 격리시키고, 그것에 작용하는 모든 힘을 결정하는 것과 같은 적절한 예방 조치 하에서 여전히 적용할 수 있다: 시스템에 작용하는 것.각 입자와 시스템 내의 다른 모든 입자의 상호작용에 대한 힘뿐만 아니라 전체적으로도 마찬가지입니다.이러한 분석은 비교적 단순한 시스템에서도 번거로울 수 있습니다.일반적으로 상호작용력은 알려지지 않았거나 결정하기가 어려워서 새로운 공식을 도입할 필요가 있다.뉴턴은 그의 제3법칙인 "작용=반응"이 모든 합병증을 해결할 것이라고 생각했다.이는 고체의 회전과 같은 단순한 시스템에서도 해당되지 않습니다.더 복잡한 시스템에서는 벡터적 접근법이 적절한 설명을 제공할 수 없습니다.

운동 문제에 대한 분석적 접근은 입자를 고립된 단위가 아니라 서로 상호작용하는 입자의 집합으로 이해되는 기계 시스템의 일부로 봅니다.시스템 전체를 고려할 때 단일 입자는 중요성을 잃습니다. 동적 문제는 시스템 전체를 파단하지 않고 포함합니다.이는 벡터 접근법에서는 힘이 각 입자에 대해 개별적으로 결정되어야 하는 반면 해석 접근법에서는 시스템에 작용하는 모든 힘을 암묵적으로 포함하는 단일 함수를 아는 것으로 충분하기 때문에 계산을 상당히 단순화합니다.이러한 단순화는 선험적으로 언급된 특정 운동학적 조건을 사용하여 종종 수행된다; 그것들은 이미 존재하고 일부 강한 힘의 작용에 기인한다.그러나 분석적 처리는 이러한 힘에 대한 지식을 필요로 하지 않으며 이러한 운동학적 조건을 당연하게 받아들인다.이러한 조건이 이들을 유지하는 다수의 힘에 비해 얼마나 단순한지를 고려하면 벡터적 접근법에 대한 분석적 접근법의 우수성이 명백해진다.

그러나 복잡한 기계 시스템의 운동 방정식은 많은 수의 개별 미분 방정식을 필요로 하는데, 이러한 방정식은 그것들이 따르는 통일된 기초 없이는 도출될 수 없습니다.이 기초는 변동 원리이다: 각 방정식의 이면에는 전체 집합의 의미를 표현하는 원칙이 있다.'작용'이라고 불리는 기본적이고 보편적인 양이 주어졌을 때, 이 작용이 다른 기계적 양의 작은 변화에서 정지한다는 원리는 필요한 일련의 미분 방정식을 생성합니다.원칙의 문장은 특별한 좌표계를 필요로 하지 않으며, 모든 결과는 일반화 좌표로 표현된다.이것은 움직임의 ^[2]벡터 방정식에 결여된 불변성 특성인 좌표 변환에 대해 분석 운동 방정식이 변경되지 않는다는 것을 의미합니다.

일련의 미분 방정식이 무엇을 의미하는지는 완전히 명확하지 않다.시각 t에서의 입자 좌표를 t의 단순함수 및 초기 위치 및 속도를 정의하는 파라미터로 표현하면 문제가 해결된 것으로 간주된다.그러나 '단순함수'는 잘 정의된 개념이 아니다. 오늘날 함수 f(t)는 뉴턴의 시간처럼 t(초급함수)에서 형식 표현으로 간주되지 않고, 가장 일반적으로 t에 의해 결정되는 양으로 간주되며, '단순함수'와 '단순함수' 사이에 명확한 선을 긋는 것은 불가능하다.만약 단지 '함수'에 대해서만 말한다면, 모든 기계적 문제는 초기 조건이 주어지고 t에서 좌표가 결정되기 때문에 미분 방정식에 잘 기술되는 즉시 해결된다.이것은 특히 현재 기계적인 문제에 대한 산술적 해법을 원하는 정확도로 제공하는 컴퓨터 모델링의 현대적인 방법, 즉 미분방정식이 차분방정식으로 대체되는 사실입니다.

