요르단-체발리 분해

수학에서, 카밀 조던과 클로드 체발리의 이름을 딴 조던-체발리 분해는 선형 연산자를 통근 반실행 부분과 영점 부분의 합으로 표현한다.승수분해효과는 불가역 연산자를 통근 반 구현 및 전지전능 부품의 산물로 표현한다.분해는 요르단 정상 형태의 연산자가 주어졌을 때 설명하기 쉽지만, 요르단 정상 형태의 존재보다 약한 가설 아래 존재한다.선형 대수군, 리 알헤브라스, 리 그룹의 원소에 대해 요르단-셰발리 분해의 유사성이 존재하며, 분해는 이들 물체의 연구에 중요한 도구다.

선형 연산자의 분해

필드 위에 있는 유한 차원 벡터 공간의 선형 연산자를 고려하십시오.모든 T-invariant 하위공간이 보완적인 T-invariant 하위공간을 갖는 경우(기본장이 대수적으로 닫힌 경우, 이는 운영자가 대각선으로 가능해야 한다는 요구사항과 동일하다) 연산자 T가 반실행된다.연산자 x는 전력^m x 중 일부가 영점 연산자일 경우 영점이다.연산자 x는 x - 1이 nilpotent이면 전능하지 않다.

자, x는 어떤 조작자가 되든지.x의 요르단-체발리 분해는 합으로 나타낸 것이다.

x = x_s + x_n,

여기서 x는_s semisimple, x는_n nilpotent, x와_s x 통근_n.완벽한 장 위에 그러한 분해(^[1]cf. #특성과 존재의 증명)가 존재하며, 분해는 고유하며, x와_s x는_n 일정한 항이 없는 x의 다항식이다.^[2][3]특히, 완벽한 영역에 대한 그러한 분해의 경우, x로 통근하는 연산자는 x와_s x로도_n 통근한다.

x가 변위불능 연산자일 경우, 승법 조던-쉐발리 분해는 x를 하나의 제품으로 표현한다.

x = x_s · x_u,

여기서 x는_s semisimple이고, x는_u 전지전능하지 않으며_s, x와 x_u 통근이다.다시 말하지만, 완벽한 필드 위에 그러한 분해는 존재하며, 분해는 고유하며, x와_s x는_u x의 다항식이다.${\displaystyle {분해}_{}}$의 곱셈$버전$은 x s {\$displaystyle$x_{s}}이(가) 쉽게 뒤집힐 수 있기 때문에 첨가제 버전에서 따르게 된다.

${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}=x_{s}\좌측(1+x_{s}^{-1}x_{n}\우측)}$

및 $1{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle x_{}^{}}$ s${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$ x ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 전능하지$$ 않다.(반대로 같은 유형의 인수에 의해 승법에서 가법 버전을 추론할 수 있다.)

그 행렬의 행렬은 비대각 조항을 담xn은 자기 준동형 x의 대각선 조항을 담만약 x조르당 표준형에서(이유가에 대하여) 쓴 것이다 그때 xs은 자기 준동형이 매트릭스를 조르당 표준형에서 나에 의해 각 조던 블록의 모든 항목을 나눈 1 수짜리동전은 자기 준동형이익대각 원소

고유성과 존재의 증거

The uniqueness follows from the fact ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$ are polynomial in x: if ${\displaystyle x=x_{s}'+x_{n}'}$ is another decomposition such that ${\displaystyle x'_{s}}$ and ${\displaystyle x'_{n}}$ commute, then ${\displaystyle x_s-x_s^{\prime }=x_n^{\prime }}$${\displaystyle {}_{}^{}-}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$과(와) $x{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle s_{}^{},}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle s_{}^{}}$, x n${\displaystyle {}_{}^{}}${$${\$displaystyle x_{s}, x_{$$n}}$이(가) 함께 통근하므로$$x${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, x, ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ x_${s_{s}.$통근 nilpotent 내형성의 합은 nilpotent이고, 완벽한 분야에 걸쳐 통근 반실현 내형성의 합은 다시 반감된다.semisimply와 nilpotent 둘 다인 유일한 연산자는 0 연산자이기 때문에 x ${\displaystyle s_{}}$= x ${\displaystyle s_{}^{}}$ {\$displaystyle x_{s}=x_{s}}}$ 및 x $n$ = x ${\displaystyle n_{}^{}{}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $′$ {\$displaystyle x_{n}=x_{n}}}}}}}}}$을 따른다$.$

우리는 존재를 보여 준다.V를 완벽한 $필드{\displaystyle }$ k와${\displaystyle }$x : ${\displaystyle V}$→ $[\displaystyle$ x$:V\to V}$ 위에$$ 있는 유한차원 벡터 공간이 되게 하라.

