요르단 지도

이론 물리학에서 요르단-슈윙거 지도라고도 불리는 요르단 지도는 행렬 $M$ 에서_ij 양자 오실레이터의 이선형 표현에 이르는 지도로 물리학에서 발생하는 리 알헤브라의 표현 계산을 가속화하는 것이다.1935년^[1] 파스쿠알 요르단에 의해 도입되었고 1952년 줄리안 슈윙거에^[2] 의해 양자 각운동량 이론을 효율적으로 재구축하기 위해 활용되었다. 그 지도가 포크 공간에서 su(2)의 (대칭) 표현을 쉽게 정리할 수 있다는 점에서 말이다.

지도는 양자장 이론과 다체 문제에서 일상적으로 사용되는 $a_{i}^{\dagger }$ $a_{i}^{\,}$ $†{\$ $displaystyle a_{i}^{\$ $dager }}},$ 각 $a_{i}^{\dagger }$ 쌍이 양자 조화 발진기를 나타내는 $a_{i}^{\,}$ 생성 및 소멸 연산자를 활용한다.다중 보손 시스템에서 생성 및 소멸 연산자의 정류 관계는 다음과 같다.

[a_{i}^{\,}a_{j}^{\\,}a_{j}^{j}^{}}\equiv a_{i}^,}a_{j}^{j}^{}}}}\displaysty 【a_{i}^{i}}}}}}}}}

[a_{i}^{}^{j}^{\j}}}=[a_{i}^{\}}}=0,

여기서 $[\ \ ,\ \ ]$ [ , $[\ \ ,\ \ ]$ ${\displaystyle [\$ \ $,\$ \ \ $]}$ 은 $[\ \ , \ \ ]$ (는) 정류자이고 $\delta _{ij}$ $\delta _{ij}$ $\delta _{ij}$ ${\$ }은 $($ 는 $\delta_{i j}$ ) 크론커 델타다.

이러한 연산자는 숫자 연산자의 고유값을 변경하며,

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

=

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

=

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

{ i

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

{\

displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{

i}

a_{i}^{}^{\dager }a_{i}^{

i

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

다차원 양자 고조파 오실레이터의 경우 1회.

행렬 M에서 포크 공간 $연산자 ij$ $M$ 까지 요르단 지도,

{\mathbf {M}\}\qquad \longmapsto \qquad M\equiv \sum_{i,j}a_{i}^{\dager }{\mathbf {M}}_{ij}a},},},

명백히 Lie 대수 이형성, 즉 연산자 $M$ 은 행렬 $M$ 과 같은 정류 관계를 만족한다.

각운동량의 예

예를 들어, 이 지도에서 SU(2)의 Pauli 행렬의 이미지,

{\vec{J}\equiv {\mathbf {a}^{\dager }\cdot {\frac{\vec {\sigma }}}{2}}\cdot {\\mathbf {a},},},

Pauli 매트릭스의 완전성 관계에 의존하여 SU(2)의 동일한 감화 관계를 만족하는^† 2 벡터용,

J^{2}\equiv {\vec{J}\cdot{\vec}}{J}}={\frac{N}{2}}\좌({\frac {{2}}+1\우)

이것은 슈윙거가 양자 각운동량 이론에 대해 다루는 시작점이며, 이는 그러한 운영자들의 임의적인 더 높은 힘으로 구축된 포크 상태에 대한 이들 운영자들의 작용에 근거한다.예를 들어, (비정규화된) Fock 고유 상태에 따라,

J^{2}~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n} 0\rangle ={\frac {k+n}{2}}\left({\frac {k+n}{2}}+1\right)~a_{1}^{\dagger k}a_{2}^{\dagger n} 0\rangle ~,

하는 동안에

J_{z}~a_{1}^{\dager k}a_{2}^{\dager n} 0\rangele ={\frac {1}{1}{1}:{1}{{1}^\dagger k}a_{2}^{\dagern},},