그러나 정확한 정의는 없지만, 이체 문제는 간단한 해결책을 가지고 있는 반면 삼체 문제는 그렇지 않다.이체 문제는 매개 변수를 포함하는 공식에 의해 해결됩니다. 그 값은 모든 해법의 클래스, 즉 문제의 수학적 구조를 연구하기 위해 변경될 수 있습니다.게다가, 두 몸의 움직임에 대해 정확한 정신적 또는 그려진 그림이 만들어질 수 있고, 그것은 실제 몸이 움직이고 상호작용하는 것만큼 현실적이고 정확할 수 있다.3체 문제에서는 파라미터에 특정 값을 할당할 수도 있습니다.다만, 이러한 값의 해법이나 그러한 해법의 집합은 문제의 수학적 구조를 나타내지 않습니다.다른 많은 문제들과 마찬가지로, 수학 구조는 미분 방정식 자체를 조사해야만 설명할 수 있다.

분석 역학은 더 많은 것을 목표로 합니다. 단 하나의 기계적 문제의 수학적 구조를 이해하는 것이 아니라 대부분의 역학을 포괄할 정도로 광범위한 문제의 구조를 이해하는 것입니다.라그랑지안 또는 해밀턴 운동 방정식을 적용할 수 있고 실제로 ^[3]매우 광범위한 문제를 포함하는 시스템에 초점을 맞춥니다.

해석역학의 개발에는 (i) 적용 범위가 넓은 표준기술을 개발함으로써 해결 가능한 문제의 범위를 넓히는 것과 (ii) 역학의 수학적 구조를 이해하는 것의 두 가지 목적이 있다.그러나 장기적으로는 (ii) 방법이 이미 설계되어 있는 특정 문제에 집중하는 것 이상을 도울 수 있다.

고유 운동

일반화 좌표 및 구속조건

뉴턴 역학에서는 일반적으로 세 개의 데카르트 좌표, 즉 다른 3D 좌표계를 모두 사용하여 물체의 운동 중 위치를 가리킵니다.그러나 물리적 시스템에서 일부 구조 또는 다른 시스템은 일반적으로 신체의 움직임이 특정한 방향과 경로를 가지 못하도록 제한한다.따라서 전체 데카르트 좌표 집합은 종종 필요하지 않습니다. 제약조건이 좌표들 사이의 진화하는 관계를 결정하므로, 제약조건에 대응하는 방정식에 의해 관계를 모델링할 수 있습니다.라그랑지안과 해밀턴의 형식론에서는 구속조건이 운동의 기하학에 통합되고, 운동을 모델링하는 데 필요한 최소의 좌표 수로 감소합니다.이를 q(i = 1, 2, 3...)^[4]로_i 표기되는 일반화 좌표라고 합니다.

곡선 좌표와 일반화 좌표의 차이

일반화 좌표는 시스템에 구속조건을 포함합니다.각 자유도에 대해 하나의 일반화 좌표_i q가 있다(지수로 표시된 편의상 i = 1, 2...).N) 즉, 시스템이 곡선 길이 또는 회전 각도로 구성을 변경할 수 있습니다.일반화 좌표는 곡선 좌표와 동일하지 않습니다.곡선 좌표의 수는 문제의 위치 공간의 차원과 동일하지만 (일반적으로 3d 공간의 경우) 일반화 좌표의 수는 반드시 이 차원과 동일하지는 않다; 제약 조건은 자유도의 수를 감소시킬 수 있다 (따라서 t의 구성을 정의하는데 필요한 일반화 좌표의 수).시스템)^[5]에 준거한다.

[위치공간의 차이 (보통 3)] × [계통의 성분수 ("변형")] - (제한조건의 수)

= (자유도) = (일반화된 좌표의 수)

자유도가 N인 시스템의 경우 일반화된 좌표를 N-튜플로 수집할 수 있습니다.

\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\display,q_{N})

그리고 이 튜플의 시간 도함수(여기서는 오버닷으로 표시됨)는 일반화 속도를 제공한다.

{d\mathbf {q}{dt}=\leftfrac {dq_{1}}{dt}}, {\frac {dq_{dt}}, \frac {dq_{dt}}}, \ equiv \mathbf {dot_q} {dt} {dt}} {dt}}}} {dt} {dt} {dt} {dt} }

달랑베르의 원리

그 주제의 기초는 달랑베르의 원리이다.