먼저 베이스 필드 k가 대수적으로 닫혔다고 가정한다.Then the vector space V has the direct sum decomposition ${\textstyle V=\bigoplus _{i=1}^{r}V_{i}}$ where each ${\displaystyle V_{i}}$ is the kernel of ${\displaystyle (x-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$, the generalized eigenspace and x stabilizes ${\displays$$tyle V_{i}},$$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\$ 자, ${\displaystyle x_{}}$s를 정의하십시오 : ${\displaystyle V}$→ V ${\displaystystyle$x_{$s}:$$V\to V}$ 따라서$$ 각 ${\displaystyle V_{}}$ i ${\$에서$$${\displaystyle {\lambda }_{}}$i {\$displaystyle \lambda _{i$에 의한 스칼라 곱이 된다. 참고: 직접 합계 분해를 존중하는 기준의 관점에서 ${\displaystyle x_{}}${\$displaysty$x_{$s}$는 대각 행렬이므로$$ 내형성을 구현한다.$x{\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 이후:$V_{i}\to V_{i}}$은(는) x -${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle V_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$V_{i}\\to{$i}}$m$ ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle m_{i}}$ -th번째$$ 전력이 0인 $V_{i}.$ 또한 ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$는 nilpotent로서 분해의 존재를 확립한다.

($각{\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 대한 기준을 주의 깊게 선택하면$,$ x를 조던 일반 형태에 넣을 수 $있고{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 일반$$ 형태의 대각선 및 비대각형 부분이다.그러나 이것은 여기에 필요하지 않다.)

$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 다항식이라는 사실은 중국의$$ 나머지 정리에서 따온 것이다.${\displaystyle \mathrm{실제로}}$ $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$t )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$ I${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(t)=\operatorname {det}(t-x)}$은 x의 특성 다항식이 된다.Then it is the product of the characteristic polynomials of ${\displaystyle x:V_{i}\to V_{i}}$; i.e., ${\textstyle f(t)=\prod _{i=1}^{r}(t-\lambda _{i})$$^{d_{i}},d_{i}=\dim V_{i}.}$또$$ ${\displaystyle {di}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle d_{i}\geq m_{i}}}}($일반적으로 매트릭스 크기로 올리면 nilpotent 매트릭스가 제거되기 때문이다).이제 다항식 $고리{\displaystyle }$ k${\displaystyle }$[ ${\displaystyle t}$] ${\displaystyle k[t]}$에 적용된 중국의 나머지 정리는 조건을 만족하는$$ 다항식 $p{\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle p(t)}$을 부여한다.

${\$$^{d_{i}}}($모든 i에 대해).

(일부 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 0이면 조건에 중복성이 있지만, 그것은 문제가 되지 않으며, 조건으로부터 제거하기만 하면 된다.

조건 $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i ${\displaystyle mod}$(${\displaystyle t}$ -${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {d{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}}^{}}$ ${\$ p$(t)\equiv \lambda _{i}{\bmod{(}}-\lambda _{i})$$^{d_{i$ 철자가 명시되었을 때 $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle g_{}}$ i${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ -${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{}^{}}$) d ${\displaystyle {d_{}}^{}}$ ${\$를 의미한다.$^{d_{i}}}$ for some polynomial ${\displaystyle g_{i}(t)}$. Since ${\displaystyle (x-\lambda _{i}I)^{d_{i}}}$ is the zero map on ${\displaystyle V_{i}}$, ${\displaystyle p(x)}$ and ${\displaystyle x_{s}}$ agree on each ${\displaystyle V_{i$$}}$; 예: ${\displaystyle p}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle s_{}}$ ${\$$x_{s$$\}.$ 그리고 $q$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle t}$- ${\displaystyle p}$( ${\displaystyle t}$ $){\displaystyle q(t)$ = t-p$(t)=t$(t$)\}.$$조건{\displaystyle }$p (${\displaystyle t}$ )${\displaystyle 0}$ 0 ${\displaystyle mod}$ t ${\$ 0${\$$bmod{t}}$은(는) $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) {\$displaystyp$ p($t)}$ 및$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle (t)}$ ${\displaysty q(t)}$에 일정한 항이 없음을$$ 보장한다$$.이로써 대수적으로 폐쇄된 필드 케이스의 증거가 완성된다.