$따라서$ , $j$ = ( $k+n)/ 2$ , $m$ = ( $k-n)/2$ 의 경우, 이는 고유상태 $j, m³$ 에 비례한다 $.$

$j,m\rangele ={\frac {a_{1}^{\n1}^{\n1}^{\fla_{2}^{\n}{\sqrt {k!~n!}} 0\rangele ={\frac {a_{1}^{\reason ~(j+m)}a_{2}^{{2}^{\reason ~(j-m)}}{\sqrt {(j+m)}}}}{\sqrt {(j+m)!~(j-m)!}} 0\rangele ~.$

Observe $J_{+}=a_{1}^{\dagger }a_{2}$ and $J_{-}=a_{2}^{\dagger }a_{1}$ , as well as $J_{z}=(a_{1}^{\dagger }a_{1}-a_{2}^{\dagger }a_{2})/2$ .

페르미온스

리알헤브라의 대칭적 표현은 요르단이 제안하는 바와 같이 페르미온 $b_{i}^{\dagger }$ b i $b_{i}^{\dagger }$ { $b_{i}^{\dagger }$ {\ $displaystyle b_{i}^{\dager }}$ 및 $b_{i}^{\dagger }$ $b_{i}^{\,}$ i $b_{i}^{\,}$ {\ $displaystyle b_{i}^{}^{\}}},}}$ 을 사용하여 추가로 수용할 수 있다 $b_{i}^{\,}$ 페르미온의 경우 정류자는 안티코무터 $\{\ \ ,\ \ \}$ { , $\{\ \ ,\ \ \}$ ${\displaystyle$

\{b_{i}^{\,}b_{j}^{\\\\b_{i}^{\,}b_{j}^{}}\displaysty \{b_{}^{now}}+b_{j_{j}}}}}}}.}^{}^{\b_{i}^{\,}}=\ij}}

\{b_{i}^{\b_{j}^{\\\}\\{b_{i}^{\}\,b_{j}^{j}^{\}}=0.

따라서 소멸 연산자의 생성물에서 분리조인트( $i\neq j$ , $i\neq j$ j ${\displaystyle i\neq$ j $}$ ) 연산자를 교환하면 페르미온 시스템에서는 표지를 반전시키겠지만 보손 시스템에서는 그렇지 않다.이 형식주의는 A에 의해 사용되어^[4] 왔다. A. 국부적인 스핀-1/2를 나타내는 콘도 효과 이론의 아브리코소프(Abrikosov)는 고체 물리학 문헌에서 아브리코소프 페르미온(Abrikosov fermion)이라고 불린다.

참고 항목

참조

^ 요르단, 파스쿠알 (1935년)"Der Zusammenhang der symmrischen und linear Gruppen und das Mehrkörperproblem", Zeitschrift für Physik 94, 이슈 7-8, 531-535
^ 슈윙거, J. (1952년)."각운동량", 하버드 대학교의 미발표 보고서, 원자력 개발 어소시에이츠, 미국 에너지부(전임 기관인 원자력 위원회를 통해), 보고서 번호 NYO-3071 (1952년 1월 26일)
^ Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim (2011). Modern Quantum Mechanics (2nd ed.). Boston: Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-8291-4. OCLC 641998678.
^ Abrikosov, A. A. (1965-09-01). "Electron scattering on magnetic impurities in metals and anomalous resistivity effects". Physics Physique Fizika. 2 (1): 5–20. doi:10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.5. ISSN 0554-128X.

[1] 요르단, 파스쿠알 (1935년)"Der Zusammenhang der symmrischen und linear Gruppen und das Mehrkörperproblem", Zeitschrift für Physik 94, 이슈 7-8, 531-535

[2] 슈윙거, J. (1952년)."각운동량", 하버드 대학교의 미발표 보고서, 원자력 개발 어소시에이츠, 미국 에너지부(전임 기관인 원자력 위원회를 통해), 보고서 번호 NYO-3071 (1952년 1월 26일)

[3] Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim (2011). Modern Quantum Mechanics (2nd ed.). Boston: Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-8291-4. OCLC 641998678.

[4] Abrikosov, A. A. (1965-09-01). "Electron scattering on magnetic impurities in metals and anomalous resistivity effects". Physics Physique Fizika. 2 (1): 5–20. doi:10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.5. ISSN 0554-128X.

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