이 원리는 가역적 변위에 걸친 힘에 의해 수행된 극소 가상 작업이 0이며, 이는 시스템의 이상적인 제약 조건과 일치하는 힘에 의해 수행된 작업입니다.제약이라는 개념은 시스템이 수행할 수 있는 작업을 제한하고 시스템의 움직임을 해결하기 위한 단계를 제공할 수 있기 때문에 유용합니다.달랑베르 원리의 방정식은 다음과 같다.

\displaystyle W=displaybold symbol {Q}\cdot \display\mathbf {q} = 0,

어디에

({displaystyle {\mathcal {Q}}=mathcal {Q}}_{1},{\mathcal {Q}}_{2},\dots,{\mathcal {Q}}_{N})})

q는 일반화 힘(여기에서는 아래 표준 변환과의 충돌을 방지하기 위해 일반 Q 대신 스크립트 Q가 사용됨)이며, q는 일반화 좌표입니다.이는 해석역학 언어로 된 뉴턴의 법칙의 일반화된 형태로 이어집니다.

{\mathcal {Q}}=mathfrac {d}{dt}}\left\frac {dt}{\partial \mathbf {q}}-{\frac {q}}{\partial \mathbf {q}}},},

여기서 T는 시스템의 총 운동 에너지이고, 표기법은

{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac q_{1}, {\frac }{\frac q_{2},\frac }{\frac }{\frac q_{N}}\right

는 유용한 줄임말입니다(이 표기는 행렬 미적분 참조).

홀로노믹 제약

곡선 좌표계가 표준 위치 $벡터$ r에 의해 정의되고 위치 벡터가 다음과 같은 $형태$ 로 일반화 좌표 $q$ 및 시간 t의 관점에서 기록될 수 있는 경우:

\displaystyle \mathbf {r} = \mathbf {r} (\mathbf {q} (t,t)}

그리고 이 관계는 모든 시간

t

에 대해

유지

되며 q는 홀로노믹 ^[6]제약조건이라고 불립니다.

벡터

r은

q (t

) 때문만이 아니라 제약조건이 시간에 따라 변화하는 경우 t에

명시적

으로 의존합니다.시간에 의존하지 않는 상황에서는 제약조건을 경화증이라고도 하며, 시간에 의존한 경우에는 ^[5]rhenomic이라고 합니다.

라그랑주 역학

라그랑주 방정식과 오일러-라그랑주 방정식

일반화 좌표와 기본 라그랑지안 함수의 도입:

L(\mathbf {q}),\mathbf {q},t}=T(\mathbf {q}),\mathbf {q},t)-V(\mathbf {q},\mathbf {q},t)

여기서 T는 총 운동 에너지, V는 전체 시스템의 총 위치 에너지이며, 변동의 미적분을 따르거나 위의 공식을 사용하여 오일러-라그랑주 방정식을 도출한다.

\displaystyle \frac {dt} \frac {dt} \frac {\partial\mathbf {q} } = frac {\partial\mathbf {q} },}

각_i q(t)에 대해 하나씩 N개의 2차 상미분 방정식 집합입니다.

이 공식은 운동 뒤에 오는 실제 경로를 총 에너지가 고정된다고 가정하고 통과 시간에 어떠한 조건도 부과하지 않는 운동 에너지의 시간 적분이 최소인 경로의 선택으로 식별한다.

구성 공간

Lagrangian 공식은 가능한 모든 일반화 좌표 집합인 시스템의 구성 공간을 사용합니다.

\displaystyle {\mathcal {C}}=\{\mathbf {q}\in \mathbb {R}^{N}\},,}

$\mathbb {R} ^{N}$ 서 R N $(\$ ^{ $N})$ 은 $\mathbb {R} ^{N}$ N차원 실공간입니다(설정 빌더 표기 참조).오일러-라그랑주 방정식에 대한 특정 해법은 (구성) 경로 또는 궤적이라고 불리며, 즉, 하나의 특정 q(t)가 초기 조건의 대상이다.일반적인 솔루션은 시간 함수로서 가능한 일련의 구성을 형성합니다.

\displaystyle \{\mathbf {q}(t)\in \mathbb {R} ^{N},:,t\geq 0,t\in \mathbb {R}\subseteq {c},}

구성 공간은 위상 다지관과 접선 다발의 관점에서 더 일반적으로, 더 깊이 정의할 수 있습니다.