$k$가 임의의 완벽한 필드인 경우 =${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{Gal}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (k}$ ${\displaystyle \stackrel{}{¯}}$/ k${\displaystyle }$) ${\$를 k의 절대 Galois 그룹이 되도록$$ 한다.첫 번째 파트에서는 다항식 $p$ $, q}$을$($를) k의 {\$displaystyle {\overline{k}$보다 선택할 수 있다. $즉$, ${\displaystyle x}$= p${\displaystyle }$(x ${\displaystyle )}$ +$$ (${\displaystyle x}$) {\$displaysty x=p(x)+q$(x$)}$이(x)}이(가) semisimpent 부분으로 분해되는$$ 것이다.$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$의 각 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$에 대해$,$

${\displaystyle x=\csma(x)=\sma(p(x)+\sma(q(x)=p(x)+q(x)).}$

자, $\sigma {\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sigma }$( ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \sigma (p(x)))$$=\$$displaystyle x}$의 다항식인$=\p)($x$$)};$$$\sigma {\displaystyle (q}$(${\displaystyle x)\}}${\$displaystyle \mama (q)(x$따라서 $\sigma {\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle \sigma (p(x)}}$ 및$$ $\sigma {\displaystyle }$(${\displaystyle q}$ (${\displaystyle x)\}}$ ${\displaystyle \sigma (q)(x)}}$ 통근$$.또한 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$을(를) 적용하면 반증확률과 nilpensity가 확실히$$ 보존된다.Thus, by the uniqueness of decomposition (over ${\displaystyle {\overline {k}}}$), ${\displaystyle \sigma (p(x))=p(x)}$ and ${\displaystyle \sigma (q(x))=q(x)}$. Hence, ${\displaystyle x_{s}=p(x),x_{n}=q(x)}$ are ${\displays$$tyle \Gamma }$ - invariant$$; 즉, k에 대한 내형성(수치로 표현됨)이다.Finally, since ${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots \right\}}$ contains a ${\displaystyle {\overline {k}}}$-basis that spans the space containing ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$, by the same argument, we also see that ${\displaystyle p,q}$ have coefficients in k.이것으로 증거가 완성되었다.${\displaystyle \square }$

추상대수를 이용한 짧은 증명

(Jacobson 1979년)은 웨더번 주정리의 결과로서 분해의 존재를 증명한다.(이러한 접근방식은 짧을 뿐만 아니라 베이스 필드가 완벽하다는 가정에서의 역할을 더욱 명확하게 한다.)

Let V be a finite-dimensional vector space over a perfect field k, ${\displaystyle x:V\to V}$ an endomorphism and ${\displaystyle A=k[x]\subset \operatorname {End} (V)}$ the subalgebra generated by x. Note that A is a commutative Artinian ring.웨더번 주 정리는 다음과 같이 명시한다: 제이콥슨 급진 J가 있는 유한 차원 대수 A의 경우, $A{\displaystyle }$/ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A/J}$이(가) 분리가 가능한 경우, 자연분사 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle A}$/ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle p:$$A\to A/J}$ 분할$$. 즉, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에는 $p{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle {}_{}\stackrel{}{}}$→${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle A}$/ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle$p$_{B}$와 같은 semisimplay subalgebra $B{\displaystyle }$ ${\\displaystyle B}$이(가) 포함되어$$ 있다.$B{\overset{\sim }{\\}}A/J}$은(는) 이형성이다.^[4]${\displaystyle 여기}$서의 설정에서 $A{\displaystyle }$/ J ${\displaystyle A/J}$은 베이스 필드가 완벽하기 때문에 분리할 수 있으며(그래서 정리를 적용할 수 있음), J도 A의 nilradical이다.There is then the vector-space decomposition ${\displaystyle A=B\oplus J}$. In particular, the endomorphism x can be written as ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ where ${\displaystyle x_{s}}$ is in ${\displaystyle B}$ and ${\displaystyle x_{n}}$ in ${\displaystyle$$J}$. Now, the image of x generates ${\displaystyle A/J\simeq B}$; thus ${\displaystyle x_{s}}$ is semisimple and is a polynomial of x. Also, ${\displaystyle x_{n}}$ is nilpotent since ${\displaystyle J}$ is nilpotent and is a polynomial of x since ${\displaystyle x_{s}}$ is.${\displaystyle \square }$

