전지전능

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수학에서, 링 R의 전지전능 원소 r은 r - 1이 영점 원소인 그런 원소 중 하나이다. 즉,ⁿ (r - 1)은 일부 n에 대해 0이다.

특히 정사각형 행렬 M은 그 특징적인 다항식 P(t)가 t - 1의 검정력인 경우에만 전능하지 않은 행렬이다. 따라서 전능하지 않은 행렬의 모든 고유값은 1이다.

준전능이란 어떤 힘이 전능하지 못함을 의미하는데, 예를 들어 모두 통일의 뿌리가 되는 고유값을 가진 대각선 가능한 행렬을 말한다.

비전능적 어필 대수군에서는 모든 원소가 전능하지 않다(이러한 그룹에서 전능하지 않은 원소의 정의는 아래를 참조한다.

정의

행렬을 사용한 정의

대각선을 따라 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1$s의 삼각형 위쪽 행렬의 ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \mathb$ {$U} _{n}$ 그룹을 고려하므로 행렬의 그룹이^[1] 된다.

${\displaystyle \mathb {U} _{n}=\왼쪽\{A={\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}:\,\det(A)\neq 0\right\}.}$

그러면 일부 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 하위 그룹으로 정의될 수 있으며$,$ 체계 이론을 사용하여 그룹 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을(를) 그룹 체계로 정의할 수 있다$$.

${\displaystyle {\text{Spec}\{\frac {\mathb {C}\!\좌측[x_{11},x_{12},\ldots,x_{nnn},{\frac {1}{1}{detext}}}\우측]{x_{i}=1,x_j}}}}}}}}}}\우측)}}\우측)}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 만약 그것이 이 계획의 폐쇄적인 집단 계획이라면, 우호적인 집단 계획은 전능할 수 없다.

링 이론으로 정의

아핀 대수 그룹의 원소 x는 그 연관된 오른쪽 번역 연산자, G의_x 아핀 좌표 고리 A[G]가 A[G]의 선형 내형성 원소로서 국소적으로 전능하지 않을 때 전능하지 않다. (로컬리 비전능성은 A[G]의 어떤 유한 차원 안정적 서브 스페이스에 대한 제한이 일반적인 고리-이성적 의미에서는 전능하지 않다는 것을 의미한다.)

아핀 대수집단은 그 모든 요소들이 전능하지 않으면 전능하지 않다고 불린다. 전능하지 않은 대수집단은 대각선 항목 1이 있는 상위 삼각 행렬집단의 폐쇄된 하위집단에 이형성이며, 반대로 그러한 하위집단은 전능성이 없다. 특히 어떤 전능하지 않은 집단은 비록 그 역이 사실이 아니지만 영점집단이다(counterrexample: GL_n(k)의 대각선 행렬).

예를 들어, 표준 기준 ${\displaystyle e_{}}$ i ${\$이(가) 있는 ${\displaystyle k^{}}$ ${\$에 $대한{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ e_{n$}$$_{n}$의 표준 표현에는 고정 벡터 ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}이 있다$$$.$

표현 이론을 이용한 정의

무전능 그룹이 아핀 다양성에 작용하면 그 모든 궤도가 닫히고, 유한차원 벡터 공간에 선형적으로 작용하면 0이 아닌 고정 벡터를 갖게 된다. 사실 후자의 재산은 전능하지 않은 집단을 특징으로 한다.^[1] 특히 이는 비독점적 반실행적 표현이 없음을 시사한다.

예

U_n

물론 행렬 $U{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 그룹은 전능하지 않다$$. 하부 중앙 영상 시리즈 사용

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e}$

어디에

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]}$ and ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]}$

관련되지 않은 그룹들이 있다. ${\displaystyle \mathrm{예}}$를 들어, $n{\displaystyle }$= 4 ${\displaystyle n=4$에서 중앙 영상 시리즈는 행렬 그룹임

U4){[1∗ ∗ ∗ 01∗ ∗ 001∗ 0001]}{\displaystyle \mathbb{U}_{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&, *&, *&, *\\0&, 1&, *&, *\\0&, 0&, 1&amp을 말한다.*\\0&, 0&, 0&, 1\end{bmatrix}}\right\}}, U4(1)){[10∗∗ 010∗ 00100001]}{\displaystyle.$\mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$, ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$, and ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

전능하지 않은 집단의 몇 가지 유도된 예를 들어 볼 때

G_aⁿ

첨가제 그룹 $G{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 임베딩을 통해 전능하지 않은 그룹이다$$.

${\displaystyle a\mapsto {\bmatrix}1&a\0&1\end{bmatrix}}$

곱셈이 주는 행렬에 주목하십시오.

${\displaystyle{bmatrix}a&a\\0&1\end{bmatrix}\cdot {\bmatrix}1&b\0&1\end{bmatrix}={\nd{bmatrix}}}}}$

그래서 이건 그룹 임베딩이야 보다 일반적으로 지도에서$$G $a{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathrm{Un}}_{}}$+ 1 ${\$가 내장되어 있다.

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\,\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}$

$체계{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ 이론을 사용하여 G ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 functor에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle {\mathcal{O}}} {Sch}^{op}\textbf {Sets}}}$

어디에

${\displaystyle(X, {\mathcal {O}_{X})\mapsto {\mathcal {O}_{X}(X)}$

프로베니우스의 알맹이

하위 범주 ${\displaystyle \mathbf{\text{Sch}}/F{\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 있는$$ $펑터{\displaystyle \mathcal{}}$ O$${\$displaystyle {\mathcal {O}$을(를) 고려하십시오$.$ 여기서$$ 하위 범주는 하위 범주 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$

${\displaystyle \alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal{O}(X):x^{p}=0\}}}$

그래서 그것은 프로베니우스 내형성의 알맹이에 의해 주어진다.