해밀턴 역학

해밀턴과 해밀턴 방정식

Lagrangian의 Legendre 변환은 일반화 좌표와 속도(q, q))를 (q, p)로 대체한다. 일반화 좌표와 일반화 모멘타는 일반화 좌표에 공역한다.

\displaystyle \mathbf {p} = \mathbf {\partial \mathbf {\dot {q}} = \leftfrac \frac {\frac L} {\partial \dot {q} _ {2} }, cdots {\frac L}

그리고 해밀턴(일반화된 좌표 및 모멘타)을 소개합니다.

\displaystyle H(\mathbf {q},\mathbf {p},t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} -L(\mathbf {q},\mathbf {q},t})

여기서 •는 점곱을 나타내며, 해밀턴의 방정식으로 이어집니다.

\displaystyle \mathbf {p} =-{\frac H}{\partial \mathbf {q}},\frac \mathbf {q} =+{\frac {p}{\partial \mathbf {p}}},,}

이제 각_i q(t) 및_i p(t)에 대해 하나씩 2N의 1차 상미분 방정식의 집합이다.Legendre 변환의 또 다른 결과는 Lagrangian과 Hamiltonian의 시간 도함수와 관련이 있다.

{\displaystyle {dH}{dt}=-{\frac L}{\partial t}},

해밀턴의 운동 방정식 중 하나로 여겨지기도 한다.일반화 모멘타는 뉴턴의 제2법칙과 같은 방법으로 일반화 힘의 관점에서 쓸 수 있다.

\displaystyle \mathbf {p} = \bold symbol {mathcal {Q},}

일반화 운동량 공간

구성 공간과 마찬가지로 모든 모멘타의 집합은 운동량 공간(기술적으로는 이 맥락에서 일반화된 운동량 공간)입니다.

\displaystyle {\mathcal {M}}=\{\mathbf {p}\in \mathbb {R}^{N}\},}

"운동 공간"은 또한 양자역학 및 파동 이론에서 사용되는 모든 파동 벡터의 집합인 "k-공간"을 가리킨다.

위상 공간

모든 위치와 모멘타의 집합이 위상 공간을 형성한다.

(\displaystyle {\mathcal {P}}=\times {\mathcal {M}}=\{(\mathbf {q},\mathbf {p})\in \mathbbb {R}^{2N}\,},},},})

즉, 구성 공간과 일반화 운동량 공간의 데카르트 곱 ×이다.

해밀턴 방정식에 대한 특정 해는 위상 경로라고 불리며, 특정한 곡선(q(t), p(t))은 요구되는 초기 조건에 따릅니다.미분 방정식의 일반적인 솔루션인 모든 위상 경로의 집합은 위상 세로입니다.

\displaystyle \{(\mathbf {q}(t),\mathbb {p}(t)\in \mathbb {R},:,t\geq 0,t\in \mathbb {R}\subseteq {P},},}\in \mathbbbb {R},\mathbf {R},\mathb}

포아송 괄호

모든 동적 변수는 위치 r, 운동량 p 및 시간 t에서 도출할 수 있으며 다음과 같은 함수로 기술할 수 있습니다.A = A(q, p, t).A(q, p, t)와 B(q, p, t)가 두 개의 스칼라 값 동적 변수인 경우, 포아송 괄호는 일반화 좌표와 모멘타에 의해 정의됩니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\{A,B\}\equiv \{A,B\}_{\mathbf{q},\mathbf{p}}&={\frac{A\partial}{\partial \mathbf{q}}}\cdot{\frac{\partial B}{\partial \mathbf{p}}}-{\frac{A\partial}{\partial \mathbf{p}}}\cdot{\frac{\partial B}{\partial \mathbf{q}}}\\&, \equiv \sum _{k}{\frac{A\partial}{\partial q_{k}}}{\frac{\partial B}{.\partialp_{k}-{\frac {\partial p_{k}}{\frac {\partial B}{\partial q_{k}},\end {aligned}}}

이들 중 하나(예: A)의 총 도함수를 계산하고 해밀턴 방정식을 결과에 대입하면 A의 시간 진화가 일어난다.