Nilpotency 기준

요르단 분해는 내형성의 영확도를 특징짓는 데 사용될 수 있다.k를 특성 0의 대수적으로 닫힌 영역으로 $하자{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle E_{}}$ = ${\displaystyle {End\mathbb{}}_{}}$ Q${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (}$ k$$) {\$displaystyle$E=\$operatorname {End}$_{\$mathb {Q}}}}(k)$는 k보다 k의 내형성 링이고 V는 k에 대한 유한 차원$$ 벡터 공간이다.내형성 $x{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ V ${\displaystyle$ x$:V\to V}$을$($를) 지정하면 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$+ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x=s+n}$을(를) 요르단 분해로 한다$$.$그러면{\displaystyle {}_{}}$ s ${\$ $s}$이(가) 대각선으로 처리 가능함$$. $즉$,$$V =$$$v{\displaystyle {}_{}}$ ${}_{}$ $i_{}${\$textstyle$ V$=\bigoplus V_{i}}}}$이(가) ${\displaystyle {고유값}_{}}$ $\$ i {\$displaystyle \lambda$ $_{i$의 eigenspace가 된다$$.그런 다음 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \in }$E {\$displaystyle \varphi \in E}$에 대해${\displaystyle }\phi {\displaystyle }$(${\displaystyle }$s )를 ${\displaystyle V}$→ V ${\displaystyle \varphi(s):$$V\to V}$은(는${\displaystyle ){\phi }_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$) : ${\displaystyle V_{}}$i → V i {\displaystyle \$varphi(s:$$V_{i}\to V_{i}}$ is the multiplication by ${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})}$. Chevalley calls ${\displaystyle \varphi (s)}$ the replica of ${\displaystyle s}$ given by ${\displaystyle \varphi }$. (For example, if ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$, then the complex conjugate of an내형성은 복제의 한 예다.)자, 이제.

증거: 첫째, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$(${\displaystyle s}$) ${\displaystyle$ n$\varphi(s)}$이(가) nilpotent이므로,

${\displaystyle$$=\sum _{i}\operatorname {tr}$$\left(s\$varphi($s) V_{i}\오른쪽$)=\sum$_{i}m_{i}\lambda _\varphi(\lambda _{i}}).$

$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(가) 복합 결합인 경우$$, 이는 모든 i에$$ $대한{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$i = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \lambda _{i}=0}$을 의미한다.Otherwise, take ${\displaystyle \varphi }$ to be a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-linear functional ${\displaystyle \varphi :k\to \mathbb {Q} }$ followed by ${\displaystyle \mathbb {Q} \hookrightarrow k}$. Applying that to the above equation, one gets:

${\displaystyle \sum _{i}\varphi(\da _{i})^{2}=0}$

그리고 $\phi {\displaystyle }$ (${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \varphi (\$$displaystyle \varphi$ $da$ ${i$$}}})$는 모두 실제 숫자이므로, ${\displaystyle (}$ ( dada $_{i}=0})$는 모든 i에 대해$$ ${\displaystyle 0}$이다.선형 함수를 변경하면 모든 i에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$을(를) 의미한다. $◻{\displaystyle }$ ${\displaystyle \square }$

위의 기준의 전형적인 적용은 리 대수학의 해결 가능성에 대한 카르탄의 기준의 증명이다.It says: if ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ is a Lie subalgebra over a field k of characteristic zero such that ${\displaystyle \operatorname {tr} (xy)=0}$ for each ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},y\in D{\mathfrak {$$g}=[{\mathfrak{g},{\mathfrak{g$ 그러면 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) 해결 가능하다$$.