특성 0보다 전능하지 않은 집단의 분류

특성 0을 넘어서는 nilpotent Lie Algebras에 대한 무전능 대수집단의 훌륭한 분류가 있다. nilpotent Lie 대수학이란 $어떤{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ g ${\$의 하위 언어라는 것을$$ 상기하여 반복된 부직선 작용이 결국 영도(zero-map)로 종료된다. $행렬$의 관점에서, $이$는 i ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$ ${\$$displaystyle$ ${\mathfrak{n}_{n}$의 하위격자$$ g ${\$ {n}을(를) 의미하며$,$ i ≤ j ${\$$displaystyle$ i\$leq}에$대해 ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ = ${\displaystyle 0{}_{}}${\$displaystyle a_{ij}=0}$을(으)을(으)로 한다$.$

그 다음, 유한차원 영감 리 알헤브라와 전능하지 않은 대수집단의 범주에 등가성이 있다.^{[1]page 261} 이는 Baker-Campbell-Hausdorff 시리즈 $H{\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle H(X,Y)}$를 사용하여 구성할 수 있으며$,$ 여기서 유한 차원 nilpotent Lie 대수학(지도)을 사용할 수 있다.

${\displaystyle H:{\mathfrak{g}\time {\mathfrak{g}\text{{\mathfrak{g}}to {\mathfrak{g}{\text{{}여기서 }(X,Y)\mapsto H(X,Y)}$

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 Unllative 대수 그룹 구조를 제공한다$.$

다른 방향에서 지수 지도는 영점 제곱 행렬을 전지전능 행렬로 가져간다. 더구나 U가 교화불능집단이라면 지수지도는 U의 리 대수에서 U자체로 이형성을 유도한다.

언급

어떤 주어진 차원의 대수적으로 폐쇄된 분야를 넘어서는 전능한 집단은 원칙적으로 분류할 수 있지만, 실제로 분류의 복잡성은 차원과 함께 매우 빠르게 증가하기 때문에 사람들은^[who?] 치수 6을 중심으로 어딘가에서 포기하는 경향이 있다.

전지전능한 급진주의자

대수집단 G의 전능적 급진(unally right)은 G의 급진적 급진(radical)에 있는 전능적 원소의 집합이다. G의 연결된 전능하지 않은 정규 부분군이며, 그러한 다른 모든 부분군을 포함한다. 집단은 그 전능하지 않은 급진성이 사소한 것이라면 환원이라고 불린다. 만약 G가 환원된다면 그것의 급진적인 것은 토러스다.

대수군 분해

대수학 그룹은 전능하지 않은 그룹, 승수 그룹, 아벨의 품종으로 분해할 수 있지만, 그들이 어떻게 분해하는지에 대한 진술은 그들의 염기 분야의 특성에 따라 달라진다.

특성 0

특성 0에 비해 선형 대수군 및 아벨리아 품종의 구조와 관련된$$ $대수군{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 훌륭한 분해 정리가 있다. 집단의^{[2]page 8} 정확한 순서가 짧다.

$M\time U\to G\to A\to A\to 0}$

여기서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 아벨형 품종이고, $M{\displaystyle }${\$displaystyle$M}은$$(는) 승법형, 의미, $U{\displaystyle }${\$displaystyle U}$은(는) 전능한 그룹이다.

특성 p

베이스 필드의 특성이 p인 경우 대수 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 대해 유사한 문장이^[2] 존재한다$.$ 다음과 같은$$ 최소 $부분군{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$이(가) 있다.

1. ${\displaystyle G}$/ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$은(는) 전지전능한 그룹이다.
2. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$은(는) 그룹 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 의한 아벨 품종 $A{\displaystyle }$ {\$displaystyle A}$의 확장이다$.$
3. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 최대 비례성까지 고유하며$$, $A$ {\$displaystyle$ A$}$은(는) 최대 등가성까지 고유하다$$.

요르단 분해

완벽한 분야에 걸친 선형 대수 그룹의 요소 g는 통근불능의 제품 g = g와_us 준이행요소 g와_u g로_s 고유하게 쓰여질 수 있다. 그룹 GL_n(C)의 경우, 이는 근본적으로 모든 반전성 복합 매트릭스가 대각선 매트릭스와 상부 삼각형 매트릭스의 산물에 결합되며, 이는 요르단-체발리 분해의 곱셈 버전이다.

조르단 분해의 버전도 있다: 완벽한 분야를 넘어서는 모든 역행적 선형 대수집단은 무전능집단과 반실행집단의 산물이다.

참고 항목

• 환원군
• 전지전능 대표
• 델리그-루지그 이론

참조

• A. 보렐, 선형 대수 그룹, ISBN 0-387-97370-2
• Borel, Armand (1956), "Groupes linéaires algébriques", Annals of Mathematics, Second Series, Annals of Mathematics, 64 (1): 20–82, doi:10.2307/1969949, JSTOR 1969949
• Popov, V.L. (2001) [1994], "unipotent element", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Popov, V.L. (2001) [1994], "unipotent group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Suprunenko, D.A. (2001) [1994], "unipotent matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press