{frac {dA} {dt}}=\{A,H+{\frac {\partial A}{\partial t}},

A의 이 방정식은 고전적 동적 변수가 양자 연산자(^)가 되고 포아송 괄호는 디락의 정규 양자화를 통해 연산자의 정류자로 대체되는 양자 역학의 하이젠베르크 그림의 운동 방정식과 밀접하게 관련되어 있다.

\displaystyle \{A,B\}\rightarrow {frac {1}{i\hbar}}[{\hat {A}}, {\hat {B}}},}

라그랑지안과 해밀턴 함수의 특성

다음은 Lagrangian 함수와 Hamiltonian ^[5]^[7]함수 사이의 겹치는 특성입니다.

자유도별 모든 개별 일반화 좌표_i q(t), 속도 _iqθ(t) 및 모멘타_i p(t)는 서로 독립적이다.함수의 명시적 시간 의존성은 함수가 단순히 q(t)와 p(t)를 통한 매개 변수로서가 아니라 q(t), p(t) 외에 실제로 변수로 시간 t를 포함하는 것을 의미하며, 이는 명시적 시간 독립성을 의미한다.
라그랑지안은 $L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,$ ' 및 t 함수의 총 시간 도함수에 더해 불변합니다. 즉, L $=$ $L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,$ + $L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,$ $L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,$ F $L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,$ ( $L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,$ , $L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,$ t ) , \ $displaystyle$ L $' =$ L + { \ $frac$ { d } { $d$ } $F$ ( \ $mathbf { q }$ , t $L'=L+{\frac {d}{dt}}F(\mathbf {q} ,t)\,,$ ) 。따라서 각 라그랑지안과 Lagrance는 다음과 같습니다.즉, 시스템의 라그랑지안은 유일하지 않습니다.
이와 유사하게, 해밀턴 함수는 q, p, t 함수의 부분 시간 도함수를 더하면 불변한다. $K=H+{\frac}{\frac t}G(\mathbf {q},\mathbf {p},t},$ (이 경우 K는 자주 사용되는 문자입니다).이 속성은 표준 변환에 사용됩니다(아래 참조).
만약 라그랑지안이 일반화 좌표와 독립적이라면, 그 좌표들에 대한 공역 모멘타는 운동의 상수이다. 즉, 보존된다. 이것은 라그랑지의 방정식에서 바로 뒤따른다: ${\frac {\partial q_{j}}=0,\rightarrow},{\frac {dp_{j}}={dt}{\frac {dt}}{\frac {dt}}{\frac L}{\partial {q}_{j}=0$ 이러한 좌표는 "순환" 또는 "무시"입니다.해밀턴도 정확히 같은 일반화 좌표에서 순환한다는 것을 보여줄 수 있다.
라그랑지안이 시간에 의존하지 않는다면 해밀턴도 시간에 의존하지 않는다(즉, 둘 다 시간에 일정하다).
운동에너지가 일반화 속도의 2도 균질함수이고 라그랑지안이 명시적으로 시간 독립적이라면 다음과 같다. $\displaystyle T(\lambda {q}_{i})^{2},(\dot {q}_{j}\dotda {q}_{k}),\mathbf {q}=\dotda ^{2}T({\dot {q}_{q})^2},{\dot {q}, {dot}, {k}} {dot}}} {dot}}}}, {dot}, {dot}, {dot}, {dot}, {dot}, {dot}, {$ 여기서 θ는 상수이고, 해밀토니안은 시스템의 총 운동 에너지 및 잠재 에너지와 동일한 총 보존 에너지입니다. $(\displaystyle H=T+V=E, )$ 이것은 슈뢰딩거 방정식의 기초이며, 양자 연산자를 삽입하여 직접 구합니다.

최소 작용의 원리

시스템이 진화함에 따라 q는 설정 공간을 통과하는 경로를 추적합니다(일부만 표시됨).시스템(빨간색)이 취하는 경로에는 시스템 구성의 작은 변화(θsq)^[8]에서 정지 동작(θS = 0)이 있습니다.

작용은 분석역학에서 라그랑지안의 함수로 정의되는 또 다른 양이다.

{S}=\int _{t_{1}}^{2}}L(\mathbf {q},\mathbf {q},t)dt,

동작에서 운동 방정식을 구하는 일반적인 방법은 최소 ^[9]동작의 원리입니다.