증명:^[6] 일반성을 잃지 않고 k가 대수적으로 닫힌다고 가정한다.리의 정리 및 엥겔의 정리로는 각 x${\displaystyle }x{\displaystyle }$ ${\displaystyle D\mathfrak{}}$ ${\displaystyle g}$ ${\$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대해 표시하기에 충분하다.$쓰기$ x$$= $\underset{}{}$ $\underset{}{i}$[ $x_{}$ i${}_{}$, $y_{}$ ${}_{}$] ${\textstyle$ x$=\sum _{i}[x_{i},y_{i$ 그러면 다음과 같이 표시해야 한다.

${\displaystyle \propername {tr}(x\varphi(s))=\sum _{i}\propertname {tr}([x_{i},y_{i}]\varphi(s))=\sum _{i}\propertname {tr}(x_{i}[y_{i},\varphi(s)])}$

0이다.Let $g{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ ${\displaystyle l}$( V${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathfrak {g}={\mathfrak$${\displaystyle \{}$g}}}{\mathfrak{${\displaystyle g\}\}(}$$V).$ 참고$:$$$${\displaystyle {\mathrm{add}}_{}}$ ${\displaystyle {g{\mathfrak{}}^{}}_{}{{\to }^{}}_{}}$ ${\displaystyle D\mathfrak{}}$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$):${\mathfrak {g}}\to D{\mathfrak {g}}}$ and, since ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s)}$ is the semisimple part of the Jordan decomposition of ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x)}$, it follows that ${\displaystyle \$$operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s)}$ is a polynomial without constant term in ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x)}$; hence, ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s):$${\mathfrak{g}\to$ D${\mathfrak{g}}$이(가) ${\displaystyle s$ $대신{\displaystyle }$ $\phi$${\displaystyle (s)}$ ${\displaystyle \varphi(s)}$도 마찬가지다.즉$,{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle \phi }$( ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle D\mathfrak{}}$ ${\displaystyle g}$ ${\$ 가정된 주장을 내포하고 있다.${\displaystyle \square }$