\displaystyle \mathcal {S}=\delta \int _{t_{1}^{t_{2}}L(\mathbf {q},\mathbf {q},t)dt=0,}

여기서 출발₁ t와 도착₂ t 시간은 ^[1]고정됩니다."패스" 또는 "트래저리"라는 용어는 구성 ${\mathcal {C}}$ C $(\$ 를 통과하는 경로로서 시스템의 시간적 진화를 가리킵니다. 즉 $, C$ (\ $displaystyle\mathcal$ {C ${\mathcal {C}}$ 의 경로를 추적하는 것입니다.액션이 최소인 경로는 시스템에 의해 실행되는 경로입니다.

이 원리에서 고전 역학의 모든 운동 방정식을 도출할 수 있다.이 접근법은 입자계(아래 참조)가 아닌 장으로 확장될 수 있으며 양자역학의 ^[10]^[11]경로 적분 공식의 기초가 되며 일반 상대성 ^[12]이론에서 측지학 운동을 계산하는 데 사용됩니다.

해밀턴-야코비 역학

표준 변환

해밀턴의 불변성(p, q, t의 임의의 함수의 부분 시간 도함수 추가)은 좌표 q와 모멘타 p의 한 집합에 있는 해밀턴을 새로운 집합 Q = Q(q, p, t) 및 P = P(q, p, t)로 변환하는 데 네 가지 방법이 있다.

{begin{aligned}&K(\mathbf {Q},\mathbf {P},t)=H(\mathbf {q},\mathbf {p},t)+{\frac {\frac}{\frac}{q},\mathbf {Q},t}\&K(\mathbf {Q},\mathbf {P},t)=H(\mathbf {q},\mathbf {p},t)+{\frac {\frac}{\frac}{q},\mathbf {P},t}\&K(\mathbf {Q},\mathbf {P},t)=H(\mathbf {q},\mathbf {p},t)+{\frac {\frac}{\frac}{p},\mathbf {Q},t}\&K(\mathbf {Q},\mathbf {P},t)=H(\mathbf {q},\mathbf {p},t)+{\frac {partial}{\partial t}}G_{4}(\mathbf {p},\mathbf {P},t)\end {aligned}}

변환된 해밀턴 시스템이 다음과 같이 되도록 P와 Q에 대한 제한이 있습니다.

\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac K}{\partial \mathbf {Q}},\partial \mathbf {Q} =+{\frac {\frac K}{\partial \mathbf {P}}},},\partial \frac \mathbf {P}

위의 변환을 표준 변환이라고 하며, 각 함수_n G를 "n번째 종류" 또는 "type-n"의 생성 함수라고 한다.좌표와 모멘타의 변환은 주어진 문제에 대한 해밀턴의 방정식을 푸는 것을 단순화할 수 있다.

Q와 P의 선택은 완전히 임의이지만 모든 선택이 표준 변환으로 이어지는 것은 아닙니다.변환 q → Q 및 p → P가 표준이 되기 위한 한 가지 간단한 기준은 포아송 괄호 be unity이다.

\{i},P_{i}\}=1

모든 i = 1, 2,...N. 이 값이 유지되지 않으면 변환은 ^[5]정규 변환이 아닙니다.

해밀턴-야코비 방정식

규범적으로 변환된 해밀턴 K = 0, 해밀턴의 주요 함수( ${\mathcal {S}}$ S $\$ 와 임의 상수 C를 설정하면 다음과 같이 됩니다.

G_{2}(\mathbf {q},t)=mathbf {S}(\mathbf {q},t)+C,

일반화된 순간은 다음과 같습니다.

\mathbf {p} = frac {\mathcal {S}} {\partial \mathbf {q}

P가 일정하면 해밀턴-야코비 방정식(HJE)은 타입 2의 표준 변환에서 도출할 수 있다.

H=-{\frac {\mathcal {S}}{\partial t}

여기서 H는 이전과 같은 해밀턴이다.

\displaystyle H=H(\mathbf {q},\mathbf {p},t)=H\left(\mathbf {q}, {\frac {\mathcal {S}}{\partial \mathbf {q}}, t\right})}

또 다른 관련 함수는 해밀턴의 특징 함수이다.

W(\mathbf {q})=mathbf {S}(\mathbf {q},t)+Et

시간 독립 Hamiltonian H에 대한 변수의 가법 분리를 통해 HJE를 해결하는 데 사용됩니다.