불완전한 필드에서 존재하기 위한 반복 샘플링

지면장이 완벽하지 않으면 요르단-체발리 분해는 존재하지 않을 수 있다.예: $p$를 소수점으로 하고, k ${\displaystyle$ k$}$이(가) $특성{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle p}$의 불완전하게$$ 하고,$$$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k$$}$에서 $p$ ${\displaystyle$ p}의$$ $전원$이 아닌 ${\displaystystyle$ a}를$선택$한다.Let ${\displaystyle V=k[X]/\left(X^{p}-a\right)^{2}}$, let ${\displaystyle x={\overline {X}}}$and let ${\displaystyle T}$ be the ${\displaystyle k}$-linear operator given by multiplication by ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle V}$. This has as its invariant ${\displaystyle k}$-linear subspaces precisely the ideals of ${\displaystyle V}$ viewed as a ring, which correspond to the ideals of ${\displaystyle k[X]}$ containing ${\displaystyle \left(X^{p}-a\right)^{2}}$. Since ${\displaystyle X^{p}-a}$ is irreducible${\displaystyle k}$[ X ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle k[X]}$에서$$V의 $이상$은 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0$ V ${\displaystyle V}$ 및 $J$ = (${\displaystyle }$x ${\displaystyle p^{}}$ -${\displaystyle {}^{}a)}$ V ${\displaystyle J=\좌측(x^{p}-a$)-a\우)이다$.$$V}$. Suppose ${\displaystyle T=S+N}$ for commuting ${\displaystyle k}$-linear operators ${\displaystyle S}$ and ${\displaystyle N}$ that are respectively semisimple (just over ${\displaystyle k}$, which is weaker than semisimplicity over an algebraic closure of ${\displaystyle k}$) and nilpotent. Since ${\displaystyle S}$ and ${\displaystyle N}$ commute, they each commute with ${\displaystyle T=S+N}$ and hence each acts ${\displaystyle k[x]}$-linearly on ${\displaystyle V}$. Therefore ${\displaystyle S}$ and ${\displaystyle N}$ are each given by multiplication byrespective members of ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle s=S(1)}$ and ${\displaystyle n=N(1)}$, with ${\displaystyle s+n=T(1)=x}$. Since ${\displaystyle N}$ is nilpotent, ${\displaystyle n}$ is nilpotent in ${\displaystyle V}$, therefore ${\displaystyle \overline{n}=0}$$$$V{\displaystyle /J}$ ${\$displaystyle $V$$/J}$에서 ${\$$displaystyle V$/$J}$ {\$displaystyle$ V$/J}$은(는$)$ 필드임$$.Hence, ${\displaystyle n\in J}$, therefore ${\displaystyle n=\left(x^{p}-a\right)h(x)}$ for some polynomial ${\displaystyle h(X)\in k[X]}$. Also, we see that ${\displaystyle n^{2}=0}$. Since ${\displaystyle k}$ is of characteristic ${\displa$$ystyle p}$, we have ${\displaystyle x^{p}=s^{p}+n^{p}=s^{p}}$. Also, since ${\displaystyle {\overline {x}}={\overline {s}}}$ in ${\displaystyle A/J}$, we have ${\displaystyle h\left({\overline {s}}\right)=h\left({\overline {x}}$$\$${\displaystyle \mathrm{right}}$$)\},$ 따라서 $h{\displaystyle }$(${\displaystyle }$s${\displaystyle }$) -${\displaystyle h}$ ( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$$V$ {\displaystyle h($s)-h(x)\in$ J$}.$ 이후${\displaystyle }$( ${\displaystyle x^{}}$- ${\displaystyle a)}$ ${\displaystyle J}$ = ${\displaystyle \{$p^{$p}-a\right)$$J=0}$, we have ${\displaystyle \left(x^{p}-a\right)h(x)=\left(x^{p}-a\right)h(s)}$. Combining these results we get ${\displaystyle x=s+n=s+\left(s^{p}-a\right)h(s)}$.This shows that ${\displaystyle s}$ generates ${\displaystyle V}$ as a ${\displaystyle k}$-algebra and thus the ${\displaystyle S}$-stable ${\displaystyle k}$-linear subspaces of ${\displaystyle V}$ are ideals of ${\displaystyle V}$, i.e. they are ${\displaystyle 0}$, ${\displa$$ystyle J}$ 및$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$\}.$ $우리$는 $J{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle J}$이(가) $S{\displaystyle }$$${\displaystyle $S}$ -invariant$$$$ 하위 공간이라는$$ 것을 알 수 있으며$,$ S {\$displaystyle$ S}이$($가) 구현된다는 가정과는 달리 $S{\displaystyle }$$$${\$dispace를 $보완$하지 않는다.따라서 각각 반 구현 및 영점 처리되는 통근 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -선형$$ 연산자의 합으로$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 분해되지 않는다.$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 최소 다항식은 k$$ ${\displaystyle$ $k}$에 대해 분리할 수 없으며 k [$X$]의$제곱$이라는 점에 유의하십시오. k$$${\displaystyle$ k}$$선형$$ 연산자 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $L$$}$의 최소 다항식이 분리$$ 가능한 경우 L${\display-Chevalley$가 있음$$분해 및 이 다항식이 $k{\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle k[X]}$에 있는 고유한 수정 불가능한 다항식의 산물인 $경우{\displaystyle }$$,$ L ${\displaystyle L}$은(는) k ${\displaystyle$k}에 대해 반시 구현된다$.$

유사 분해

요르단-셰발리 분해의 승법 버전은 선형 대수 그룹에서 분해로 일반화되며, 분해의 첨가 버전은 리 대수에서 분해로 일반화된다.