해밀턴-야코비 방정식의 해법에 대한 연구는 자연스럽게 심플렉틱 다양체와 심플렉틱 ^[13]^[14]위상에 대한 연구로 이어진다.이 공식에서, 해밀턴-야코비 방정식의 해는 해밀턴 벡터장의 적분 곡선이다.

루시아 역학

Routhian 역학은 Lagrangian 역학과 Hamiltonian 역학을 혼합한 것으로, 자주 사용되지 않지만 순환 좌표를 제거하는 데 특히 유용합니다.시스템의 라그랑지안이 공역 모멘타 p = p₁, p₂, ... p를_s_s 갖는 s 순환 좌표 q₁ = q₂₁, q, ... q를 가지며 나머지 좌표는 비변형이고 = ,, ,, ζ₁_{N − s}, ζ를 나타내면, Routhian을 도입하여 제거할 수 있다.

{\displaystyle R=\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} ,\mathbf {p} , {\boldsymbol {zeta } , {\dot \mathbf {q}} ,

이것은 순환 좌표 q에 대한 2s 해밀턴 방정식의 집합으로 이어진다.

{\mathbf {q}=+{\frac R}{\partial \mathbf {p}},\dot {\frac {p}}=-{\frac {q}},},},\dot {\frac {\frac R},},},

및 N - s 라그랑지안 방정식을 비순환 좌표 θ에 포함시킨다.

{\displaystyle\frac{dt}{\frac R}{\frac R}{\partial\frac R}={frac R}{\partial\bold symbol\zeta }}}},}

이렇게 설정하면, Routhian은 Hamiltonian의 형태를 가지고 있지만, N - s 자유도를 가진 Lagrangian이라고 생각할 수 있습니다.

좌표 q는 순환적일 필요가 없으며, 해밀턴 방정식에 들어가는 좌표와 라그랑지 방정식에 들어가는 좌표 사이의 분할은 임의입니다.단순히 해밀턴 방정식이 순환 좌표를 제거하고 비순환 좌표를 라그랑주 운동 방정식에 맡기는 것이 편리합니다.

아펠리아 역학

아펠의 운동 방정식은 일반화 가속, 즉 일반화 좌표의 두 번째 도함수를 포함한다.

\alpha _{r}=syslogddot {q}_{r}=syslogfrac {d^{2}q_{r}{dt^{2}},,

달랑베르 원리에서 언급한 일반화된 힘도 마찬가지입니다.방정식은

{mathcal {Q}}_{r}=partial \alpha _{r}},\sum S=partial \alpha {1}{2},\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a}_{k},{k

어디에

\mathbf {a} _{k} = specdddot {mathbf {r} } = specfrac {d^{2}\mathbf {r} _{k}}

위치 벡터의 두 번째 시간 도함수인 k 입자의 가속도입니다.각 가속도_k a는 일반화 가속도α로_r 표현되며, 마찬가지로_k 각 r도_r 일반화 좌표 q로 표현된다.

고전장 이론의 확장

라그랑주 장론

일반화 좌표는 이산 입자에 적용됩니다.N개의 스칼라 필드 θ_i(r, t)의 경우 i = 1, 2, ...N, 라그랑지안 밀도는 이러한 장과 그 공간 및 시간 도함수의 함수이며, 공간과 시간 좌표 자체일 수 있습니다.

{\mathcal {L}}={phi _{1},\phi _{2},\displayla \phi _{1},\displayla \phi _{2},\dots _{t}\phi _{1},\displayla _{t},\mathb},{f},\mathcla \phi _{f}.

그리고 오일러-라그랑주 방정식은 필드에 대한 유사점을 가지고 있다.

\displaystyle _{\mu}\leftfrac {\partial (\partial _{\mu }\phi _{i}}}}}\right)=partial \frac {\partial \phi _{i},}

여기서 _μθ는 4차원을 나타내며, 합산규칙이 사용되었습니다.N개의 스칼라 필드의 경우, 이러한 라그랑지안 필드 방정식은 필드 내의 N개의 2차 편미분 방정식의 집합이며, 일반적으로 결합되어 비선형적입니다.

이 스칼라 필드 공식은 벡터 필드, 텐서 필드 및 스피너 필드로 확장할 수 있습니다.

라그랑지안은 라그랑지안 ^[11]^[15]밀도의 부피 적분이다.

L=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {L}},dV,

원래 고전장용으로 개발된 위의 공식은 뉴턴 중력, 고전 전자기학, 일반 상대성 이론, 양자장 이론과 같은 고전, 양자 및 상대성 상황의 모든 물리장에 적용됩니다.올바른 필드 방정식을 생성하기 위해 올바른 라그랑주 밀도를 결정하는 문제입니다.

해밀턴 장론

N 스칼라 필드 θ_i(r, t)에 해당하는 "모멘텀" 필드 밀도는 다음과 같습니다.^[11]

\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {r},t)=partial {\mathcal {L}},\partial {\dot {phi}}_{i},\equiv {frac}

여기서 오버닷은 전체 시간 도함수가 아닌 부분 시간 도함수를 나타낸다.해밀턴

{\mathcal {H}}

H(\

style\display\

mathcal {

H})

는

{\mathcal {H}}

다음과 같이 역학과 유사하게 정의됩니다.

{\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots,\mathbf {r},\ldots,\sum _{i=1}^{N}{\dot {phi}_{i},\mathbf {r},\mathbf}) _{{f}_{{f}

운동 방정식은 다음과 같습니다.

\displaystyle \dot {phi } = + {\frac {\delta \pi _{i}} , \frac {\frac {\delta \pi } = - {\frac {hi} , {\delta \phi}

여기서 변분 도함수는

{\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\fi } {\frac } {\fi }}}

단순한 부분 도함수 대신 사용해야 합니다.N개의 필드의 경우, 이러한 해밀턴 필드 방정식은 2N의 1차 편미분 방정식의 집합으로, 일반적으로 결합되고 비선형적입니다.

다시, 해밀턴 밀도의 부피 적분은 해밀턴이다.

H=\int _{\mathcal {V}}{\mathcal {H}},dV,

대칭, 보존 및 노에터의 정리

고전적인 시공간에서의 대칭 변환

각 변환은 연산자에 의해 기술될 수 있다(즉, 위치 r 또는 이들을 변경하기 위한 운동량 p 변수에 작용하는 함수).다음은 작업자가 r 또는 p,^[10] 즉 대칭을 변경하지 않는 경우입니다.

변혁	교환입니다.	위치	모멘텀
병진 대칭	$X(\mathbf {a})$	$\displaystyle \mathbf {r} \오른쪽 화살표 \mathbf {r} +\mathbf {a} }$	$\displaystyle \mathbf {p} \right 화살표 \mathbf {p}$
시간 변환	$U(t_{0})$	$\displaystyle \mathbf {r}(t)\rightarrow \mathbf {r}(t+t_{0})$	$\displaystyle \mathbf {p}(t)\rightarrow \mathbf {p}(t+t_{0})$
회전 불변성	$R(\mathbf {n}},\theta)$	$\displaystyle \mathbf {r} \오른쪽 화살표 R(\mathbf {n} ,\theta )\mathbf {r}$	$\displaystyle \mathbf {p} \오른쪽 화살표 R(\mathbf {n} ,\theta )\mathbf {p}$
갈릴레오 변환	$G(\mathbf {v})$	$\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t}$	$\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}$
패리티	$P$	$\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow - \mathbf {r}$	$\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow - \mathbf {p}$
T대칭성	$T$	$\displaystyle \mathbf {r} \오른쪽 화살표 \mathbf {r}(-t)}$	$\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)}$

여기서 R(nθ, θ)는 단위 벡터 nθ 및 각도 θ에 의해 정의된 축에 대한 회전 행렬이다.

노에터의 정리

노에터의 정리는 작용의 연속 대칭 변환이 보존 법칙에 해당한다는 것을 나타낸다. 즉, 작용(그리고 라그랑지안)은 파라미터 s:에 의해 파라미터화된 변환 파라미터에서 변경되지 않는다.

L[q(s,t), {\dot {q}}(s,t)]=L[q(t), {\dot {q}}(t)}

라그랑지안은 길이, 회전 각도 또는 시간이 될 수 있는 s와 독립적인 동일한 운동을 설명합니다.대응하는 모멘타와 q가 ^[5]보존됩니다.

「」를 참조해 주세요.

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