리알헤브라스

$Let{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\displaystyle \mathfrak{l}}$($){\displaystyle {\mathfrak{gl}(V)}}$는 완벽한 필드 위에 유한차원 벡터 공간 V의 내형성에 대한 Lie 대수학을 나타낸다$$.If ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ is the Jordan decomposition, then ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} (x_{s})+\operatorname {ad} (x_{n})}$ is the Jordan decomposition of ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ on the vectorspace ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$. Indeed, first, ${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{s})}$ and ${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{n})}$ commute since ${\displaystyle [\operatorname {a$$d}(x_{s}),\operatorname {ad}(x_{n})=\operatorname {ad}([$$x_{$$s},x_{n}]=0$ 일반적으로 각 내형성 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ l${\displaystyle }$($){\displaystyle$y\$in${\$mathfr$

1. $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ y$^{m}=0$인 경우 ${\displaystyle \mathrm{ad}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (y}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2m}}^{}}$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle$$\operatorname${$ad}(y$$)^{$$2m-1}=0$ $ad$ ad $(y)$는${\displaystyle }$y에 의한 좌우 곱셈의 차이이기 ${\displaystyle \mathrm{때문}}$에 ad${\displaystyle }$y (y)가 된다.
2. $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$이(${\displaystyle 가}$) semisimize인 경우 ad ${\displaystyle }$( y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {ad}(y)}$이(가) semisimize인 것이다$$.^[7]

Hence, by uniqueness, ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)_{s}=\operatorname {ad} (x_{s})}$ and ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)_{n}=\operatorname {ad} (x_{n})}$.

If ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ is a finite-dimensional representation of a semisimple finite-dimensional complex Lie algebra, then ${\displaystyle \pi }$ preserves the Jordan decomposition in the sense: if ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$, then ${\displaystyle }$${\displaystyle \pi }$( ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\pi }_{}}$( ${\displaystyle x{}_{}}$) s ${\$ $및$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\pi }_{}}$( x${\displaystyle {}_{}}$) n ${\$^[8]

Real semisimple Lie Algebras

체발리와 모스토우의 공식에서, 첨가물 분해는 실제 반에서 원소 X가 이와사와 분해 g = k = k = k ⊕ n n n을 가진 리 대수 g를 구현한 리 대수 g의 3개 통근 원소의 합으로 쓸 수 있으며, S, D, N은 각각 k, a 및 n의 원소에 결합한다.일반적으로 이와사와 분해의 용어는 통근하지 않는다.

선형대수군

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 완벽한 필드 위에 선형 대수학 그룹이 되게$$ 하라.Then, essentially by definition, there is a closed embedding ${\displaystyle G\hookrightarrow \mathbf {GL} _{n}}$. Now, to each element ${\displaystyle g\in G}$, by the multiplicative Jordan decomposition, there are a pair of a semisimple element ${\displaystyle g_{s}}$ and a unipotent element ${\displaystyle g_{}}$GLn{\displaystyle \mathbf{GL}_{n}에 U{\displaystyle g_{너}}이 희박}이 g)gsguxg. 너 gs{\displaystyle g=g_{s}g_{u}=g_{u}g_{s}}. 그러나 그것 out,[9]gs, gu{\displaystyle g_{s},g_{u}}G{G\displaystyle}하는 것으로 보여질 수 있는 요소(즉, 그들은 앉았다.iG의 정의 방정식을 sfy)로 정의하고 G ${\displaystyle {\mathbf{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 즉, 분해는 본질적인 것이다.

G가 아벨리안인 경우 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) G의 반 구현 요소 폐쇄 하위 그룹과 전능하지 않은 요소의 직접 생산물이다.^[10]

Real semisimply Lie 그룹

곱셈 분해는 g가 해당 이와사와 분해 G = KAN으로 연결된 해당 semisimple Lie 그룹 G의 요소인 경우, g는 각각 K, A, N의 요소에 대한 세 가지 통근 요소 g = sdu, d, u의 산물로 작성할 수 있다고 기술하고 있다.일반적으로 이와사와 분해 g = kan의 용어는 통근하지 않는다.

참조

• Chevalley, Claude (1951), Théorie des groupes de Lie. Tome II. Groupes algébriques, Hermann, OCLC 277477632
• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
• Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7
• Humphreys, James E. (1981), Linear Algebraic Groups, Graduate texts in mathematics, vol. 21, Springer, ISBN 0-387-90108-6
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